📝 중3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 1부터 100까지의 수를 합이 101이 되는 두 수끼리 짝지어 묶는다. (1, 100), (2, 99), (3, 98), ..., (50, 51)의 50개의 쌍이 만들어지고, 모든 100개의 수가 정확히 한 쌍에만 속한다.
2단계: 51개의 수를 선택할 때, 각 수는 50개 쌍 중 하나에 속한다. 51개의 수를 50개의 쌍에 분배하면 어떤 분배 방식을 쓰더라도 적어도 하나의 쌍에는 두 수가 모두 선택된다(짝짓기 원리, 51 > 50).
3단계: 두 수가 모두 선택된 그 쌍의 두 원소의 합은 정의에 의해 101. 따라서 선택된 51개 수 중 반드시 합이 101인 두 수가 존재한다. ∎

📖 풀이:
1단계: 점 (1, 0)을 지나는 조건에서 0 = 1 + a + b이므로 b = -1 - a.
2단계: x² + ax + b = 2x - 3, 즉 x² + (a-2)x + (b+3) = 0이 한 점에서 접하려면 판별식 = 0. (a-2)² - 4(b+3) = 0. b = -1 - a를 대입하면 (a-2)² - 4(-1 - a + 3) = (a-2)² - 4(2-a) = 0.
3단계: 전개하면 a² - 4a + 4 - 8 + 4a = a² - 4 = 0, a = ±2. a = 2이면 b = -3이라 a + b = -1. a = -2이면 b = 1이라 a + b = -1. 두 경우 모두 a + b = -1.

📖 풀이:
1단계: 점 A를 변 BC(직선 x = 8)에 대해 대칭이동하면 A' = (16, 0). AP = A'P이므로 AP + PQ는 A'P + PQ로 바뀐다.
2단계: 점 A를 변 CD(직선 y = 6)에 대해 대칭이동하면 A'' = (0, 12). QA = QA''이므로 PQ + QA는 PQ + QA''로 바뀐다.
3단계: 따라서 AP + PQ + QA = A'P + PQ + QA''. 이 값은 P, Q가 선분 A'A'' 위에 있을 때 최소가 되며, 최솟값은 |A'A''| = √((16-0)² + (0-12)²) = √(256 + 144) = √400 = 20. (P, Q가 각각 변 BC, CD 위에 실제로 놓이는지 확인하면 직선 A'A''은 두 변과 모두 만나므로 도달 가능.)

📖 풀이:
1단계: 4 < 7 < 9이므로 2 < √7 < 3. 따라서 √7의 정수부분 a = 2이고 소수부분 b = √7 - 2.
2단계: 1/b = 1/(√7 - 2). 분모를 유리화하기 위해 분자, 분모에 (√7 + 2)를 곱하면 1/b = (√7 + 2)/((√7)² - 2²) = (√7 + 2)/(7 - 4) = (√7 + 2)/3.
3단계: 따라서 a + 1/b = 2 + (√7 + 2)/3 = (6 + √7 + 2)/3 = (8 + √7)/3.

📖 풀이:
1단계: x⁴ + 4를 직접 인수분해하기 어려우므로, 완전제곱식이 되도록 4x²를 더했다 빼는 식 변형을 시도한다. x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 - 4x² = (x² + 2)² - (2x)².
2단계: A² - B² = (A + B)(A - B) 형태에 적용하면 (x² + 2)² - (2x)² = (x² + 2 + 2x)(x² + 2 - 2x) = (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2).
3단계: 검산: (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2) = (x² + 2)² - (2x)² = x⁴ + 4x² + 4 - 4x² = x⁴ + 4. 일치 확인. 두 이차식 x² ± 2x + 2의 판별식은 4 - 8 = -4 < 0이므로 실수 범위에서 더 이상 분해되지 않는다.

📖 풀이:
1단계: 두 정수 해를 p, q라 하면 근의 곱 pq = 12, 근의 합 p + q = m. p와 q는 모두 정수이므로 곱이 12가 되는 정수쌍을 찾는다.
2단계: 가능한 쌍 (p, q)는 (1, 12), (2, 6), (3, 4), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4) (순서 무시). 각 쌍에 대해 m = p + q는 차례로 13, 8, 7, -13, -8, -7.
3단계: m의 모든 값들의 합 = 13 + 8 + 7 + (-13) + (-8) + (-7) = 0. (양수 쌍과 음수 쌍이 정확히 부호 대칭을 이루기 때문에 합이 0이 된다.)

📖 풀이:
1단계: 곱셈공식 $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n}) = m - n$ 을 이용. 따라서 $\sqrt{m} - \sqrt{n} = \dfrac{m-n}{\sqrt{m}+\sqrt{n}} = \dfrac{m-n}{q}$. m, n, q가 모두 유리수이므로 이 값도 유리수.
2단계: 두 식 $\sqrt{m}+\sqrt{n}=q$ 와 $\sqrt{m}-\sqrt{n}=\dfrac{m-n}{q}$ 를 더하면 $2\sqrt{m} = q + \dfrac{m-n}{q}$. 우변은 유리수이므로 $\sqrt{m}$ 도 유리수.
3단계: 자연수 m의 제곱근이 유리수이려면 m이 완전제곱수여야 한다. 같은 논리로 $\sqrt{n}$ 도 유리수이고 n도 완전제곱수. 따라서 두 자연수의 제곱근의 합이 유리수이려면 두 자연수가 모두 완전제곱수여야 함이 증명된다.

📖 풀이:
1단계: 직접적인 인수가 보이지 않으므로 같은 항을 더하고 빼서 완전제곱을 만드는 항보충 기법을 사용. $x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$.
2단계: 앞부분을 묶으면 $x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2$. 따라서 식은 $(x^2+1)^2 - x^2$.
3단계: 차의 제곱 공식 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ 적용. $(x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
검증: 두 인수의 곱을 전개하면 $x^4 - x^3 + x^2 + x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^4 + x^2 + 1$. 일치.

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1단계: 세제곱 전개 항등식 $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ 에서 $a = x$, $b = \dfrac{1}{x}$ 로 두면 $ab = 1$.
2단계: $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3 \cdot 1 \cdot \left(x + \dfrac{1}{x}\right)$.
3단계: 주어진 조건 $x + \dfrac{1}{x} = 3$ 을 양변에 대입. $3^3 = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3 \cdot 3$, 즉 $27 = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 9$. 따라서 $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 18$.

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1단계: 두 식을 연립한다. $x^2 - 2x + 5 = 4x + k$, 정리하면 $x^2 - 6x + (5 - k) = 0$.
2단계: '한 점에서만 만난다'는 이 이차방정식이 중근을 갖는 조건과 같다. 판별식 $\dfrac{D}{4} = (-3)^2 - (5-k) = 9 - 5 + k = 4 + k$ 가 0. 따라서 $k = -4$.
3단계: $k=-4$ 를 대입하면 $x^2 - 6x + 9 = 0$, 즉 $(x-3)^2 = 0$ 이므로 $x = 3$ (중근). 접점의 y좌표는 $y = 4 \cdot 3 - 4 = 8$. 접점 $(3, 8)$.

📖 풀이:
1단계: 두 변과 끼인각이 주어졌으므로 코사인 법칙으로 AC를 구한다. $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60°$.
2단계: $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ 대입. $AC^2 = 89 - 80 \cdot \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49$. 따라서 $AC = 7$.
3단계: 외접원 반지름은 사인 법칙 $\dfrac{AC}{\sin B} = 2R$ 로 구한다. $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로 $2R = \dfrac{7}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{14}{\sqrt{3}} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$. 따라서 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 네 점 A, B, P, C가 한 원 위에 있고 사각형 ABPC가 원에 내접한다. 프톨레미 정리: 원에 내접하는 사각형에서 두 대각선의 곱은 마주보는 두 변의 곱의 합과 같다.
2단계: 사각형 ABPC의 두 대각선은 AP와 BC, 마주보는 변쌍은 (AB, PC) 와 (BP, CA). 따라서 $AP \cdot BC = AB \cdot PC + BP \cdot CA$.
3단계: 정삼각형이므로 $AB = BC = CA$이다. 이 공통 길이를 $s$라 하면 $AP \cdot s = s \cdot 3 + 2 \cdot s = 5s$이고, 양변을 $s$로 나누면 $AP = 5$. 변의 길이에 관계없이 약분되므로, 호 BC 위 점 P에 대해 $PA = PB + PC$가 항상 성립함을 알 수 있다.

📖 풀이:
1단계: 직접 계산으로 검증한다. 점 C에서 $CE = BC - BE = 6 - 2 = 4$, $CF = CD - DF = 6 - 3 = 3$. 직각삼각형 CEF (∠C = 90°)에서 $EF^2 = 4^2 + 3^2 = 25$. 따라서 $EF = 5$.
2단계: 일반 증명을 위해 $\triangle ABE$ 를 점 A를 중심으로 90° 회전시켜 B를 D로 보낸다. E의 상을 $E'$ 라 하면 $E'$ 는 변 CD의 D 바깥쪽 연장선 위에 있고, $DE' = BE$, $AE' = AE$, $\angle EAE' = 90°$.
3단계: $\angle EAF = 45°$ 이므로 $\angle FAE' = 90° - 45° = 45° = \angle FAE$. 또 $AE = AE'$, $AF$ 공통이므로 SAS에 의해 $\triangle AEF \equiv \triangle AE'F$. 따라서 $EF = E'F = DE' + DF = BE + DF = 2 + 3 = 5$. 직접 계산과 일치.

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1단계: 자료 변환 $y_i = ax_i + b$ (a, b는 상수)에서 평균은 $\bar{y} = a\bar{x} + b$. 여기서 $a = -2$, $b = 5$, $\bar{x} = 7$. 따라서 $\bar{y} = -2 \cdot 7 + 5 = -9$.
2단계: 분산 공식 $V(y) = a^2 V(x)$. 상수항 b는 모든 자료를 똑같이 평행이동만 시키므로 분산에 영향 없음. 계수 a는 편차를 a배 늘리므로 분산은 $a^2$ 배.
3단계: $V(y) = (-2)^2 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16$. 따라서 평균 -9, 분산 16. 분산은 항상 0 이상이므로 ①(분산 -8)은 즉시 배제 가능하다.

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1단계: '두 눈의 합이 짝수'는 '두 눈의 짝/홀이 같음'과 동치. 둘 다 짝수: $\{2, 4, 6\}^2$ 에서 9가지. 둘 다 홀수: $\{1, 3, 5\}^2$ 에서 9가지. 합쳐서 18가지가 조건이 정의하는 표본공간.
2단계: 이 18가지 중에서 차의 절댓값 ≤ 2 인 경우를 센다. 둘 다 짝수에서: 차 0은 (2,2),(4,4),(6,6) 3가지, 차 2는 (2,4),(4,2),(4,6),(6,4) 4가지, 합쳐 7가지. 둘 다 홀수에서도 같은 대칭으로 7가지.
3단계: 만족 사건 총 14가지이므로 조건부 확률 $= \dfrac{14}{18} = \dfrac{7}{9}$. ④의 $\dfrac{14}{36}$ 은 조건을 무시하고 전체 36가지로 나눈 무조건 확률이라 함정.

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1단계: 무한 중첩의 자기 참조 구조에 주목. 가장 바깥 근호 안의 식 '$12 + (\text{무한 중첩})$' 에서 안쪽 무한 중첩 부분은 다시 x와 같다. 즉 $x = \sqrt{12 + x}$.
2단계: 양변을 제곱한다 (양수 x에 한해 동치). $x^2 = 12 + x$, 즉 $x^2 - x - 12 = 0$.
3단계: 인수분해 $(x - 4)(x + 3) = 0$ 이므로 $x = 4$ 또는 $x = -3$. x가 양수라는 조건에서 $x = 4$. 검증: $\sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$. 일관됨.

📖 풀이:
1단계: 항등식 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ 를 사용 (직접 전개로 확인 가능).
2단계: 주어진 식 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ 는 좌변 = 0 이라는 뜻. 그런데 $a + b + c \neq 0$ 이므로 두 번째 인수가 0이어야 한다. 즉 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$.
3단계: 이 식의 양변에 2를 곱해 변형하면 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$. 실수 제곱들의 합이 0이므로 각 항이 0. 따라서 $a = b$, $b = c$, $c = a$, 즉 $a = b = c$. ①은 가정에서 배제, ③, ④는 양의 실수에서 불가능.

📖 풀이:
1단계: 합성 변환 식을 정확히 쓴다. '먼저 k를 더하고 그 결과를 2배'이므로 $y_i = 2(x_i + k) = 2x_i + 2k$. 변환 계수 $a = 2$, 상수항 $b = 2k$.
2단계: 평균 변환 공식 $\bar{y} = a\bar{x} + b$. $\bar{y} = 2 \cdot 12 + 2k = 24 + 2k$. 새 평균이 20이므로 $24 + 2k = 20$, 따라서 $k = -2$.
3단계: 표준편차 변환 공식 $\sigma_y = |a| \sigma_x$. 상수항은 모든 자료를 똑같이 평행이동만 시키므로 편차에 영향 없음. $\sigma_y = |2| \cdot 5 = 10$. 따라서 $k = -2$, $\sigma = 10$.

📖 풀이:
1단계: $4 < 7 < 9$이므로 $2 < \sqrt{7} < 3$. 따라서 정수부분 $a = 2$, 소수부분 $b = \sqrt{7}-2$. 2단계: $\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{7}-2}$의 분모를 켤레무리수로 유리화하면 $\frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2-2^2} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$. 3단계: $a + \frac{1}{b} = 2 + \frac{\sqrt{7}+2}{3} = \frac{6+\sqrt{7}+2}{3} = \frac{8+\sqrt{7}}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 공통 부분 $x^2+3x$를 $t$로 치환하면 식은 $(t+1)(t-3) - 5$가 된다. 2단계: 전개하면 $t^2 - 2t - 3 - 5 = t^2 - 2t - 8 = (t-4)(t+2)$. 3단계: $t$를 되돌리면 $(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)$. 4단계: 각 이차식을 더 인수분해하면 $x^2+3x-4 = (x+4)(x-1)$, $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$. 따라서 최종 인수분해는 $(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)$.

📖 풀이:
1단계: 두 직각변을 $a, b$, 빗변을 $c$라 하면 $a + b + c = 30$, $\frac{1}{2}ab = 30$, 즉 $ab = 60$. 2단계: 피타고라스 정리에 의해 $a^2 + b^2 = c^2$. 또한 $a + b = 30 - c$. 3단계: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 120$이므로 $(30-c)^2 = c^2 + 120$. 4단계: 전개하면 $900 - 60c + c^2 = c^2 + 120$이고 $60c = 780$, 따라서 $c = 13$. (검산: $a+b=17$, $ab=60$이므로 $a, b = 5, 12$이고 $5^2+12^2 = 169 = 13^2$ ✓)

📖 풀이:
1단계: 두 교점은 $x^2 = x + 2$를 만족한다. $x^2 - x - 2 = 0$, $(x-2)(x+1) = 0$. 따라서 $x = 2$ 또는 $x = -1$. 2단계: 교점은 $A(-1, 1)$, $B(2, 4)$이다. 3단계: 두 점 사이의 거리는 $\sqrt{(2-(-1))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: A에서 변 BC에 수선의 발 P를 내린다. 그러면 △ABP는 $\angle P = 90°$, $\angle B = 60°$인 직각삼각형이다. 2단계: 삼각비를 이용하면 사다리꼴의 높이 $\overline{AP} = \overline{AB} \cdot \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ cm. 3단계: 사다리꼴 넓이 공식에 의해 $S = \frac{1}{2}(\overline{AD}+\overline{BC}) \cdot h = \frac{1}{2}(6+14)(5\sqrt{3}) = 10 \cdot 5\sqrt{3} = 50\sqrt{3}$ cm².

📖 풀이:
1단계: 접선과 그 접점에서 그은 반지름은 수직이므로 $\angle OAP = \angle OBP = 90°$이다. 2단계: 사각형 OAPB의 네 각의 합은 360°이므로 $\angle AOB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°$. 3단계: 두 접선의 길이가 같으므로 △OAP $\equiv$ △OBP이고 OP가 $\angle APB$를 이등분한다. 즉 $\angle APO = 30°$. 4단계: 직각삼각형 OAP에서 $\angle PAO=90°$, $\angle APO=30°$, $\overline{AP}=8$이므로 $\tan 30° = \frac{r}{8}$. 따라서 $r = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 빗변의 길이는 $\overline{BC} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$이다. 2단계: 직각삼각형의 내접원 반지름 공식 $r = \frac{a+b-c}{2}$를 적용하면 $r = \frac{6+8-10}{2} = 2$. (이는 넓이 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ 즉 $24 = \frac{1}{2}r \cdot 24$로도 확인된다.) 3단계: 직각이 원점 A에 있고 두 직각변이 좌표축 위에 놓이므로, 내접원은 x축과 y축 모두에 접한다. 중심은 두 축에서 모두 $r$만큼 떨어진 점, 즉 $I(r, r) = (2, 2)$이다.