📝 중3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 새 변량을 $y_i = 2x_i + 5$라 하자. 평균은 합의 평균이므로 $\bar{y} = 2\bar{x} + 5 = 2 \cdot 6 + 5 = 17$. 2단계: 분산은 편차의 제곱의 평균이다. 새 편차 $y_i - \bar{y} = (2x_i+5)-(2\bar{x}+5) = 2(x_i - \bar{x})$. 즉 편차가 2배가 된다. 3단계: 편차가 2배가 되면 그 제곱은 4배가 되므로, 새 분산은 $2^2 \cdot 4 = 16$. 상수 5는 모든 자료에 같은 양만큼 더해졌으므로 분산에 영향을 주지 않는다.

📖 풀이:
1단계: '두 눈의 합이 7'인 경우의 수를 모두 나열한다. (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 총 6가지. 2단계: 그 중 '한 눈이 3'인 경우는 (3,4)와 (4,3) 두 가지이다. 3단계: 조건이 성립하는 표본공간 6가지 중 사건이 일어나는 경우는 2가지이므로 구하는 확률은 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 두 근을 $\alpha, 2\alpha$로 놓자. 합과 곱의 관계에 의해 $\alpha + 2\alpha = k+3$, $\alpha \cdot 2\alpha = 3k$. 즉 $3\alpha = k+3$이고 $2\alpha^2 = 3k$. 2단계: 첫 식에서 $\alpha = \frac{k+3}{3}$. 둘째 식에 대입하면 $2 \cdot \frac{(k+3)^2}{9} = 3k$, 양변에 9를 곱하면 $2(k+3)^2 = 27k$. 3단계: 전개하면 $2k^2 + 12k + 18 = 27k$, 정리하여 $2k^2 - 15k + 18 = 0$. 4단계: 인수분해하면 $(2k-3)(k-6) = 0$, 따라서 $k = \frac{3}{2}$ 또는 $k = 6$. (검산: $k=6$일 때 $x^2-9x+18 = (x-3)(x-6)=0$, 두 근 3과 6이고 $6 = 2 \cdot 3$ ✓ / $k=\frac{3}{2}$일 때 $2x^2-9x+9 = (2x-3)(x-3)=0$, 두 근 $\frac{3}{2}$와 3이고 $3 = 2 \cdot \frac{3}{2}$ ✓)

📖 풀이:
1단계: x축과 만나는 점은 $y=0$, 즉 $-x^2+4x+a=0$의 해이다. 양변에 $-1$을 곱하면 $x^2 - 4x - a = 0$. 2단계: 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 합과 곱의 관계에 의해 $\alpha+\beta = 4$, $\alpha\beta = -a$. 3단계: 두 근의 차의 제곱은 $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = 16 + 4a$. 두 점 사이의 거리가 6이므로 $|\alpha - \beta| = 6$이고 $(\alpha-\beta)^2 = 36$. 4단계: $16 + 4a = 36$, 따라서 $4a = 20$, $a = 5$. (검산: $-x^2+4x+5 = -(x-5)(x+1)$, 교점 $x=-1, 5$, 거리 $|5-(-1)|=6$ ✓)

📖 풀이:
1단계: 정사각형의 두 대각선은 서로 수직이고 길이가 같으며, 한 점(중점)에서 만난다. 대각선 AC의 중점은 $M = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = (4, 5)$이고, 이는 BD의 중점이기도 하다. 2단계: 대각선 AC의 길이는 $\sqrt{(7-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$. AC의 방향벡터는 $(6, 6)$, 즉 단위방향 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. 3단계: BD는 AC에 수직이므로 단위방향 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$이고, 길이도 $6\sqrt{2}$이므로 중점 M으로부터 양쪽으로 각각 $3\sqrt{2}$만큼 떨어진다. 4단계: 한 꼭짓점 = $M + 3\sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = (4+3, 5-3) = (7, 2)$. 다른 꼭짓점은 반대쪽 $(4-3, 5+3) = (1, 8)$. 조건상 x좌표가 큰 점이 B이므로 $B(7, 2), D(1, 8)$.

📖 풀이:
1단계: $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 꼴로 가정하면 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$.
2단계: 주어진 식과 비교하면 $a+b=8$, $ab=15$.
3단계: 합 8, 곱 15인 두 양수는 3과 5 (이차방정식 $t^2-8t+15=0$의 근).
4단계: 따라서 $\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ (양의 부호 채택).

📖 풀이:
1단계: $n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$ ($4n^2$를 더하고 빼는 트릭으로 차의 제곱 꼴).
2단계: 차의 제곱 공식 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ 적용: $(n^2+2+2n)(n^2+2-2n)$.
3단계: 정리하면 $(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)$.
4단계: $n \geq 2$이면 $n^2-2n+2=(n-1)^2+1 \geq 2$, $n^2+2n+2 \geq 10$이므로 두 인수가 모두 1보다 커 합성수.

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1단계: $h=25$일 때 $30t-5t^2=25$이므로 $5t^2-30t+25=0$.
2단계: 양변을 5로 나누면 $t^2-6t+5=0$이고, 인수분해하면 $(t-1)(t-5)=0$.
3단계: $t=1$초 (올라가는 길에 처음 도달), $t=5$초 (내려오는 길에 다시 통과).
4단계: 두 시각의 차 $5-1=4$초.

📖 풀이:
1단계: 교점 좌표 구하기. $x^2=2x+3$이므로 $x^2-2x-3=0$, $(x-3)(x+1)=0$, $x=3$ 또는 $x=-1$.
2단계: 두 교점은 A$(-1,1)$, B$(3,9)$.
3단계: 원점이 한 꼭짓점인 삼각형의 넓이 공식 (외적 형태): $S=\dfrac{1}{2}|x_A y_B - x_B y_A|=\dfrac{1}{2}|(-1)\cdot 9-3\cdot 1|$.
4단계: $S=\dfrac{1}{2}|-9-3|=\dfrac{1}{2}\cdot 12=6$.

📖 풀이:
1단계: 두 변과 끼인각을 알 때 삼각형의 넓이는 $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ 공식 적용.
2단계: $S=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \sin 75°=24\sin 75°$.
3단계: $\sin 75°=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 대입.
4단계: $S=24\cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=6(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.

📖 풀이:
1단계: 원주각 정리의 따름정리 - 한 원에서 원주각의 크기는 그 원주각이 끼고 있는 호의 길이에 비례한다 (중심각이 호 길이에 비례하고, 원주각은 중심각의 절반이기 때문).
2단계: 호 AB의 원주각 $30°$, 호 CD의 원주각을 $x$라 하면 $30°:x = 3:5$.
3단계: $3x=30°\cdot 5=150°$.
4단계: $x=50°$.

📖 풀이:
1단계: 세 점이 만드는 삼각형 분석. $\overline{AB}$는 x축 방향, $\overline{BC}$는 y축 방향이므로 두 변이 수직. 즉 각 B = 90°인 직각삼각형.
2단계: 직각삼각형의 외접원 중심은 빗변의 중점이고, 빗변이 곧 지름이다 (탈레스 정리의 역).
3단계: 빗변 AC의 중점 = $\left(\dfrac{0+8}{2},\dfrac{0+6}{2}\right)=(4,3)$.
4단계: 검증 - 중심에서 세 점까지 거리: $\sqrt{16+9}=5$, $\sqrt{16+9}=5$, $\sqrt{16+9}=5$. 모두 같으므로 옳다.

📖 풀이:
1단계: 자료 변환 $y=ax+b$의 평균은 $\bar{y}=a\bar{x}+b$. 따라서 $m=3\cdot 5-2=15-2=13$.
2단계: 분산은 평행이동 $b$의 영향을 받지 않고 배율 $a$의 제곱만큼만 변함: $V=a^2\cdot \sigma_x^2$.
3단계: $V=3^2\cdot 4=9\cdot 4=36$.
4단계: $m+V=13+36=49$.

📖 풀이:
1단계: 영어를 좋아하는 학생 집합을 $E$, 수학을 좋아하는 학생 집합을 $M$이라 하자. $|E|=60$, $|M|=45$, $|E\cap M|=25$.
2단계: 포함-배제 원리: $|E\cup M|=|E|+|M|-|E\cap M|=60+45-25=80$.
3단계: 영어 또는 수학 중 적어도 하나를 좋아하는 학생은 80명.
4단계: 둘 다 좋아하지 않는 학생 = 전체 - $|E\cup M|$ = $100-80=20$명.

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1단계: $P(A)$ 계산. 두 눈의 합이 7인 경우: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$로 6가지. 전체 36가지 중 $P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.
2단계: $P(B)$ 계산은 여사건이 빠르다. 곱이 홀수 ⇔ 두 눈 모두 홀수 ⇔ 각각 $\{1,3,5\}$에서 선택. 경우의 수 $3\times 3=9$, $P(B^c)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$.
3단계: $P(B)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
4단계: $P(A)+P(B)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{11}{12}$.

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1단계: 회전 보조 작도. 점 P를 점 A 중심으로 시계방향(또는 반시계) $60°$ 회전한 점을 P'라 하자. 회전이므로 AP=AP'=3이고 $\angle PAP'=60°$, 따라서 삼각형 APP'은 한 변 3인 정삼각형이고 PP'=3, $\angle AP'P=60°$.
2단계: 정삼각형이므로 AB=AC, $\angle BAC=60°$. 즉 점 B를 A 중심으로 60° 회전하면 점 C와 일치. 회전은 거리를 보존하므로 회전 후 BP는 CP'에 대응하여 CP'=BP=4.
3단계: 삼각형 PP'C에서 PP'=3, P'C=4, PC=5. $3^2+4^2=9+16=25=5^2$이므로 직각삼각형이고, 빗변 PC에 대응하여 $\angle PP'C=90°$ (직각은 두 다리 사이).
4단계: 회전 합동에 의해 $\angle APB=\angle AP'C$. 점 P가 삼각형 AP'C 내부 배치에서 $\angle AP'C=\angle AP'P+\angle PP'C=60°+90°=150°$.

📖 풀이:
1단계: $x^2$ 항을 더하고 빼서 완전제곱식을 만든다. $x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2$.
2단계: 차의 제곱 공식 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ 에서 $A=x^2+1$, $B=x$.
3단계: $(x^2+1+x)(x^2+1-x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$.

📖 풀이:
1단계: 두 자연수 근을 $\alpha, \beta$ 라 하면 근과 계수의 관계로 $\alpha\beta=12$, $\alpha+\beta=k$.
2단계: 곱이 12인 자연수 쌍은 $(1,12), (2,6), (3,4)$ 이고 각 경우 $k$ 값은 $13, 8, 7$.
3단계: 가능한 $k$ 들의 합은 $13+8+7=28$.

📖 풀이:
1단계: 합친 자료의 평균 $\bar{x}=\dfrac{400+350}{10}=75$.
2단계: 합친 자료의 점수의 제곱의 평균 $\overline{x^2}=\dfrac{32100+24550}{10}=5665$.
3단계: 분산 $V=\overline{x^2}-\bar{x}^2=5665-75^2=5665-5625=40$.

📖 풀이:
1단계: 두 근이 -1, 3이므로 이차함수를 $y=a(x+1)(x-3)=a(x^2-2x-3)$ 으로 놓는다.
2단계: 꼭짓점의 $x$좌표는 두 근의 평균 $\dfrac{-1+3}{2}=1$ 이고, $y$좌표는 $a(1-2-3)=-4a$.
3단계: 꼭짓점 $(1, -4a)$ 가 직선 $y=-x-3$ 위에 있으므로 $-4a=-1-3=-4$, 즉 $a=1$. 따라서 $y=x^2-2x-3$.

📖 풀이:
1단계: A에서 DC에 수선의 발을 H라 하면 등변사다리꼴 대칭성에 의해 $DH=\dfrac{DC-AB}{2}=\dfrac{8-2}{2}=3$.
2단계: 직각삼각형 ADH에서 ∠ADH=60°이므로 $AH=DH \cdot \tan 60°=3\sqrt{3}$.
3단계: $HC=DC-DH=8-3=5$. 직각삼각형 AHC에서 $AC^2=AH^2+HC^2=27+25=52$, $AC=2\sqrt{13}$.

📖 풀이:
1단계: 원주각 정리에 의해 ∠A는 점 A가 보지 않는 쪽 호 BCD에 대한 원주각이고, ∠C는 호 BAD의 원주각이다.
2단계: 두 호 BCD와 BAD는 원의 호를 두 부분으로 나눈 것이므로 그 길이(또는 중심각)의 합은 원 전체 360°이다.
3단계: 원주각은 같은 호에 대한 중심각의 절반이므로 ∠A+∠C = (호 BCD + 호 BAD)/2 = 360°/2 = 180°. 따라서 마주 보는 두 각의 합은 180°이다.

📖 풀이:
1단계: 좌표를 도입해 A(0,0), B(8,0), C(8,6), D(0,6), P(x, y) 로 둔다.
2단계: $PA^2+PC^2=(x^2+y^2)+((x-8)^2+(y-6)^2)=2x^2-16x+64+2y^2-12y+36$.
3단계: $PB^2+PD^2=((x-8)^2+y^2)+(x^2+(y-6)^2)=2x^2-16x+64+2y^2-12y+36$. 두 식이 항등적으로 같다. 따라서 P의 위치와 관계없이 $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$.

📖 풀이:
1단계: 두 과목 모두 좋아하는 학생 수를 $x$라 하면, 합집합의 크기는 $60+50-x$ 이고 이는 전체 100명을 넘을 수 없다. 즉 $60+50-x \le 100$ 에서 $x \ge 10$, 따라서 $m=10$.
2단계: 또한 $x$ 는 영어를 좋아하는 학생 수 50을 넘을 수 없으므로 $x \le 50$, 따라서 $M=50$.
3단계: $M-m=50-10=40$.

📖 풀이:
1단계: 두 근을 $\alpha, 2\alpha$ 로 놓으면 근과 계수의 관계로 $\alpha+2\alpha=3\alpha=k+1$, $\alpha \cdot 2\alpha=2\alpha^2=2k-2$.
2단계: 첫 식에서 $\alpha=\dfrac{k+1}{3}$, 두 번째 식에서 $\alpha^2=k-1$. 두 식을 결합하면 $\dfrac{(k+1)^2}{9}=k-1$, 즉 $(k+1)^2=9(k-1)$.
3단계: 전개하면 $k^2+2k+1=9k-9$, 곧 $k^2-7k+10=0$ 이고 $(k-2)(k-5)=0$. 따라서 $k=2$ 또는 $k=5$, 합은 7. (검산: $k=2 \Rightarrow x^2-3x+2=0$, 근 1, 2; $k=5 \Rightarrow x^2-6x+8=0$, 근 2, 4.)