📝 중3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 두 식을 연립하면 $-x^2+4x+1=2x+k$, 정리해 $x^2-2x+(k-1)=0$.
2단계: '접한다'는 이차방정식이 중근을 갖는 것과 같으므로 판별식 $D=0$.
3단계: $D=(-2)^2-4(k-1)=4-4k+4=8-4k=0$. 따라서 $k=2$.
4단계: 검산. $k=2$일 때 $x^2-2x+1=(x-1)^2=0$, 접점은 $x=1$, $y=4$.

📖 풀이:
1단계: $BH=x$라 놓으면 직각삼각형 BCH에서 $\tan 60°=\frac{CH}{x}=\sqrt{3}$. 즉 $CH=\sqrt{3}x$.
2단계: 직각삼각형 ACH에서 $AH=20+x$, $\tan 30°=\frac{CH}{20+x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 즉 $CH=\frac{20+x}{\sqrt{3}}$.
3단계: 두 식을 같게 하면 $\sqrt{3}x=\frac{20+x}{\sqrt{3}}$. 양변에 $\sqrt{3}$을 곱해 $3x=20+x$, $x=10$.
4단계: 따라서 $CH=\sqrt{3}\cdot 10=10\sqrt{3}$ m.

📖 풀이:
1단계: 이등변삼각형 OAP에서 두 밑각이 같으므로 외각 $\angle AOQ=2\angle OPA$.
2단계: 마찬가지로 이등변삼각형 OBP에서 $\angle BOQ=2\angle OPB$.
3단계: 중심각 $\angle AOB$는 두 외각의 합이므로 $\angle AOB=\angle AOQ+\angle BOQ=2(\angle OPA+\angle OPB)=2\angle APB$.
4단계: 양변을 반으로 나누면 $\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB$. 원주각은 중심각의 절반.

📖 풀이:
1단계: 곡면·다면체 위 최단 경로는 '펼친 전개도 위의 직선'이다. 옆면 두 개를 나란히 이어 펼친다.
2단계: 펼친 전개도는 가로 $4+3=7$, 세로 $12$인 직사각형. A는 한 모서리 끝, G는 반대쪽 위 모서리 끝이 된다.
3단계: 두 점을 직선으로 잇는 거리는 피타고라스의 정리로 $\sqrt{7^2+12^2}=\sqrt{49+144}=\sqrt{193}$.
4단계: 이 값이 실의 최단 길이이다.

📖 풀이:
1단계: 평균 계산. A팀 $=\frac{3+3+3+3+3}{5}=3$, B팀 $=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$. 두 팀 평균이 같다.
2단계: A팀 편차는 전부 0이므로 분산은 0.
3단계: B팀 편차는 -2, -1, 0, 1, 2. 제곱의 합은 $4+1+0+1+4=10$. 분산 $=\frac{10}{5}=2$.
4단계: 평균은 같지만 분산은 B팀(2)이 A팀(0)보다 크다. B팀 득점이 평균에서 더 퍼져 있다.

📖 풀이:
1단계: 표본공간의 크기 $=6\times 6=36$.
2단계: 두 눈의 곱이 12의 배수가 되려면 곱이 12, 24, 36 중 하나여야 한다.
3단계: 각 경우의 순서쌍을 나열한다.
- 곱=12: $(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)$ → 4가지
- 곱=24: $(4,6),(6,4)$ → 2가지
- 곱=36: $(6,6)$ → 1가지
합 $4+2+1=7$가지.
4단계: 따라서 구하는 확률 $=\frac{7}{36}$. (곱이 18인 $(3,6),(6,3)$은 12의 배수가 아니므로 포함되지 않음에 주의)

📖 풀이:
1단계: 근과 계수의 관계에서 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대해 $\alpha+\beta=6$, $\alpha\beta=k$.
2단계: 두 근의 차는 $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$ 로 구할 수 있다.
3단계: 조건 $|\alpha-\beta|=4$이므로 $(\alpha-\beta)^2=16$. 대입하면 $36-4k=16$.
4단계: $4k=20$, $k=5$. 검산: $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, 두 근 1과 5의 차는 4. ✓

📖 풀이:
1단계: $\angle PAC$는 호 BC를 바라보는 원주각이고, $\angle PDB$도 같은 호 BC를 바라보는 원주각이다. 한 호에 대한 원주각은 모두 같으므로 두 각이 같다(㉠).
2단계: 맞꼭지각 $\angle APC=\angle DPB$와 함께 두 쌍의 대응각이 같으므로 AA 닮음(㉡).
3단계: 닮음비에서 $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$.
4단계: 교차곱하면 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. 방멱의 정리(내부 교점 버전)가 증명된다.

📖 풀이:
1단계: 항등식 $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$에 대입하면 $19=1\cdot(x^2+xy+y^2)$. 즉 $x^2+xy+y^2=19$. …(A)
2단계: 다른 항등식 $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. 대입하면 $1=x^2-2xy+y^2$, 즉 $x^2+y^2=1+2xy$. …(B)
3단계: (B)를 (A)에 대입하면 $(1+2xy)+xy=19$, 즉 $1+3xy=19$.
4단계: $3xy=18$, 따라서 $xy=6$.

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1단계(분할): 한 변 2인 정사각형을 합동인 1×1 정사각형 4개로 분할한다. 2단계(거리 상한): 한 변이 1인 정사각형 내부 두 점 사이 거리는 최대 대각선 길이 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ 이하이다. 3단계(비둘기집): 5개의 점을 4개의 영역에 나누면 적어도 한 영역에 2개 이상의 점이 들어가므로, 그 두 점 사이의 거리는 $\sqrt{2}$ 이하이다.

📖 풀이:
1단계(방멱 정리): 원 내부에서 두 현이 한 점에서 만나면 $PA\cdot PB = PC\cdot PD$가 성립하므로 $PC\cdot PD = 3\times 6 = 18$. 2단계(AM-GM 활용): $CD = PC+PD$이고, 곱 $PC\cdot PD=18$이 고정일 때 합의 최솟값은 $PC=PD=\sqrt{18}$일 때 성립한다($a+b\geq 2\sqrt{ab}$). 3단계(계산): 따라서 $CD_{\min}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$.

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1단계(대칭성): AB=AC이므로 꼭짓점 A는 BC의 수직이등분선 위에 있고, 원의 중심 O 역시 같은 직선 위에 있다. BC의 중점을 M이라 하자. 2단계(중심에서 현까지 거리): $OB=5$, $BM=3$이므로 $OM=\sqrt{25-9}=4$. A가 원주 위에서 M의 반대 방향으로 가장 멀리 갈 때 $AM=OM+OA=4+5=9$가 최대. 3단계(넓이): $\triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9=27$.

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1단계(미지수 결정): $B$의 평균은 $(3+5+7)/3=5$. $A$의 평균도 5이므로 $(a+5+9)/3=5$에서 $a=1$. 따라서 $A=\{1, 5, 9\}$. 2단계(A의 분산): 편차 $-4, 0, 4$, 편차 제곱의 평균 $=(16+0+16)/3=32/3$. 3단계(B의 분산): 편차 $-2, 0, 2$, 편차 제곱의 평균 $=(4+0+4)/3=8/3$. 따라서 비는 $(32/3)\div(8/3)=4$.

📖 풀이:
1단계(개별 집합 크기): 2의 배수 $|A|=50$, 3의 배수 $|B|=33$, 5의 배수 $|C|=20$. 2단계(교집합): 6의 배수 $|A\cap B|=16$, 10의 배수 $|A\cap C|=10$, 15의 배수 $|B\cap C|=6$, 30의 배수 $|A\cap B\cap C|=3$. 3단계(포함-배제): $|A\cup B\cup C|=50+33+20-16-10-6+3=74$. 어느 것의 배수도 아닌 수 $=100-74=26$.

📖 풀이:
1단계(전개도 전략): 겉면 위의 최단경로는 두 면을 한 평면으로 펼쳤을 때 두 꼭짓점을 잇는 직선거리와 같다. 2단계(치수): A가 속한 면과 G가 속한 이웃 면을 펼치면 가로 $4+4=8$, 세로 $4$인 직사각형이 되고, A는 한쪽 꼭짓점, G는 그 반대 꼭짓점이 된다. 3단계(피타고라스): $AG=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$. 공간 대각선 $4\sqrt{3}$보다 길다는 점에 주의.

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1단계(삼각형 관찰): $\triangle ABC$에서 $AB=BC=1$, $\angle ABC=108°$. 2단계(삼각비 적용): $AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos 108°=1+1-2\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{4}=2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$. 3단계(양수 근): $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$로 일치하므로 $AC=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. 이것이 바로 황금비 $\varphi$이다.

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1단계(정의): 분산 $V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2$. 2단계(전개): $V=\frac{1}{n}\sum (x_i^2-2mx_i+m^2)=\frac{1}{n}\sum x_i^2 - 2m\cdot\frac{1}{n}\sum x_i + m^2$. 3단계(대입): $\frac{1}{n}\sum x_i^2=k$, $\frac{1}{n}\sum x_i=m$이므로 $V=k-2m\cdot m+m^2=k-m^2$.

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1단계(A 경유): 주머니 A를 뽑고(확률 $\frac{1}{2}$) 빨간 공을 꺼낼 확률 $\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$. 2단계(B 경유): 주머니 B를 뽑고(확률 $\frac{1}{2}$) 빨간 공을 꺼낼 확률 $\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$. 3단계(합): 두 경우는 서로 배반이므로 전체 확률은 $\frac{1}{5}+\frac{3}{8}=\frac{8+15}{40}=\frac{23}{40}$.

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1단계(대칭과 직각삼각형): 한 변의 길이를 $a$라 하고 내접원의 중심을 O, 한 변의 중점을 M이라 하자. $OM=r$, $BM=a/2$, 이등변·대칭에 의해 $\angle OBM=30°$(정삼각형 한 각 60°의 이등분). 2단계(삼각비): 직각삼각형 OBM에서 $\tan 30°=\frac{OM}{BM}$. 즉 $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r}{a/2}$. 3단계(정리): $\frac{a}{2}=\sqrt{3}r$이므로 $a=2\sqrt{3}r$.

📖 풀이:
1단계(탈레스 정리): 원에 내접한 직각삼각형의 빗변은 원의 지름이다. 따라서 $AB=2\times 2=4$. 2단계(밑변-높이 분리): 빗변 AB를 밑변으로 보면 넓이 $=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h$, 여기서 $h$는 점 C에서 AB에 내린 수선의 길이. C가 원 위에 있으므로 $h$의 최댓값은 반지름 2(C가 반원의 꼭대기일 때). 3단계(계산): 최대 넓이 $=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$. 이때 $\triangle ABC$는 $\angle A=\angle B=45°$인 직각이등변삼각형이다.

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1단계(인수분해): $n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$, 즉 연속한 세 정수의 곱이다. 2단계(2와 3의 배수성): 연속한 두 정수에는 반드시 2의 배수가 하나 있고, 연속한 세 정수에는 반드시 3의 배수가 하나 있으므로 곱은 $2\times 3=6$의 배수이다. 3단계(상한 확인): $n=2$일 때 $n^3-n=8-2=6$. 따라서 모든 정수에 대해 공통으로 나누어떨어지는 자연수는 6을 넘을 수 없다. 답은 6.

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1단계: $3q^2=p^2$에서 $p^2$이 3의 배수임을 얻는다.
2단계: 3은 소수이므로 '소수 r이 ab를 나누면 r이 a 또는 b를 나눈다'는 성질의 따름정리로 '$p^2=p\cdot p$이 3의 배수이면 p가 3의 배수'가 성립한다. 이 단계는 '3이 소수'라는 사실에 전적으로 의존한다.
3단계: p=3k로 쓰고 대입하면 $3q^2=9k^2 \Rightarrow q^2=3k^2$로 q도 3의 배수가 되어 서로소 가정에 모순. 따라서 $\sqrt{3}$은 무리수이다.

📖 풀이:
1단계: $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$를 이용해 $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b) - 3abc$로 변형.
2단계: 앞의 두 항에 합의 세제곱 공식을 적용. $(a+b)^3+c^3=((a+b)+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)$. 공통인수 $(a+b+c)$가 뒤의 항 $-3ab(a+b+c)$에도 있으므로 묶어낸다.
3단계: $(a+b+c)\big((a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab\big)$. 괄호 안을 정리하면 $a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$. 따라서 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.

📖 풀이:
1단계: 근과 계수의 관계에서 $\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=k$.
2단계: $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = 25-2k$. 조건 $\alpha^2+\beta^2=3\alpha\beta$에 대입하면 $25-2k=3k$, 즉 $k=5$.
3단계: 실근 조건 확인. 판별식 $D=25-4k=25-20=5>0$이므로 실근이 존재한다. 따라서 $k=5$.

📖 풀이:
1단계: 표준형 변형. $f(x)=-(x^2-4x)+1 = -(x-2)^2+5$. 꼭짓점 (2, 5), 위로 볼록.
2단계: 꼭짓점의 x좌표 2가 정의역 [1, 5]에 포함되므로 x=2에서 최댓값 M=5.
3단계: 위로 볼록한 포물선의 경우 최솟값은 꼭짓점에서 더 먼 경계에서 발생. $|1-2|=1$, $|5-2|=3$이므로 x=5가 더 멀다. $f(5)=-25+20+1=-4$, $f(1)=4$. 따라서 m=-4. $M+m=5+(-4)=1$.