📝 중3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $n^2 < n^2+n$ 이므로 $n < \sqrt{n^2+n}$. 2단계: $n^2+n < n^2+2n+1 = (n+1)^2$ 이므로 $\sqrt{n^2+n} < n+1$. 3단계: 따라서 $n < \sqrt{n^2+n} < n+1$ 이고 정수부분은 n. 4단계: n=10 이면 $\sqrt{110}$ 의 정수부분은 10.

📖 풀이:
1단계: 직접 인수분해가 어려우므로 $(2xy)^2$ 을 더하고 빼는 기법을 쓴다. $x^4+4y^4 = x^4+4x^2y^2+4y^4 - 4x^2y^2$. 2단계: $= (x^2+2y^2)^2 - (2xy)^2$. 3단계: 합·차의 곱으로 $= (x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)$.

📖 풀이:
1단계: 공통근을 α라 하면 두 식이 모두 0이므로 두 식을 빼면 $(a-1)\alpha + (1-a) = 0$, 즉 $(a-1)(\alpha-1) = 0$. 2단계: a ≠ 1 이므로 α = 1. 3단계: α=1 을 첫 식에 대입하면 $1+a+1=0$ 이므로 a=-2. 4단계: a=-2 를 두 번째 식에 대입하면 $1+1-2=0$ 으로 성립함을 검증.

📖 풀이:
1단계: 포물선 위의 점을 $P(t, t^2-2t)$ 로, 직선을 $2x-y-5=0$ 으로 두면 점과 직선 사이 거리는 $d(t) = \frac{|2t-(t^2-2t)-5|}{\sqrt{5}} = \frac{|-t^2+4t-5|}{\sqrt{5}} = \frac{|t^2-4t+5|}{\sqrt{5}}$. 2단계: $t^2-4t+5 = (t-2)^2+1 \geq 1 > 0$ 이므로 절댓값을 풀면 $d(t) = \frac{(t-2)^2+1}{\sqrt{5}}$. 3단계: t=2 일 때 최솟값 $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

📖 풀이:
1단계: 대각선이 교차하는 사각형은 두 대각선과 교각으로 만든 네 개의 삼각형으로 분할된다. 각 작은 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot p \cdot q \cdot \sin60°$ 형태(p,q 는 분할된 대각선 조각). 2단계: 네 삼각형 넓이의 합은 $\frac{1}{2}\sin60°\{(AO\cdot BO)+(AO\cdot DO)+(CO\cdot BO)+(CO\cdot DO)\} = \frac{1}{2}\sin60°(AO+CO)(BO+DO) = \frac{1}{2}\sin60° \cdot AC \cdot BD$. 3단계: $= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: 정삼각형의 한 내각은 60° 이고 사인법칙에 의해 $\frac{a}{\sin 60°} = 2R$ 이다. 2단계: $a = 2R \sin 60° = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. 3단계: 검증으로 정삼각형 외접원 반지름 공식 $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ 에 a=2√3 을 대입하면 $R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ 로 일치.

📖 풀이:
1단계: AD가 ∠A 의 이등분선이므로 ∠BAD = ∠CAD. 2단계: ∠BAD 는 호 BD에 대한 원주각이고 ∠CAD 는 호 CD에 대한 원주각이다(D 반대쪽에서 본 호). 같은 원에서 원주각의 크기가 같으면 대응 호의 길이가 같으므로 호 BD = 호 CD. 3단계: 같은 원에서 호의 길이가 같으면 현의 길이도 같으므로 BD = CD.

📖 풀이:
1단계: 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같으므로 $AF = AE = x$, $BF = BD = y$, $CD = CE = z$ 로 놓는다. 2단계: 변의 길이로부터 $x+y = c$ (변 AB), $y+z = a$ (변 BC), $x+z = b$ (변 CA) 라는 세 식을 얻는다. 3단계: 세 식을 모두 더하면 $2(x+y+z) = a+b+c$, $x+y+z = \frac{a+b+c}{2}$. 4단계: 양변에서 $y+z=a$ 를 빼면 $x = \frac{a+b+c}{2} - a = \frac{b+c-a}{2}$. 따라서 $AF = \frac{b+c-a}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 좌표 A(0,0), B(4,0), C(4,4), D(0,4), P(x,y) 로 두면 $PA^2 = x^2+y^2$, $PC^2 = (x-4)^2+(y-4)^2$. 2단계: $PA^2+PC^2 = x^2+y^2+(x-4)^2+(y-4)^2$. 3단계: 한편 $PB^2 = (x-4)^2+y^2$, $PD^2 = x^2+(y-4)^2$ 이므로 $PB^2+PD^2 = (x-4)^2+y^2+x^2+(y-4)^2$. 4단계: 두 식의 항이 모두 일치하므로 $PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2$ 가 P의 위치와 무관하게 항상 성립.

📖 풀이:
1단계: 자료의 평균은 자료 전체에 같은 값을 더하면 그만큼 이동하므로 새 평균은 $8+3=11$. 2단계: 새 자료의 편차는 $(a+3) - (m+3) = a - m$ 으로 원래 편차와 같다. 3단계: 따라서 편차제곱의 평균인 분산은 변하지 않고 그대로 4.

📖 풀이:
1단계: 4개 자료의 합은 $a+b+c+d = 4m$ 이므로 새 자료 5개의 합은 $4m + m = 5m$, 새 평균은 $\frac{5m}{5} = m$ (변화 없음). 2단계: 분산 정의에 따라 원래 편차제곱의 합은 $(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2+(d-m)^2 = 4\sigma^2$. 3단계: 추가된 자료 m은 평균과 같아 편차가 0 이므로 새 편차제곱의 합 = $4\sigma^2 + 0 = 4\sigma^2$. 4단계: 자료 개수가 5로 늘었으므로 새 분산 = $\frac{4\sigma^2}{5} = \frac{4}{5}\sigma^2$.

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 공의 색에 따라 경우를 나눈다. 경우 1: 첫 번째가 빨강 → 확률 $\frac{3}{8}$. 이때 남은 공은 빨강 2, 파랑 5 이므로 두 번째가 빨강일 조건부 확률은 $\frac{2}{7}$. 2단계: 경우 2: 첫 번째가 파랑 → 확률 $\frac{5}{8}$. 이때 남은 공은 빨강 3, 파랑 4 이므로 두 번째가 빨강일 조건부 확률은 $\frac{3}{7}$. 3단계: 전체 확률 = $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} + \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{56} + \frac{15}{56} = \frac{21}{56} = \frac{3}{8}$. 4단계: 결과는 첫 번째 시행 없이 그냥 한 개를 꺼낼 확률 $\frac{3}{8}$ 과 같다.

📖 풀이:
1단계: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7.07$이므로 정수 부분 $a=7$이다.
2단계: 소수 부분은 $b = 5\sqrt{2}-7$이다.
3단계: 분모를 유리화하면 $\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5\sqrt{2}-7}=\dfrac{5\sqrt{2}+7}{(5\sqrt{2})^2-7^2}=\dfrac{5\sqrt{2}+7}{50-49}=5\sqrt{2}+7$.
4단계: 따라서 $\dfrac{1}{b}-a = (5\sqrt{2}+7)-7 = 5\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$이 유리수라 가정하고 그 값을 $r$로 둔다.
2단계: 양변을 제곱하면 $2+2\sqrt{6}+3 = r^2$, 즉 $5+2\sqrt{6}=r^2$.
3단계: 이항하여 정리하면 $\sqrt{6}=\dfrac{r^2-5}{2}$. 우변은 유리수의 사칙연산으로 만들어지므로 유리수.
4단계: 그러나 $\sqrt{6}$은 무리수임이 알려져 있다(소인수 2와 3의 지수가 홀수). 가정과 모순. 따라서 $\sqrt{6}$은 유리수가 아니라는 사실에 의해 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$도 유리수일 수 없으므로 무리수이다.

📖 풀이:
1단계: 단순 합의 형태로는 직접 인수분해되지 않으므로 $4x^2y^2$를 더하고 빼는 변형을 시도. $x^4+4y^4 = (x^4+4x^2y^2+4y^4) - 4x^2y^2$.
2단계: 앞부분이 완전제곱식이 됨: $x^4+4x^2y^2+4y^4 = (x^2+2y^2)^2$.
3단계: 식 전체는 $(x^2+2y^2)^2 - (2xy)^2$ 꼴로 곱의 차가 됨.
4단계: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ 적용: $(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy) = (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$.

📖 풀이:
1단계: 분모를 유리화한다. $x = \dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{5}+2$, $y=\sqrt{5}-2$.
2단계: 두 식의 합과 곱을 구한다. $x+y=2\sqrt{5}$, $xy=(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=1$.
3단계: 대칭식 변형 공식 $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ 사용.
4단계: $(2\sqrt{5})^2 - 2(1) = 20-2 = 18$.

📖 풀이:
1단계: 첫 식을 인수분해하면 $(x-1)(x-k)=0$이므로 근은 $x=1$ 또는 $x=k$.
2단계: 둘째 식을 인수분해하면 $(x-2)(x+k)=0$이므로 근은 $x=2$ 또는 $x=-k$.
3단계: 공통근이 될 수 있는 경우를 모두 나열한다.
(i) $1=2$: 불가능.
(ii) $1=-k$ → $k=-1$.
(iii) $k=2$.
(iv) $k=-k$ → $k=0$.
4단계: 각 $k$값을 대입해 실제로 공통근이 존재함을 확인한다 ($k=-1$: 공통근 1; $k=2$: 공통근 2; $k=0$: 공통근 0). 합은 $-1+2+0=1$.

📖 풀이:
1단계: 정수해가 존재하려면 판별식 $D=(k+1)^2-4(k-2)=k^2-2k+9$가 완전제곱수여야 한다.
2단계: $D=(k-1)^2+8$이므로 $(k-1)^2+8 = m^2$ ($m\geq 0$ 정수)로 놓으면 $m^2-(k-1)^2=8$, 즉 $(m-k+1)(m+k-1)=8$.
3단계: 두 인수의 합 $2m$이 짝수이므로 두 인수는 같은 우기성. 8의 같은 우기성 짝: $(2,4)$. 따라서 $m-k+1=2$, $m+k-1=4$ → $m=3$, $k=2$.
4단계: $k=2$일 때 $x^2-3x+0=0$, $x(x-3)=0$이므로 $x=0$ 또는 $x=3$. 두 정수해 확인. $k=1$일 때 $D=8$로 완전제곱이 아니므로 부적합. 따라서 가장 작은 자연수 $k=2$.

📖 풀이:
1단계: 피타고라스 정리로 $AB=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$.
2단계: 삼각형 $BCD$에서 $\angle BDC=90°$이고 $\angle DBC=\angle ABC$(공통각)이므로 $\triangle BCD \sim \triangle BAC$ (AA 닮음).
3단계: 닮음에 의해 대응각이 같다. $\angle BCD$는 작은 삼각형 $BCD$에서 $\angle B$의 대각이고, 이는 큰 삼각형 $BAC$의 $\angle A$에 대응한다. 즉 $\angle BCD = \angle BAC$.
4단계: $\sin(\angle BAC)=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{13}$이므로 $\sin(\angle BCD)=\dfrac{12}{13}$.

📖 풀이:
1단계: $AB=AC$이고 $\angle A=120°$이므로 밑각 $\angle ABC=\angle ACB=30°$.
2단계: $D$가 $BC$ 위에 있고 $AD=BD$이므로 삼각형 $ABD$는 이등변. 같은 변에 대응하는 두 밑각이 같으므로 $\angle DAB = \angle DBA = 30°$. 따라서 $\angle ADB = 180°-30°-30°=120°$.
3단계: $A$에서 $BC$에 수선 $AH$를 내리면 직각삼각형 $ABH$에서 $\angle ABH=30°$, $AB=10$이므로 $AH=10\sin 30°=5$.
4단계: $\angle ADB=120°$이므로 그 보각 $\angle ADH=60°$. 직각삼각형 $ADH$에서 $\sin 60°=\dfrac{AH}{AD}$, 따라서 $AD=\dfrac{5}{\sin 60°}=\dfrac{5}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{10}{\sqrt{3}}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 두 그래프가 점 $(1,-1)$을 지나므로 포물선에 대입: $1+b+c=-1$, 즉 $b+c=-2$ (∗).
2단계: 두 그래프가 접한다는 것은 두 식을 연립한 방정식 $x^2+bx+c=2x-3$, 즉 $x^2+(b-2)x+(c+3)=0$이 중근을 가진다는 뜻이다.
3단계: 그 중근이 $x=1$이므로 두 근의 합과 곱 관계에서 $-(b-2)=1+1=2$ → $b=0$, $c+3=1\cdot 1=1$ → $c=-2$.
4단계: 따라서 $b+c=0+(-2)=-2$. (∗)와도 일치하므로 검산 완료.

📖 풀이:
1단계: 두 원이 외접하므로 중심거리 $O_1O_2 = 4+9=13$.
2단계: 공통외접선이 원에 접하는 점을 $A$ (작은 원), $B$ (큰 원)이라 하면 접선과 반지름의 수직 관계에서 $O_1A\perp AB$, $O_2B\perp AB$.
3단계: 사각형 $O_1ABO_2$는 두 직각을 가진 사다리꼴. $O_1$에서 $O_2B$에 수선 $O_1H$를 내리면 사각형 $O_1AHB$가 직사각형이 되어 $BH=O_1A=4$. 따라서 $O_2H = O_2B-BH = 9-4=5$.
4단계: 직각삼각형 $O_1HO_2$에서 피타고라스 정리: $O_1H = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2H^2} = \sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$. 그런데 $O_1H = AB$이므로 공통외접선 길이는 12.

📖 풀이:
1단계: 빗변 길이 $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 따라서 정사각형의 한 변도 10.
2단계: 벡터 $\vec{AB}=B-A=(-6,8)$. 정사각형의 다음 변 $\vec{BC}$는 $\vec{AB}$에 수직이고 같은 길이. 90° 시계방향 회전: $(x,y)\to(y,-x)$ 적용하면 $\vec{BC}=(8,6)$. 이 방향은 원점 반대편을 가리킨다(빗변 중점 $(3,4)$에 더해 $(11,10)$이 되어 원점에서 멀어짐).
3단계: 정사각형의 꼭짓점 결정: $C=B+\vec{BC}=(0,8)+(8,6)=(8,14)$, $D=A+\vec{BC}=(6,0)+(8,6)=(14,6)$.
4단계: 좌표 성분의 총합: $8+14+14+6=42$.

📖 풀이:
1단계: 4통의 편지를 4명에게 분배하는 전체 경우의 수는 $4!=24$.
2단계: '정확히 한 명만 자신의 편지'를 받는 경우 = (자신의 편지를 받는 사람 1명을 고르는 방법) × (나머지 3명은 모두 자기 것이 아닌 편지를 받는 배치 수).
3단계: 자신의 편지를 받는 사람 선택은 $4$가지. 나머지 3명이 모두 자기 편지가 아닌 편지를 받는 배치(완전순열) 수 $D_3=2$ (구체적으로 1→2→3→1 사이클과 1→3→2→1 사이클).
4단계: 유리한 경우의 수는 $4\times 2 = 8$. 따라서 확률은 $\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}$.

📖 풀이:
1단계: $3q^2=p^2$에서 우변 $p^2$이 3의 배수임을 안다. 소수 3에 대해 ' $p^2$이 3의 배수이면 p도 3의 배수'(소인수 분해의 유일성)이므로 $p=3k$로 둘 수 있다.
2단계: $p=3k$를 대입하면 $3q^2=9k^2$, 즉 $q^2=3k^2$. 같은 논리로 q도 3의 배수가 된다.
3단계: 이는 p, q가 모두 3을 공약수로 가지므로 '서로소'라는 처음 가정에 정면으로 모순. 따라서 가정이 거짓이며, $\sqrt{3}$은 유리수가 아니다.
①은 2의 배수 논리이므로 $\sqrt{2}$의 무리수 증명에 쓰는 논거이다. ③④는 모순을 이끌어내는 핵심이 아니다.