📝 중3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 분모의 켤레는 $\sqrt{5}-\sqrt{3}$. 분자·분모에 같이 곱한다.
2단계: 분모 = $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 5-3 = 2$ (합·차 곱은 제곱의 차).
3단계: 분자 = $2(\sqrt{5}-\sqrt{3})$. 따라서 전체 = $\dfrac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: △PAC와 △PDB에서 ∠APC = ∠DPB (맞꼭지각). 또한 ∠PAC(=∠BAC)와 ∠PDB(=∠BDC)는 모두 호 BC에 대한 원주각이므로 같다.
2단계: 두 각이 같으므로 △PAC ∽ △PDB (AA 닮음). 대응변의 비에서 $\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{PC}{PB}$, 즉 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.
3단계: $4 \times 9 = 6 \times PD \Rightarrow PD = 6$.

📖 풀이:
1단계: 점 A를 x축에 대칭시켜 A'(0, -6)을 잡는다. x축 위 임의의 점 P에 대해 AP = A'P 이므로 $AP+PB = A'P+PB$.
2단계: $A'P+PB$가 최소가 되는 경우는 A', P, B가 한 직선 위에 있을 때이며, 이때 값은 선분 A'B의 길이와 같다.
3단계: $A'B = \sqrt{(10-0)^2+(4-(-6))^2} = \sqrt{100+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: $AB = AD+BD = 13$. 직각삼각형에서 빗변에 내린 수선에 의해 만들어지는 세 삼각형은 모두 닮음이다. 이로부터 $CD^2 = AD\cdot BD = 4 \times 9 = 36$, $AC^2 = AD\cdot AB = 4 \times 13 = 52$, $BC^2 = BD\cdot AB = 9 \times 13 = 117$.
2단계: $AC = 2\sqrt{13}$, $BC = 3\sqrt{13}$. 따라서 $\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}$, $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{2\sqrt{13}}{13}$.
3단계: $\sin A + \cos A = \dfrac{3\sqrt{13}+2\sqrt{13}}{13} = \dfrac{5\sqrt{13}}{13}$.

📖 풀이:
1단계: 1부터 100 사이의 모든 자연수 n을 $n = 2^k \cdot m$ (k는 0 이상의 정수, m은 홀수)로 유일하게 표현한다. 여기서 m은 1, 3, 5, ..., 99 중 하나이므로 '홀수 꼬리'의 종류는 정확히 50가지.
2단계: 비둘기집 원리: 51개의 수를 50종류의 '꼬리'에 분류하면 같은 꼬리 m을 가지는 두 수 $2^{k_1}m$, $2^{k_2}m$ (단, $k_1 < k_2$)이 반드시 존재한다.
3단계: 이 두 수의 비는 $2^{k_2-k_1}$로 자연수. 즉 작은 수가 큰 수의 약수가 되어 원하는 쌍이 얻어진다.

📖 풀이:
1단계: 절댓값 분리. $x \ge 0$이면 $y = x^2-4x+3 = (x-2)^2-1$ (꼭짓점 (2,-1)). $x < 0$이면 $y = x^2+4x+3 = (x+2)^2-1$ (꼭짓점 (-2,-1)). 그래프는 y축에 대해 대칭인 'W'자.
2단계: $x=0$에서 y=3 (국소최댓값), 양쪽 꼭짓점에서 y=-1 (전체 최솟값). 수평선 $y=k$와의 교점 수를 k의 위치로 분류: $k<-1$이면 0개, $k=-1$이면 2개(꼭짓점 접촉), $-1<k<3$이면 4개, $k=3$이면 3개(y축 꼭지점 통과), $k>3$이면 2개.
3단계: 네 점에서 만나려면 엄격하게 $-1 < k < 3$. 경계 포함 시 교점 수가 줄거나 겹쳐서 정확히 4개가 되지 않는다.

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1단계: 원주각 정리의 따름정리에 의해 '호에 대한 원주각은 그 호의 길이(=중심각)에 비례'한다. 꼭짓점 A에서의 원주각 $\angle A$는 호 BC에 대응, $\angle B$는 호 CA, $\angle C$는 호 AB에 대응한다.
2단계: 따라서 $\angle A : \angle B : \angle C = \overset{\frown}{BC} : \overset{\frown}{CA} : \overset{\frown}{AB} = 4 : 5 : 3$.
3단계: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$이므로 한 단위는 $\dfrac{180°}{4+5+3}=15°$. 따라서 $\angle A = 4 \times 15° = 60°$.

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1단계: 포함배제 원리로 적어도 하나의 과목을 좋아하는 학생 수를 구한다. $|M \cup E \cup S| = |M|+|E|+|S| - |M\cap E| - |E\cap S| - |M\cap S| + |M\cap E\cap S|$.
2단계: 값 대입. $= 25+22+20 - 15-12-14 + 8 = 67 - 41 + 8 = 34$명.
3단계: 전체 40명 중 어느 과목도 좋아하지 않는 학생 = $40 - 34 = 6$명.

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1단계: 두 수는 모두 양수이므로 '제곱의 대소 = 원래 수의 대소'라는 성질을 이용할 수 있다.
2단계: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$이고, $(\sqrt{a+b})^2 = a + b$이다.
3단계: 두 제곱값의 차가 $2\sqrt{ab} > 0$ (a, b가 양수)이므로 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 > (\sqrt{a+b})^2$. 따라서 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$.

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1단계: 자료 B의 각 값은 자료 A의 각 값에 정확히 100을 더한 것이다. 즉 자료 전체가 '평행이동'만 되었다.
2단계: 자료 전체에 같은 상수 c를 더하면 평균도 c만큼 증가하지만, 각 '편차'(변량 - 평균) 값은 변하지 않는다: $(x_i + c) - (\bar{x} + c) = x_i - \bar{x}$.
3단계: 편차가 같으므로 편차의 제곱의 평균인 분산, 그리고 그 양의 제곱근인 표준편차도 변하지 않는다. 따라서 두 표준편차는 같다.

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1단계: 한가운데 항을 보강해 완전제곱을 만든다. $x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$.
2단계: $(x^2+1)^2 - x^2$는 제곱의 차 꼴이다.
3단계: $(A^2 - B^2) = (A+B)(A-B)$를 적용하면 $\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\} = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.

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1단계: 두 정수 해를 α, β라 하면 근과 계수 관계에서 $\alpha + \beta = k+1$, $\alpha\beta = k+3$.
2단계: 두 식을 빼면 $\alpha\beta - (\alpha+\beta) = 2$. 양변에 1을 더해 좌변을 묶으면 $\alpha\beta - \alpha - \beta + 1 = 3$, 즉 $(\alpha-1)(\beta-1) = 3$.
3단계: 3을 두 정수의 곱으로 나타내는 방법은 $1\times 3,\ 3\times 1,\ (-1)\times(-3),\ (-3)\times(-1)$. 이로부터 $(\alpha, \beta) \in \{(2,4),(0,-2)\}$(순서 무관). 각각 k+1 = 6 → k = 5, k+1 = -2 → k = -3. 두 값 모두 αβ 조건도 만족한다.

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1단계: 두 그래프의 공통점을 구하기 위해 연립하면 $x^2 - 4x + 3 = mx - 1$, 즉 $x^2 - (4+m)x + 4 = 0$.
2단계: 접한다는 것은 이차방정식이 '중근'을 가진다는 뜻이므로 판별식 $D = 0$. $D = (4+m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (4+m)^2 - 16$.
3단계: $(4+m)^2 = 16$ → $4+m = \pm 4$ → m = 0 또는 m = -8.

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1단계: ∠A = 90°, ∠B = 30°이므로 ∠C = 60°. AC = 3을 ∠B = 30°의 대변으로 보면 $\sin B = \frac{AC}{BC}$에서 $BC = \frac{3}{\sin 30°} = \frac{3}{1/2} = 6$. 또 $AB = \frac{AC}{\tan B} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$.
2단계: 삼각형 ABC의 넓이를 두 변 AC, AB로 계산: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$.
3단계: 같은 넓이를 빗변 BC와 수선 AH로 계산: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = 3\cdot AH$. 따라서 $3 \cdot AH = \frac{9\sqrt{3}}{2}$이므로 $AH = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

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1단계: 접선의 성질에서 접점을 지나는 반지름은 접선에 수직이다. 따라서 $\angle OT l = 90°$, 즉 반지름 OT와 접선 l 사이 각이 직각이다.
2단계: 삼각형 OTA에서 OT = OA = r (같은 원의 반지름)이므로 이등변삼각형이다. 꼭지각 $\angle TOA = 2\beta$이므로 밑각 $\angle OTA = \angle OAT = \frac{180° - 2\beta}{2} = 90° - \beta$.
3단계: 접선과 현 사이의 각은 $\alpha = \angle OT l - \angle OTA = 90° - (90° - \beta) = \beta$. 따라서 α = β가 성립한다.

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1단계: A(0,0)에서 AB(x축 방향)와 AC(y축 방향)가 수직이므로 ∠A = 90°. 삼각형 ABC는 A가 직각인 직각삼각형이다.
2단계: '직각삼각형에서 외접원의 지름은 빗변'이라는 원의 성질(지름에 대한 원주각이 90°)을 이용한다. 따라서 외접원의 중심은 빗변 BC의 중점이고, 반지름은 빗변의 절반이다.
3단계: 빗변 BC의 중점은 $\left(\frac{0+8}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = (4, 3)$. 빗변의 길이는 $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$이므로 반지름은 5.

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1단계: 1부터 10까지의 수를 '합이 11이 되는 쌍'으로 묶는다: {1, 10}, {2, 9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6}. 이렇게 모두 다섯 쌍이 만들어지고, 1 ~ 10의 각 수는 정확히 한 쌍에만 속한다.
2단계: 여섯 개의 수를 뽑는다는 것은 비둘기(수) 6마리를 비둘기집(쌍) 5개에 넣는 것과 같다.
3단계: 비둘기집 원리에 의해 어느 한 쌍에는 두 수가 모두 들어간다. 그 쌍의 두 수의 합은 11이므로, 뽑은 여섯 수 안에는 합이 11이 되는 두 수가 반드시 존재한다.

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1단계: 조건 $h \ge 25$를 식으로 쓰면 $30t - 5t^2 \ge 25$. 정리하면 $5t^2 - 30t + 25 \le 0$, 양변을 5로 나누어 $t^2 - 6t + 5 \le 0$.
2단계: 좌변을 인수분해하면 $(t-1)(t-5) \le 0$.
3단계: 이차부등식의 해는 두 근 사이이므로 $1 \le t \le 5$. 시간 구간의 길이는 $5 - 1 = 4$ (초).

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1단계: 포물선이 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다는 것은 이차방정식 $x^2 + 2kx + (k+2) = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖는 것과 같다. 조건은 판별식 $D > 0$.
2단계: $\frac{D}{4} = k^2 - (k+2) > 0$ → $k^2 - k - 2 > 0$.
3단계: 좌변을 인수분해하면 $(k-2)(k+1) > 0$. 두 인수의 곱이 양수인 범위는 $k < -1$ 또는 $k > 2$.

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1단계: 대각선 AC로 사각형을 두 직각삼각형 ABC와 ACD로 나눈다.
2단계: 삼각형 ABC에서 ∠A = 90°, ∠B = 60°. 따라서 $\tan 60° = \frac{AC}{AB}$에서 $AB = \frac{AC}{\tan 60°} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. 넓이 $S_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 12 = 24\sqrt{3}$.
3단계: 삼각형 ACD에서 ∠ACD = 90°, ∠D = 30°. 따라서 $\tan 30° = \frac{AC}{CD}$에서 $CD = \frac{12}{\tan 30°} = 12\sqrt{3}$. 넓이 $S_2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$. 따라서 사각형 넓이 $= S_1 + S_2 = 24\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$.

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1단계: 변량 $y_i = ax_i + b$의 평균은 $a\bar{x} + b$이다. 따라서 $\bar{y} = 2 \times 8 - 3 = 13$.
2단계: 변량 $y_i = ax_i + b$의 분산은 $a^2 \times (x_i의 분산)$이다. 상수 $b$는 분산에 영향을 주지 않는다. 따라서 $y_i$의 분산 $= 2^2 \times 4 = 16$.
3단계: 평균과 분산의 합 $= 13 + 16 = 29$.

📖 풀이:
1단계: $7 + 4\sqrt{3}$을 완전제곱꼴로 변형한다. $7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = (2 + \sqrt{3})^2$. 따라서 $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$.
2단계: $7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2 - \sqrt{3})^2$. 여기서 $2 > \sqrt{3}$이므로 $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$ (절댓값 주의).
3단계: $(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.

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1단계: $x^2 + x = t$로 치환하면 식은 $t^2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6)$.
2단계: $t$를 원래 식으로 되돌리면 $(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 6)$.
3단계: 각 이차식을 더 인수분해한다. $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$, $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$. 따라서 최종 인수분해는 $(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)$.

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1단계: 공통근을 $\alpha$라 하면 $\alpha^2 - 3\alpha + a = 0$ ...(ㄱ), $\alpha^2 + a\alpha - 3 = 0$ ...(ㄴ)이 동시에 성립한다.
2단계: (ㄱ) $-$ (ㄴ)을 하면 $-3\alpha - a\alpha + a + 3 = 0$, 정리하면 $-\alpha(3 + a) + (a + 3) = 0$, 즉 $(a + 3)(1 - \alpha) = 0$. 조건에서 $a \neq -3$이므로 $\alpha = 1$.
3단계: $\alpha = 1$을 (ㄱ)에 대입하면 $1 - 3 + a = 0$, 따라서 $a = 2$. 검산: (ㄴ)에 대입하면 $1 + 2 - 3 = 0$ 성립.

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1단계: 점 P의 좌표를 $(t, -t^2 + 4t)$로 놓는다($0 < t < 4$이므로 $-t^2 + 4t > 0$, 즉 P는 $x$축보다 위에 있다). 밑변 OA는 $x$축 위 길이 4인 선분이다.
2단계: 삼각형의 높이는 P의 $y$좌표 $h(t) = -t^2 + 4t$. 넓이 $S(t) = \frac{1}{2} \times 4 \times (-t^2 + 4t) = -2t^2 + 8t$.
3단계: $S(t) = -2(t - 2)^2 + 8$로 완전제곱하면 $t = 2$일 때 최댓값 $8$. 이때 P$(2, 4)$는 포물선의 꼭짓점과 일치한다.