📝 중3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 직선 AB의 기울기는 $\dfrac{4-1}{2-(-1)}=1$, 점 A를 지나므로 식은 $y=x+2$. 2단계: P$(t,t^2)$에서 $y$축에 평행하게 올라가 만나는 직선 AB 위 점은 Q$(t,t+2)$. $-1<t<2$일 때 $t^2<t+2$이므로 $\overline{PQ}=(t+2)-t^2=-t^2+t+2$. 3단계: 완전제곱식으로 변형하면 $-t^2+t+2=-\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}$. $t=\dfrac{1}{2}$일 때 최댓값 $\dfrac{9}{4}$. (이 값은 구간 $(-1,2)$ 안에 있어 조건 만족.)

📖 풀이:
1단계: 두 대각선의 교점 P가 AC를 $a:(10-a)$로, BD를 $b:(12-b)$로 나눈다고 하자. 두 대각선이 만드는 4개의 삼각형 각각의 넓이는 두 변과 끼인각 $60°$(또는 보각 $120°$)의 사인값을 이용해 $\dfrac{1}{2}\cdot(\text{변})\cdot(\text{변})\cdot\sin 60°$로 표현. 2단계: 4개를 모두 더하면 $\dfrac{1}{2}\sin 60°\cdot[a\cdot b+a(12-b)+(10-a)b+(10-a)(12-b)]=\dfrac{1}{2}\sin 60°\cdot 10\cdot 12$. 3단계: 따라서 사각형 넓이 $=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot\sin 60°=60\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: 정오각형이 원에 내접하므로 다섯 호의 길이가 모두 같고 각각의 중심각은 $\dfrac{360°}{5}=72°$. 2단계: 두 현 AC, BD가 원 내부 점 P에서 만나므로 $\angle APD=\dfrac{1}{2}(\text{호 AD}+\text{호 BC})$. 단 호 AD는 점 B, C를 포함하지 않는 쪽(호 AED). 3단계: 호 AED $=$ 호 AE $+$ 호 ED $=72°+72°=144°$, 호 BC $=72°$이므로 $\angle APD=\dfrac{144°+72°}{2}=108°$.

📖 풀이:
1단계: 정사각형의 두 대각선은 서로를 수직 이등분한다. AC의 중점 $M=\left(\dfrac{0+6}{2},\dfrac{0+2}{2}\right)=(3,1)$이 곧 BD의 중점. 2단계: 대각선 AC의 방향벡터는 $(6,2)$이고 길이는 $|AC|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. 이에 수직이고 위쪽을 향하는 단위벡터는 $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)$. 3단계: $|BD|=|AC|=2\sqrt{10}$이므로 B는 M에서 위쪽 방향으로 $\sqrt{10}$만큼 이동한 점: $B=(3,1)+\sqrt{10}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)=(3-1,\ 1+3)=(2,4)$.

📖 풀이:
1단계: 원래 자료의 편차 제곱합 $=$ (자료 수)$\times$(분산)$=5\times 8=40$. 2단계: 새로 추가하는 변량 $6$이 원래 평균과 같으므로 새 평균도 그대로 $6$. 추가된 변량의 편차는 $0$이므로 편차 제곱합은 변하지 않고 그대로 $40$. 3단계: 자료 수만 6개로 늘었으므로 새 분산 $=\dfrac{40}{6}=\dfrac{20}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 포함-배제 원리에 따라 $|M\cup E\cup S|=|M|+|E|+|S|-|M\cap E|-|E\cap S|-|M\cap S|+|M\cap E\cap S|$. 2단계: 대입하면 $30+25+20-15-10-12+5=75-37+5=43$. 3단계: 어느 과목도 선호하지 않는 학생 수 $=$ 전체 $-$ 합집합 $=50-43=7$.

📖 풀이:
1단계: $p^2=3q^2$의 좌변이 3의 배수이고, 3은 소수이므로 '$p^2$이 3의 배수이면 $p$도 3의 배수'라는 정수론적 사실을 이용한다(이는 ①의 짝수 논법 대신 3의 배수에 대한 논법으로 바꿔야 함을 보여 준다). 2단계: $p=3p'$로 놓고 식에 대입하면 $9p'^2=3q^2$, 양변을 3으로 나누면 $q^2=3p'^2$이므로 같은 논리로 $q$도 3의 배수. 3단계: $p,q$가 모두 3의 배수가 되어 서로소라는 가정에 모순. 따라서 $\sqrt{3}$은 유리수가 아니다.

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1단계: 5번 시행 중 사건 A가 일어나는 시행 두 번을 고르는 경우의 수는 $\binom{5}{2}=10$. 2단계: 고른 두 번의 시행에서는 A가 일어나야 하므로 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$, 나머지 세 번의 시행에서는 A가 일어나지 않아야 하므로 $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$. 한 가지 경우의 확률은 $\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{8}{27}=\dfrac{8}{243}$. 3단계: 전체 확률 $=10\cdot\dfrac{8}{243}=\dfrac{80}{243}$.

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1단계: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46$이므로 정수부분은 3, 소수부분은 $a = 2\sqrt{3} - 3$.
2단계: $a + 3 = 2\sqrt{3}$이므로 양변을 제곱하면 $(a+3)^2 = 12$.
3단계: $a^2 + 6a + 9 = 12$이므로 $a^2 + 6a = 3$.

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1단계: $x^4 + 4y^4$ 그대로는 인수분해가 어려우므로 보조항 $4x^2y^2$을 더하고 빼서 변형한다.
2단계: $x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2 = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$.
3단계: 차의 제곱 공식 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$를 적용하면 $(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy) = (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$.

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1단계: 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 비에타 관계식에서 $\alpha + \beta = a+1$, $\alpha\beta = a$.
2단계: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (a+1)^2 - 2a = a^2 + 1$.
3단계: 조건 $a^2 + 1 = 5$에서 $a^2 = 4$, $a = \pm 2$. 판별식 $D = (a+1)^2 - 4a = (a-1)^2 \ge 0$이므로 두 값 모두 실근 조건을 만족하고, 합 $= 2 + (-2) = 0$.

📖 풀이:
1단계: 원래 식을 표준형으로 정리하면 $y = (x-2)^2 + 3$, 꼭짓점 $(2, 3)$.
2단계: $x$축 대칭이동은 $y \to -y$이므로 식은 $y = -(x-2)^2 - 3 = -x^2 + 4x - 7$, 꼭짓점 $(2, -3)$.
3단계: $y$축 방향으로 $+8$ 평행이동하면 식의 상수항에 $+8$. $y = -x^2 + 4x - 7 + 8 = -x^2 + 4x + 1$, 꼭짓점 $(2, 5)$.

📖 풀이:
1단계: $\triangle ABD$는 한 변 6의 정삼각형이므로 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3}$. 또한 $BD = 6$.
2단계: $\triangle BCD$는 $\angle BDC = 90°$인 직각삼각형. $BD = 6$, 빗변 $BC = 12$이므로 피타고라스 정리에 의해 $CD = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
3단계: $\triangle BCD$의 넓이 $= \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$. 따라서 사각형 $ABCD$의 넓이 $= 9\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: 사각형 $ABCD$가 원에 내접하면 마주보는 두 각의 합은 $180°$. 즉 $\angle A + \angle C = 180°$.
2단계: $ABCD$가 평행사변형이므로 마주보는 두 각은 같다. 즉 $\angle A = \angle C$.
3단계: 두 식을 합치면 $2\angle A = 180°$이므로 $\angle A = 90°$. 같은 논리로 $\angle B = \angle D = 90°$. 네 각이 모두 직각이므로 평행사변형 $ABCD$는 직사각형이다.

📖 풀이:
1단계: 자료에 일정 상수 $a$를 곱하고 $b$를 더하는 일차변환 $y_i = ax_i + b$에서 새 평균은 원래 평균에 같은 변환을 적용한 값이다. $\bar{y} = 3\bar{x} + 1 = 3 \cdot 6 + 1 = 19$.
2단계: 분산은 평행이동(상수항 $b$)에 영향을 받지 않고 곱셈 상수의 제곱배가 된다. 원 분산 $= 2^2 = 4$이므로 새 분산 $= 3^2 \cdot 4 = 36$.
3단계: 따라서 새 자료의 평균은 19, 분산은 36이다.

📖 풀이:
1단계: 200 이하의 각 배수 개수: 2의 배수 100개, 3의 배수 66개, 5의 배수 40개.
2단계: 두 수의 공배수: 6의 배수 33개, 10의 배수 20개, 15의 배수 13개. 세 수 공배수: 30의 배수 6개.
3단계: 포함-배제 원리에 의해 2 또는 3 또는 5의 배수의 개수 $= 100 + 66 + 40 - 33 - 20 - 13 + 6 = 146$. 따라서 어느 것의 배수도 아닌 수의 개수 $= 200 - 146 = 54$.

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1단계: 두 그래프의 교점에서 $x^2 - 2x - 3 = x + 1$이므로 $x^2 - 3x - 4 = 0$. 인수분해하면 $(x-4)(x+1) = 0$이므로 $x = -1$ 또는 $x = 4$.
2단계: 직선 $y = x + 1$에 대입하면 $x = -1$일 때 $y = 0$, $x = 4$일 때 $y = 5$. 따라서 $A(-1, 0)$, $B(4, 5)$.
3단계: 두 점 사이 거리 $AB = \sqrt{(4-(-1))^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다. 접점을 $P$(AB 위), $Q$(BC), $R$(CD), $S$(DA)라 하면 $AP = AS$, $BP = BQ$, $CQ = CR$, $DR = DS$.
2단계: 위 등식을 사용해 $AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) = (AS + BQ) + (CQ + DS) = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC$.
3단계: 즉 외접 사각형에서 $AB + CD = BC + DA$가 성립한다. $8 + 14 = 11 + DA$이므로 $DA = 11$.

📖 풀이:
1단계: $A$에서 $BC$의 중점 $M$으로 그은 중선 $AM$의 길이를 구한다. 정삼각형에서 중선은 $BC$에 수직이므로 $\triangle ABM$은 $\angle AMB = 90°$, $BM = 3$, $AB = 6$. 피타고라스로 $AM = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
2단계: 무게중심 $G$는 각 중선을 꼭짓점에서 $2 : 1$로 분할한다. 즉 $AG : GM = 2 : 1$.
3단계: 따라서 $AG = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: 점 B에서 변 DC에 수선의 발 H를 내리면 사각형 ABHD는 모든 각이 직각이고 마주보는 변이 같아 직사각형이 된다. 따라서 BH = AD = 4, DH = AB = 7.
2단계: 직각삼각형 BHC에서 ∠BHC = 90°, ∠BCH = 45°이므로 ∠HBC = 45°. 즉 직각이등변삼각형이 되어 HC = BH = 4.
3단계: DC = DH + HC = 7 + 4 = 11.

📖 풀이:
1단계: 보조선 BC를 그으면 삼각형 BPC가 만들어진다. 삼각형의 외각 정리에 의해 ∠APC = ∠PBC + ∠PCB.
2단계: ∠PBC는 점 B에서 호 AC를 보는 원주각이므로 ∠PBC = (호AC)/2. 마찬가지로 ∠PCB는 점 C에서 호 BD를 보는 원주각이므로 ∠PCB = (호BD)/2.
3단계: 따라서 ∠APC = (호AC)/2 + (호BD)/2 = (호AC + 호BD)/2. ∎

📖 풀이:
1단계: 점 A를 중심으로 변 AD를 시계방향으로 90° 회전한다. 그러면 변 AD가 변 AB와 겹쳐 점 D는 점 B로 가고, 점 F는 변 CB(BC)를 점 B 너머로 연장한 직선 위의 점 F'으로 옮겨진다. 회전이므로 AF = AF', DF = BF'. 이때 점 E, B, F'은 한 직선(변 BC의 연장) 위에 놓인다.
2단계: ∠EAF' = ∠BAE + ∠BAF' = ∠BAE + ∠DAF. 정사각형이므로 ∠BAE + ∠EAF + ∠FAD = 90°이고 ∠EAF = 45°이므로 ∠BAE + ∠FAD = 45° = ∠EAF.
3단계: 삼각형 AEF와 삼각형 AEF'에서 AE는 공통, AF = AF', ∠EAF = ∠EAF' = 45°이므로 SAS 합동. 따라서 EF = EF' = BE + BF' = BE + DF. ∎

📖 풀이:
1단계: 새 자료의 평균은 (2a-3 + 2b-3 + ... + 2e-3)/5 = 2·(a+b+c+d+e)/5 - 3 = 2·10 - 3 = 17.
2단계: 새 자료의 각 편차는 (2x_i - 3) - 17 = 2x_i - 20 = 2(x_i - 10) = 2·(원래 편차).
3단계: 분산은 편차의 제곱평균이므로 새 분산 = 평균((2·편차)²) = 4·(원래 분산) = 4·5 = 20. 즉 상수 더하기는 분산에 영향 없고, 배수만 제곱 배가 된다.

📖 풀이:
1단계: 가장 긴 대각선 AD는 정육각형의 마주보는 두 꼭짓점을 잇는 선분으로 외접원의 지름과 같다. 정육각형은 변과 외접원 반지름이 같으므로 AD = 2 · 2 = 4.
2단계: 짧은 대각선 AC는 삼각형 ABC에서 AB = BC = 2, ∠ABC = 120°(정육각형 한 내각). B에서 AC에 수선의 발 M을 내리면 삼각형 ABM은 직각삼각형이고 ∠BAM = 30°.
3단계: AM = AB · cos 30° = 2 · (√3/2) = √3. 이등변삼각형이므로 AC = 2·AM = 2√3. 따라서 AC : AD = 2√3 : 4 = √3 : 2.

📖 풀이:
1단계: 한 원에서 길이가 같은 두 현은 같은 크기의 호에 대응한다. 대각선 AC는 호 ABC(=호 AB+호 BC)에, 대각선 BD는 호 BAD(=호 AB+호 AD)에 대응한다. AC=BD이므로 호 ABC=호 BAD이고, 공통인 호 AB를 빼면 호 BC=호 AD를 얻는다. (현의 다른 쪽 호를 잡으면 호 AB=호 CD가 되는 대칭적인 경우이며 결론은 같다.)
2단계: 호 BC=호 AD이면 같은 크기의 호에 대한 원주각이 같으므로 ∠BAC=∠DCA이다. 직선 AC를 횡단선으로 보면 엇각이 같다는 뜻이므로 AB ∥ CD이다. 즉 ABCD는 한 쌍의 대변 AB, CD가 평행한 사다리꼴이다.
3단계: 원에 내접하는 사다리꼴은 항상 등변사다리꼴이다. 실제로 AB ∥ CD이면 동측내각의 합 ∠DAB+∠ADC=180°와 내접사각형 대각의 합 ∠DAB+∠BCD=180°에서 ∠ADC=∠BCD가 되어 밑변 CD에 대한 두 밑각이 같아지기 때문이다(또한 호 BC=호 AD에서 다리 BC=AD). 따라서 ABCD는 등변사다리꼴이며, 두 대각선이 모두 지름이 되는 특수한 경우(평행사변형이 되어)에는 직사각형이 된다. 그러므로 가장 정확한 답은 등변사다리꼴(특수한 경우 직사각형)이다. ∎