📝 중3 수학 심화 (6/10)

Q126실수·근호 추론★★★

\sqrt{10}

의 정수부분을 m, 소수부분을 a라 할 때,

a^2+6a

의 값을 구하시오.

① -1

② 0

③ 1

④ 2

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 소수부분 문제의 표준 전략: 소수부분 a를 직접 계산식에 대입하지 말고,

a=\sqrt{N}-m

의 형태에서

a+m=\sqrt{N}

,

(a+m)^2=N

이라는 일차/이차 항등식을 추출한다. 그 항등식의 양변을 적당히 변형해 구해야 하는 식과 같게 만든다. 이러면 무리수항이 자연스럽게 사라진다.

📖 풀이:
1단계:

9<10<16

이므로

3<\sqrt{10}<4

, 따라서 m=3이고

a=\sqrt{10}-3

.
2단계:

a^2=(\sqrt{10}-3)^2=10-6\sqrt{10}+9=19-6\sqrt{10}

, 그리고

6a=6\sqrt{10}-18

.
3단계: 두 식을 더하면

a^2+6a=(19-6\sqrt{10})+(6\sqrt{10}-18)=1

. 무리수 항

6\sqrt{10}

이 정확히 상쇄되도록 식이 설계되어 있다.
다른 풀이:

a

가

x^2+6x-1=0

의 근이 되도록 식을 설계했음을 알 수 있다. 즉

a=\sqrt{10}-3

이면

(a+3)^2=10

,

a^2+6a+9=10

,

a^2+6a=1

.

💡 이 접근은 고등수학의 '근의 최소다항식'과 같은 발상이다.

Q127인수분해 심화★★

x^4+x^2+1

을 인수분해한 결과로 옳은 것은?

①

(x^2+1)^2

②

(x^2+x+1)(x^2-x+1)

③

(x^2+x-1)(x^2-x-1)

④

(x+1)^2(x-1)^2

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략: 표준 공식이 직접 적용되지 않는 사차식은 '

+x^2

를 더하고 빼서 완전제곱-제곱 차'를 만드는 기법(보조항 추가)이 핵심. 자주 등장하는 형태:

x^4+x^2+1

,

x^4+4

,

x^4+x^2y^2+y^4

등.

📖 풀이:
1단계: 가운데 항을 분리한다.

x^4+x^2+1 = x^4+2x^2+1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2

.
2단계: 합과 차의 곱 공식

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

를

A=x^2+1

,

B=x

로 적용:

(x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)

.
3단계: 검산.

(x^2+x+1)(x^2-x+1)

를 전개하면

x^4-x^3+x^2+x^3-x^2+x+x^2-x+1 = x^4+x^2+1

. ✓
오답 ①은

(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1

이라 다름. ④는

(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1

이라 다름.

💡

x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)

인데, 이를

x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)

로도 쓸 수 있다는 사실에서 자연스럽게 이 인수분해가 등장한다.

Q128인수분해 심화★★★

세 실수 a, b, c가

a+b+c=0

을 만족할 때,

a^3+b^3+c^3

을 abc만으로 나타내면?

① abc

② 2abc

③ 3abc

④ -3abc

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 세 변수 합이 0인 조건을 보면 즉시 항등식

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(...)

를 떠올리는 것이 정석. 이 항등식은 행렬식이나 대칭다항식 이론에도 등장하는 중요한 결과로, '세 변수 합이 0이면 세제곱의 합은 곱의 3배'라는 강력한 도구가 된다.

📖 풀이:
1단계: 항등식

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

를 이용한다. 이는 인수분해 단원의 핵심 항등식.
2단계: 조건

a+b+c=0

을 대입하면 우변 전체가 0이 되어

a^3+b^3+c^3-3abc=0

.
3단계: 따라서

a^3+b^3+c^3=3abc

.
검산:

a=1, b=1, c=-2

로 놓으면

a+b+c=0

이고, 좌변

1+1-8=-6

, 우변

3\cdot 1\cdot 1 \cdot (-2)=-6

. ✓

💡 이 결과는

1^3+2^3+(-3)^3=1+8-27=-18=3\cdot 1 \cdot 2 \cdot (-3)

처럼 정수해 검산이 쉬워 경시문제에서 단골로 출제된다.

Q129이차함수 심화★★★

이차함수

y=-x^2+6x

의 그래프와 직선

y=k

가 서로 다른 두 점 A, B에서 만난다. 선분 AB의 길이가 4일 때, 상수 k의 값을 구하시오.

① 3

② 4

③ 5

④ 8

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 포물선과 수평선의 교점은 같은 y좌표를 갖는다는 점에서 거리=

|x_1-x_2|

로 단순화된다. 이를 근과 계수의 관계로 옮겨 (

x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2

라는 표준 변형을 적용하는 것이 정석. 이차함수와 직선 교점 문제는 항상 '판별식 부호'와 '두 근의 변형식'이 핵심.

📖 풀이:
1단계: 교점의 x좌표는

-x^2+6x=k

, 즉

x^2-6x+k=0

의 두 근

x_1, x_2

이다. 근과 계수의 관계로

x_1+x_2=6

,

x_1 x_2=k

.
2단계: 두 교점은 같은 y좌표(=k)이므로 선분 AB는 수평이고,

AB=|x_1-x_2|

이다. 한편

(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2 = 36-4k

.
3단계:

|x_1-x_2|=4

이므로

36-4k=16

,

k=5

. 검산:

x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0

이므로 교점 (1,5), (5,5), 두 점 사이 거리 4. ✓
또한 서로 다른 두 점에서 만나려면

36-4k>0

, 즉

k<9

. k=5는 만족.

💡 이 문제는 사실 꼭짓점 (3,9)에서 수직거리 9-k=4 만큼 내려간 곳에서 폭이 4인 점을 찾는 것과 같다.

y=-x^2+6x = -(x-3)^2+9

로 변형해 폭=4는 좌우 2씩이라 보아도 답이 나온다.

Q130원의 성질 증명★★★

한 변의 길이가 6인 정삼각형 ABC의 변 BC, CA 위에 각각 점 D, E를 잡되 BD=CE=2가 되게 한다. 선분 AD와 BE가 만나는 점을 P라 할 때, ∠APE의 크기를 구하시오. (단, 카테고리는 도형 종합 추론에 해당하지만 회전 합동을 이용한 각 추론 문제다.)

① 60°

② 90°

③ 120°

④ 150°

🎯 정답: ①

🧠 풀이 전략: 정삼각형 위 BD=CE 같은 회전 대칭 조건을 보면, 회전 합동(SAS)을 떠올리는 것이 첫걸음. 두 직선 AD, BE의 교점에서 만들어지는 각을 △APB의 외각으로 보고 '두 내대각의 합' 정리를 쓰면 합동의 부산물(∠BAD=∠CBE)이 깔끔하게 상쇄되어 60°가 남는다. 일반화: 정n각형에서 같은 패턴을 만들면 그 각이 ∠ABC와 같다.

📖 풀이:
1단계: △ABD와 △BCE를 비교. AB=BC=6 (정삼각형 변), BD=CE=2 (가정), ∠ABD=∠BCE=60° (정삼각형 내각). SAS에 의해 △ABD ≡ △BCE.
2단계: 합동으로부터 ∠BAD=∠CBE. 이 두 각의 크기를 α라 하자.
3단계: 점 P는 AD와 BE의 교점. △APB의 한 외각이 ∠APE이며, 외각정리에 의해 ∠APE=∠PAB+∠PBA. 그런데 ∠PAB=∠DAB=α이고, ∠PBA=∠EBA=∠ABC-∠EBC=60°-α. 따라서

\angle APE = \alpha + (60°-\alpha) = 60°

.
핵심: α 값과 무관하게 항상 60°이다 (즉 BD=CE라는 조건만 있으면 위치에 관계없이 성립).

💡 이 결과는 정삼각형의 60° 회전 대칭이라는 본질을 보여주는 대표적 경시 문제로, 정사각형(90°)·정육각형(120°) 등으로 일반화된다.

Q131원의 성질 증명★★★

두 원

O_1

,

O_2

의 반지름이 각각 4와 9이고 두 원이 외접한다. 두 원 모두에 접하는 공통외접선이 두 원과 각각 점 P, Q에서 접한다고 할 때, 선분 PQ의 길이를 구하시오.

① 6

② 10

③ 12

④ 15

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 공통외접선 길이 공식

\sqrt{d^2-(R-r)^2}

의 유도가 곧 이 풀이. 두 접점에 반지름을 그리면 둘이 평행하고, 한 반지름의 끝에서 다른 반지름에 수선을 내려 직각삼각형을 만드는 게 정석. 외접 조건에서 d=R+r이라는 점도 함께 처리해야 한다. 만약 두 원이 떨어져 있다면 d만 바꾸면 되고, 내접하면 d=|R-r|이라 외접선이 한 점에서 만나는 한계 상황.

📖 풀이:
1단계: 두 원이 외접하므로 중심거리

\overline{O_1O_2}=4+9=13

.
2단계: 접선의 성질에서

O_1P\perp PQ

,

O_2Q\perp PQ

이므로

O_1P\parallel O_2Q

. 사각형

O_1PQO_2

는 PQ를 한 평행변으로 하는 직각사다리꼴.
3단계:

O_1

에서

O_2Q

에 내린 수선의 발을 H라 하면

O_1H=PQ

이고

HQ=O_1P=4

, 따라서

O_2H=O_2Q-HQ=9-4=5

.
4단계: 직각삼각형

O_1HO_2

에 피타고라스를 적용.

O_1H^2 + O_2H^2 = O_1O_2^2

,

PQ^2 + 25 = 169

,

PQ^2=144

, PQ=12.

💡 두 원의 공통내접선 길이는

\sqrt{d^2-(R+r)^2}

로, 부호와 합/차만 바뀌는 쌍대적인 공식이다. 외접하는 두 원에는 내접선이 단 하나(접점에서의 접선)뿐이라 길이는 0이 된다.

Q132도형 종합 추론★★★

좌표평면 위에 정사각형 ABCD가 있고, 두 이웃하는 꼭짓점이 A(1, 2), B(5, 5)이다. 점 D가 직선 AB의 위쪽(직선보다 y좌표가 큰 영역)에 있을 때, 점 D의 좌표를 구하시오.

① (-2, 6)

② (4, -2)

③ (-3, 5)

④ (2, 9)

🎯 정답: ①

🧠 풀이 전략: 좌표평면에서 정사각형이나 정삼각형의 꼭짓점을 구할 때, 핵심은 '한 변 벡터를 적절한 각도로 회전한 벡터'를 다른 변 벡터로 사용하는 것. 90° 반시계 회전 규칙

(x,y)\to(-y,x)

, 시계방향은

(x,y)\to(y,-x)

. 두 가능성 중 어느 쪽인지는 추가 조건(상한, 분면 등)으로 가린다.

📖 풀이:
1단계:

\overline{AB}

의 변화량은 (B-A)=(4, 3)이고 길이는

\sqrt{16+9}=5

.
2단계: 정사각형이므로

\overline{AD}\perp \overline{AB}

이고

|AD|=|AB|=5

. AB의 변화량 (4, 3)을 90° 반시계로 회전하면 (-3, 4) (회전 규칙:

(x,y)\to(-y,x)

).
3단계: D = A + (-3, 4) = (1-3, 2+4) = (-2, 6).
4단계: 위치 검증. 직선 AB: y=2 + (3/4)(x-1) = (3/4)x + 5/4. 점 (-2, 6) 대입 시 직선의 y값은

(3/4)(-2)+5/4 = -1/4

로 점의 y좌표 6보다 작다. 즉 D는 직선 위쪽. ✓
오답 ②(4,-2)는 시계방향 회전한 결과로 직선 아래쪽 위치, ④(2,9)는 점 C의 좌표.

💡 정사각형 ABCD에서 ABC를 직선 AC에 대해 대칭하면 D가 나오므로, '회전'과 '대칭' 두 관점에서 같은 점이 얻어진다. 둘 다 길이를 보존한다는 점이 본질이다.

Q133통계 심화★★

5개 자료 a, b, c, d, e의 평균이 10이고 분산이 4이다. 각 자료에 2를 곱한 후 모두 3을 더해 만든 새 자료

2a+3

,

2b+3

, ...,

2e+3

의 평균과 분산을 차례로 구하시오.

① 평균 13, 분산 4

② 평균 23, 분산 8

③ 평균 23, 분산 16

④ 평균 26, 분산 16

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 자료 변환에서 평균은 일차식 그대로 따라가고, 분산은 (1) 곱한 수의 제곱만큼만 변하고 (2) 더한 수에는 무관하다는 원리를 즉시 떠올릴 수 있어야 한다. 표준편차로 묻는 변형도 자주 나오는데, 표준편차는

|p|\cdot

(원표준편차).

📖 풀이:
1단계: 자료 변환

X \to pX+q

일 때, 새 평균 =

p\cdot

(원평균) + q, 새 분산 =

p^2\cdot

(원분산). 상수 q는 모든 자료를 같은 양만큼 평행이동시키므로 분산을 바꾸지 않는다.
2단계: 새 평균 =

2\cdot 10 + 3 = 23

.
3단계: 새 분산 =

2^2 \cdot 4 = 16

. q=3은 분산 변화에 영향 없음.
검증(원리): 새 자료의 편차 =

(2x_i+3) - (2\bar{x}+3) = 2(x_i - \bar{x})

. 따라서 편차의 크기가 정확히 2배가 되고, 편차 제곱은 4배. 평균을 내도 4배가 유지되어 분산이 4배.

💡 자료를 표준화

\dfrac{x-\bar{x}}{\sigma}

하면 평균 0, 분산 1이 된다. 이는 위 원리를 활용한 대표 사례이다.

Q134통계 심화★★★

두 자료 집단 A와 B가 있다. A는 자료 수 6개, 평균 8, 분산 4. B는 자료 수 4개, 평균 13, 분산 9. 두 집단을 합친 자료 10개의 분산을 구하시오.

① 6

② 10

③ 12

④ 15

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 두 집단 합치기 분산 공식: 각 집단의 분산을 합칠 때 단순 평균하면 안 되고, '집단 평균과 전체 평균의 차이' 때문에 추가 항이 생긴다. 일반식:

\sigma^2_{전체} = \dfrac{n_A(\sigma_A^2 + (\bar{x}_A-\bar{x})^2) + n_B(\sigma_B^2+(\bar{x}_B-\bar{x})^2)}{n_A+n_B}

. 이를 외우기보다, '제곱합'을 옮길 때 평균 이동에 의한 보정 항을 더한다는 원리로 풀면 일반화된다.

📖 풀이:
1단계: 합친 자료의 평균

\bar{x} = \dfrac{6\cdot 8 + 4\cdot 13}{10} = \dfrac{48+52}{10}=10

.
2단계: 분산 = '평균으로부터 편차 제곱의 합'을 자료 수로 나눈 값. A의 편차 제곱합 (각 자료를 8 기준):

6\cdot 4=24

. 그러나 합친 평균은 10이므로 기준을 10으로 옮겨야 한다.
A의 자료

x

에 대해

(x-10)^2 = (x-8 + (8-10))^2 = (x-8)^2 + 2(8-10)(x-8) + (8-10)^2

. 6개를 더하면

\sum_A(x-10)^2 = 24 + 2(-2)\cdot 0 + 4\cdot 6 = 24+24=48

. (편차 합은 0이므로 가운데 항 사라짐.)
3단계: 마찬가지로 B는 평균 13에서 합친 평균 10으로 이동.

\sum_B(y-10)^2 = 4\cdot 9 + (13-10)^2\cdot 4 = 36 + 9\cdot 4 = 36+36=72

.
4단계: 합친 분산 =

\dfrac{48+72}{10}=\dfrac{120}{10}=12

.

💡 이 공식을 통해 '집단 내 분산 + 집단 간 분산 = 전체 분산'(분산 분해)이라는 통계의 핵심 정리가 성립한다. 분산 분석(ANOVA)의 출발점이다.

Q135경시 퍼즐·확률★★★

서로 구별되는 주사위 3개를 동시에 던진다. 세 눈의 합이 7이 될 확률을 기약분수로 나타내시오.

①

\dfrac{1}{24}

②

\dfrac{5}{72}

③

\dfrac{1}{12}

④

\dfrac{7}{108}

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략: 여러 주사위의 합 문제는 (1) 표본공간 크기

6^n

, (2) 합 조건을 만족하는 정수해의 개수, 두 부분으로 나뉜다. 주사위라는 점에서 각 변수가 1~6 사이로 제한되므로, 한 변수를 고정하고 나머지를 세는 방식이 가장 안전. 여기서는 각 a 값마다 b+c의 가능 가짓수가 자연스럽게 1~5로 나오는 패턴을 보여준다. 합을 14로 묻는 등으로 바꾸면 대칭 위치 (각 면 7-x)에서 같은 가짓수가 나온다.

📖 풀이:
1단계: 주사위 3개의 모든 경우의 수는

6^3=216

.
2단계: 합이 7인 (a,b,c) 순서쌍을 첫 주사위 a 값으로 분류한다 (a=1~6, 각 b, c는 1~6).
- a=1: b+c=6, 가능 (b,c) = (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) → 5가지
- a=2: b+c=5, 가능 → 4가지
- a=3: b+c=4 → 3가지
- a=4: b+c=3 → 2가지
- a=5: b+c=2 → 1가지
- a=6: b+c=1 → 0가지
합계 5+4+3+2+1+0=15.
3단계: 확률 =

\dfrac{15}{216}=\dfrac{5}{72}

.

💡 세 주사위 합의 확률분포는 합 10, 11에서 최대(각 27/216=1/8)이다. 이는 1623년 갈릴레이가 도박꾼들에게 받은 질문에서 다룬 유명한 문제로, 합 9와 합 10의 확률이 다르다는 것이 결론이었다.

Q136이차방정식 활용★★★

두 이차방정식 x²+ax+12=0 과 x²+12x+a=0 이 오직 하나의 공통근만 가질 때, 상수 a의 값을 구하시오.

① a=-13

② a=-13 또는 a=12

③ a=13

④ a=-12

Q137이차함수 심화★★★

이차함수 y=x²+ax+b 의 그래프가 점 (1, 0) 을 지나고 꼭짓점의 y좌표가 -4 일 때, a+b 의 값을 구하시오.

① -3

② -1

③ 0

④ 2

Q138삼각비 심화★★★

삼각형 ABC 에서 ∠A=120°, AB=4, AC=6 이다. 이때 변 BC 의 길이를 구하시오.

① 2√13

② 2√19

③ 4√5

④ 2√21

🎯 정답: ② 2√19

🧠 풀이 전략: 둔각삼각형은 한 꼭짓점에서 반대 변까지 직접 수선을 그을 수 없는 경우가 있으므로 변의 연장선을 활용한다. 다른 꼭짓점에서 연장선으로 수선을 그으면 두 직각삼각형으로 분해되어 삼각비와 피타고라스 정리만으로 결론을 얻는다.

📖 풀이:
1단계: ∠A=120° 가 둔각이므로 A 에서 BC 쪽으로 직접 수선을 내릴 수 없다. 점 B 에서 변 CA 의 연장선에 수선의 발 H 를 내리면 ∠BAH = 180° - 120° = 60°. 2단계: 직각삼각형 BAH 에서 AH = AB·cos60° = 4·(1/2) = 2, BH = AB·sin60° = 4·(

\frac{\sqrt{3}}{2}

) = 2√3. 3단계: 직각삼각형 BHC 에서 CH = AC + AH = 6 + 2 = 8. 피타고라스 정리에 따라 BC² = BH² + CH² = (2√3)² + 8² = 12 + 64 = 76. 따라서 BC = √76 = 2√19.

💡 이 풀이는 사실상 코사인법칙 BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosA 의 기하적 유도이다. cos120° = -1/2 를 대입하면 16+36+24 = 76 으로 같은 결과를 얻는다.

Q139통계 심화★★★

5개의 자료 x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ 의 평균이 6, 분산이 4 이다. 여기에 새로운 자료 8 을 하나 추가하여 6개의 자료로 만들었을 때, 새 자료의 평균과 분산을 각각 구하시오.

① 평균 19/3, 분산 35/9

② 평균 7, 분산 4

③ 평균 19/3, 분산 4

④ 평균 7, 분산 35/9

Q140이차방정식 활용★★★

이차방정식 x² - 2kx + k + 6 = 0 이 두 정수해를 가질 때, 가능한 모든 정수 k 의 값의 합을 구하시오.

① 2

② 4

③ 7

④ 10

Q141이차함수 심화★★

이차함수 y = x² + 2x - 1 의 그래프를 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b 만큼 평행이동했더니 y = x² - 4x + 3 의 그래프가 되었다. a + b 의 값을 구하시오.

① 3

② 4

③ 5

④ 2

Q142원의 성질 증명★★★

반지름이 각각 4, 9 인 두 원이 외접한다. 이 두 원의 한 외부 공통접선의 두 접점 사이의 거리를 구하시오.

① 10

② 12

③ 13

④ 6√2

Q143경시 퍼즐·확률★★★

1, 2, 3, 4, 5 의 숫자가 적힌 카드 5장을 일렬로 배열할 때, 1이 적힌 카드와 2가 적힌 카드가 서로 이웃하지 않을 확률을 구하시오.

① 2/5

② 1/2

③ 3/5

④ 7/10

Q144도형 종합 추론★★★

좌표평면 위의 세 점 A(0, 4), B(-3, 0), C(5, 0) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 외심의 좌표를 구하시오.

① (1, 0)

② (1, 1/8)

③ (1, 1/4)

④ (1/2, 1)

Q145인수분해 심화★★★

x⁴ + 4 를 두 이차식의 곱으로 인수분해하시오.

① (x²+2)²

② (x²+2)(x²-2)

③ (x²+2x+2)(x²-2x+2)

④ (x+1)(x-1)(x²+4)

Q146실수·근호 추론★★

이중근호 √(9 - 4√5) 를 간단한 꼴로 나타내시오.

① √5 + 2

② √5 - 2

③ 2 - √5

④ 3 - √5

Q147통계 심화★★★

5개의 자료 a, b, 4, 6, 8 의 평균이 5, 분산이 4 이다. 이때 ab 의 값을 구하시오.

① 7

② 10

③ 12

④ 15

Q148실수·근호 추론★★

\sqrt{7+2\sqrt{10}}

을 간단히 한 값은?

①

\sqrt{5}+\sqrt{2}

②

\sqrt{6}+1

③

\sqrt{7}+\sqrt{3}

④

\sqrt{10}+1

🎯 정답: ①

\sqrt{5}+\sqrt{2}

🧠 풀이 전략:

a+2\sqrt{b}

꼴인지 확인하고, 합

a

와 곱

b

를 만족하는 두 양수를 떠올린다. 두 수가 정수쌍이면 깔끔히 풀린다.

📖 풀이:
1단계) 이중근호

\sqrt{a+2\sqrt{b}}

꼴은 합이

a

, 곱이

b

인 두 양수

p, q

를 찾으면

\sqrt{(\sqrt{p}+\sqrt{q})^2} = \sqrt{p}+\sqrt{q}

로 풀린다. 2단계)

7+2\sqrt{10}

에서 합

=7

, 곱

=10

인 두 수는

5

와

2

이다 (

5+2=7, 5 \times 2=10

). 3단계) 따라서

\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{5}+\sqrt{2}

. 검산:

(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = 5+2+2\sqrt{10} = 7+2\sqrt{10}

✓

💡 이중근호의 단순화는 16세기 이탈리아 수학자들이 삼차방정식 해법을 다루며 발전시킨 기법 중 하나다.

Q149인수분해 심화★★★

다항식

x^4+x^2+1

을 인수분해한 결과는?

①

(x^2+x+1)(x^2-x+1)

②

(x^2+1)^2

③

(x^2-x-1)(x^2+x+1)

④

(x+1)^2(x-1)^2

🎯 정답: ①

(x^2+x+1)(x^2-x+1)

🧠 풀이 전략: 사차식이 직접 인수분해되지 않을 때는 적절한 항을 더하고 빼서 완전제곱식 빼기 제곱식 형태(제곱차)로 만든다. 이는 인수분해 표준 기법.

📖 풀이:
1단계) 직접 인수분해되지 않으므로 항을 더하고 빼서 변형한다:

x^4+x^2+1 = x^4+2x^2+1 - x^2

. 2단계)

x^4+2x^2+1 = (x^2+1)^2

이므로 식은

(x^2+1)^2 - x^2

의 제곱차 형태. 3단계)

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

로:

(x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)

. 검산: 두 인수의 곱은

x^4+x^2+1

로 일치한다.

💡 이 형태의 식은 원분다항식(

\Phi_n

) 이론과 연결되며,

x^6-1

의 인수분해와도 관련이 있다.

Q150이차방정식 활용★★★

이차방정식

x^2+ax+b=0

과

x^2+bx+a=0

이 공통근을 갖고

a \neq b

일 때,

a+b

의 값은?

①

-2

②

-1

③

0

④

1

🎯 정답: ②

-1

🧠 풀이 전략: 두 이차식이 공통근을 가지면 두 식을 빼서 차수가 한 단계 낮은 일차식을 얻는 것이 정석.

a \neq b

조건은 인자 분리에 핵심적으로 쓰인다.

📖 풀이:
1단계) 공통근을

x=t

라 하면

t^2+at+b=0

㉠,

t^2+bt+a=0

㉡이 동시에 성립. 2단계) ㉠

-

㉡:

(a-b)t + (b-a) = 0 \Rightarrow (a-b)(t-1) = 0

.

a \neq b

이므로

t=1

. 3단계)

t=1

을 ㉠에 대입:

1+a+b=0

. 따라서

a+b=-1

.

💡 두 다항식의 공통근 존재 여부는 '결과식(resultant)' 이라는 양이 0인지로 일반적으로 판정한다.