📝 중3 수학 심화

📖 풀이:
1) $x \geq 0$이고 $\sqrt{12+x} \geq 0$이므로 양변을 제곱해도 동치이다: $x^2 = 12 + x$, 즉 $x^2 - x - 12 = 0$. 2) 인수분해하면 $(x-4)(x+3) = 0$, $x = 4$ 또는 $x = -3$. 3) $x$는 양수라는 조건에서 $x = 4$. 검산: $\sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4$ ✓ (무연근 $-3$ 제거됨).

📖 풀이:
1) [증명] $c = -(a+b)$를 대입하면 $a^3+b^3+c^3 = a^3+b^3-(a+b)^3$. $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$이므로 $a^3+b^3-(a+b)^3 = -3ab(a+b) = 3ab \cdot c = 3abc$. 따라서 $a^3+b^3+c^3 = 3abc$. □ 2) $97 + 3 + (-100) = 0$이므로 위 항등식의 조건을 만족한다. 3) $97^3 + 3^3 + (-100)^3 = 3 \cdot 97 \cdot 3 \cdot (-100) = -87300$.

📖 풀이:
1) $4n^2$를 더하고 빼서 완전제곱 꼴을 만든다: $n^4+4 = n^4+4n^2+4-4n^2 = (n^2+2)^2 - (2n)^2$. 2) 합차공식 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$를 적용: $(n^2+2+2n)(n^2+2-2n) = (n^2+2n+2)(n^2-2n+2)$. 3) $n \geq 2$이면 $n^2-2n+2 = (n-1)^2 + 1 \geq 2 > 1$이고, $n^2+2n+2 = (n+1)^2 + 1 \geq 10 > 1$이다. 두 인수가 모두 1보다 크므로 $n^4+4$는 합성수. □

📖 풀이:
1) 두 도막의 길이를 각각 $4a$, $4b$ ($a \geq b > 0$)로 두면 정사각형의 한 변은 $a$, $b$이다. 조건에서 $4a + 4b = 20 \Rightarrow a+b = 5$, $a^2 + b^2 = 13$. 2) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$이므로 $25 = 13 + 2ab$, $ab = 6$. 3) $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 25 - 24 = 1$이므로 $a - b = 1$. 따라서 두 도막의 길이의 차 $= 4(a-b) = 4$cm.

📖 풀이:
1) 완전제곱식으로 변형하면 $y = (x-2)^2 + (a-4)$. 그래프의 꼭짓점은 $(2, a-4)$, 대칭축은 $x = 2$. 2) $x$축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 꼭짓점이 $x$축 아래에 있어야 하므로 $a - 4 < 0$. 두 교점은 대칭축 $x=2$에 대해 대칭이므로 $(x-2)^2 = 4-a$에서 $x = 2 \pm \sqrt{4-a}$. 3) 두 교점 사이의 거리 $= 2\sqrt{4-a} = 6$이므로 $\sqrt{4-a} = 3$, $4-a = 9$, $a = -5$. ($-5 < 4$이므로 조건 만족) ✓

📖 풀이:
1) 점 D에서 변 AB에 내린 수선의 발을 H라 하자. 직각삼각형 AHD에서 $\overline{AH} = \overline{AD}\cos 60° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, $\overline{DH} = \overline{AD}\sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. 2) $\overline{HB} = \overline{AB} - \overline{AH} = 6 - 2 = 4$. 3) 삼각형 DHB는 $\angle DHB = 90°$인 직각삼각형이므로 $\overline{BD}^2 = \overline{HB}^2 + \overline{DH}^2 = 16 + 12 = 28$. 따라서 $\overline{BD} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

📖 풀이:
1) 반지름 $6$인 원에 내접하는 정육각형의 한 변의 길이는 반지름과 같은 $6$이다. (중심과 두 인접한 꼭짓점이 만드는 삼각형이 변의 길이가 모두 $6$인 정삼각형이기 때문) 2) 중심 $O$에서 변 $AB$에 내린 수선의 발은 변 $AB$의 중점 $M$이다. 직각삼각형 $OMA$에서 $\overline{OA}=6$, $\overline{AM}=3$이므로 $\overline{OM} = \sqrt{6^2-3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. 같은 방법으로 $\overline{ON} = 3\sqrt{3}$. 3) 변 $AB$와 변 $DE$는 정육각형에서 서로 마주보는 변이므로 평행하고, 정육각형은 중심 $O$에 대해 점대칭이다. 따라서 $M$, $O$, $N$은 한 직선 위에 있고 $O$가 $\overline{MN}$의 중점이다. $\overline{MN} = \overline{OM} + \overline{ON} = 6\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1) 점 $A$를 $x$축에 대하여 대칭이동시킨 점을 $A'(2, -5)$라 하면, $x$축 위 임의의 점 $P$에 대하여 $\overline{AP} = \overline{A'P}$이다. 따라서 $\overline{AP} + \overline{BP} = \overline{A'P} + \overline{BP}$. 2) 삼각부등식에 의해 $\overline{A'P} + \overline{BP} \geq \overline{A'B}$이고, 등호는 세 점 $A'$, $P$, $B$가 한 직선 위에 있을 때 성립한다. 즉, 직선 $A'B$가 $x$축과 만나는 점이 답이다. 3) 직선 $A'B$의 기울기 $= \frac{1-(-5)}{8-2} = 1$이고 식은 $y - 1 = 1 \cdot (x - 8)$, 즉 $y = x - 7$. $y = 0$일 때 $x = 7$이므로 $P(7, 0)$.

📖 풀이:
1) 평균 조건: $\frac{1+3+5+a+b}{5} = 4$이므로 $a + b = 11$. 2) 각 변량의 평균에 대한 편차는 $-3, -1, 1, a-4, b-4$이고, 분산은 편차 제곱의 평균이므로 $\frac{(-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2}{5} = 4 \Rightarrow (a-4)^2 + (b-4)^2 = 9$. 3) 좌변을 전개하면 $a^2 - 8a + 16 + b^2 - 8b + 16 = 9$, 즉 $a^2 + b^2 = 9 + 8(a+b) - 32 = 9 + 88 - 32 = 65$.

📖 풀이:
1) $1$~$9$ 중 홀수는 $\{1,3,5,7,9\}$로 5개, 짝수는 $\{2,4,6,8\}$로 4개이다. 세 수의 합이 짝수가 되려면 뽑힌 홀수의 개수가 짝수여야 하므로 (홀수 0개 + 짝수 3개) 또는 (홀수 2개 + 짝수 1개)의 두 경우뿐이다. 2) (홀수 0개, 짝수 3개): $\binom{4}{3} = 4$가지. (홀수 2개, 짝수 1개): $\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40$가지. 합 $= 44$. 3) 전체 경우의 수 $= \binom{9}{3} = 84$. 따라서 확률 $= \frac{44}{84} = \frac{11}{21}$.

📖 풀이:
1) 다섯 점의 좌표를 작은 것부터 정렬하여 $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5$라 하면, 가장 멀리 떨어진 두 점 사이의 거리는 $x_5 - x_1$이다. 2) '어떤 두 점의 거리도 $1$ 이상'이라는 조건은, 특히 인접한 점들 사이에서도 성립해야 하므로 $x_{k+1} - x_k \geq 1$ ($k = 1, 2, 3, 4$). 3) 망원경 합으로 $x_5 - x_1 = (x_2-x_1) + (x_3-x_2) + (x_4-x_3) + (x_5-x_4) \geq 1+1+1+1 = 4$. 등호는 인접한 두 점 사이의 거리가 모두 정확히 1일 때(예: $0, 1, 2, 3, 4$) 성립하므로 최솟값은 $4$.

📖 풀이:
1단계: 이중근호 풀이를 위해 $7+4\sqrt{3}$을 완전제곱 꼴로 변형한다. 2단계: $7+4\sqrt{3} = 4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$. 3단계: $\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$ (양수이므로 절댓값 그대로). 4단계: $a=2, b=1$이므로 $a+b=3$.

📖 풀이:
1단계: $x^4+x^2+1$의 가운데 항을 조작하기 위해 $x^2$을 더하고 빼는 기법을 쓴다. 2단계: $x^4+x^2+1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2$. 3단계: 제곱의 차 공식 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$를 적용하면 $(x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$이다. 4단계: 각 이차식의 판별식은 $1-4=-3<0$이므로 유리계수에서 더 이상 분해되지 않는다.

📖 풀이:
1단계: 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 합은 $\alpha+\beta=k-2$, 곱은 $\alpha\beta=k$이다. 2단계: 두 식을 빼면 $\alpha\beta - (\alpha+\beta) = k - (k-2) = 2$이므로 $\alpha\beta - \alpha - \beta + 1 = 3$, 즉 $(\alpha-1)(\beta-1) = 3$. 3단계: $\alpha, \beta$가 서로 다른 양의 정수이므로 $\alpha-1, \beta-1$은 음이 아닌 서로 다른 정수이고 곱이 3이다. 따라서 $\{\alpha-1, \beta-1\} = \{1, 3\}$, 즉 $\{\alpha, \beta\} = \{2, 4\}$. 4단계: $k = \alpha\beta = 2 \cdot 4 = 8$.

📖 풀이:
1단계: 접점의 조건은 두 식을 연립한 이차방정식이 중근을 가지는 것이므로 판별식이 0이다. 2단계: $x^2 - 2x + 5 = 2x + k$를 정리하면 $x^2 - 4x + (5-k) = 0$이다. 3단계: 판별식 $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5-k) = 16 - 20 + 4k = 4k - 4 = 0$. 4단계: $k = 1$. 이때 접점의 $x$좌표는 $x=2$, $y$좌표는 $5$이므로 접점은 $(2, 5)$이다.

📖 풀이:
1단계: 삼각형 PAC와 삼각형 PDB에서 맞꼭지각 $\angle APC = \angle DPB$. 2단계: 원주각 정리에 의해 호 BC에 대한 원주각이 같으므로 $\angle PAC = \angle PDB$ (같은 호에 대한 원주각). 3단계: AA 닮음에 의해 $\triangle PAC \sim \triangle PDB$이므로 $\frac{\overline{PA}}{\overline{PD}} = \frac{\overline{PC}}{\overline{PB}}$, 즉 $\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}$. 4단계: $3 \cdot 8 = 4 \cdot \overline{PD}$이므로 $\overline{PD} = 6$.

📖 풀이:
1단계: 직각삼각형 ABC에서 $\overline{AB}=6, \overline{AC}=8$이므로 빗변 $\overline{BC} = \sqrt{36+64} = 10$. 2단계: 삼각형 ABC의 넓이를 두 가지 방법으로 표현한다. 직각 두 변을 사용: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$. 3단계: 빗변과 수선 AH를 사용: $S = \frac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{AH} = 5 \cdot \overline{AH}$. 4단계: 두 표현을 같게 놓으면 $5 \cdot \overline{AH} = 24$이므로 $\overline{AH} = \frac{24}{5}$.

📖 풀이:
1단계: 기존 5개 자료의 편차제곱의 합은 (분산)×(자료수)=$5 \times 5 = 25$이다. 2단계: 추가되는 값 6은 기존 평균과 같으므로, 새 자료의 총합은 $5 \cdot 6 + 6 = 36$이고 자료 수는 6이다. 따라서 새 평균도 $\frac{36}{6} = 6$으로 변함없다. 3단계: 기존 자료들의 편차(평균 6 기준)는 그대로이므로 편차제곱의 합도 그대로 25이다. 추가된 값 6의 편차는 $6-6=0$이므로 편차제곱이 0, 합에 아무 기여도 없다. 4단계: 새 분산 = $\frac{25 + 0}{6} = \frac{25}{6}$.

📖 풀이:
1단계: 한 변의 길이가 2인 정삼각형의 세 변의 중점을 연결하면, 한 변의 길이가 1인 합동인 정삼각형 4개로 분할된다. 2단계: 5개의 점을 4개의 영역에 배치할 때, 비둘기집 원리(서랍 원리)에 의해 어떤 한 영역에는 반드시 2개 이상의 점이 들어간다. 3단계: 한 변 1인 정삼각형 내부의 임의의 두 점 사이의 거리는 그 최댓값인 변의 길이 1을 넘지 않는다. 4단계: 따라서 같은 영역에 있는 그 두 점의 거리는 1 이하이므로 증명 완료.

📖 풀이:
1단계: 원래 식을 표준형으로: $y = x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 + 2$이므로 꼭짓점은 $(2, 2)$. 2단계: 목표 식을 표준형으로: $y = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$이므로 꼭짓점은 $(-1, -1)$. 3단계: 이차항 계수가 같으므로 두 그래프는 합동이며, 평행이동은 꼭짓점이 어떻게 움직였는지로 결정된다. 4단계: $(2, 2) \to (-1, -1)$이므로 $p = -1 - 2 = -3$, $q = -1 - 2 = -3$. 따라서 $p + q = -6$.

📖 풀이:
1단계: 옥상 Q, 건물 바닥 B, 지면 관측점 P를 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 QBP를 그린다(∠B=90°). 2단계: 내려본 각 30°는 옥상에서의 수평선과 시선 QP가 이루는 각이다. 엇각 관계에서 $\angle QPB$도 30°이다. 3단계: 직각삼각형 QBP에서 $\tan(\angle QPB) = \frac{\overline{QB}}{\overline{BP}} = \frac{20}{d}$. 4단계: $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{d}$이므로 $d = 20\sqrt{3}$ m.

📖 풀이:
1단계: $x > 5$이므로 5개의 자료를 오름차순으로 정렬하면 1, 3, 5, 7, $x$ (x > 7일 때) 또는 1, 3, 5, x, 7 ($5 < x \leq 7$일 때). 어느 경우든 정렬했을 때 가운데(세 번째) 값은 5이다. 따라서 중앙값은 5. 2단계: 평균 $= \frac{1+3+5+7+x}{5} = \frac{16+x}{5}$. 3단계: 중앙값과 평균이 같으므로 $\frac{16+x}{5} = 5$, 즉 $16 + x = 25$이므로 $x = 9$. 4단계: $x = 9 > 5$이고 이때 정렬은 1, 3, 5, 7, 9이며 실제 중앙값 5, 평균 $\frac{25}{5}=5$로 조건 성립.

📖 풀이:
1단계: 귀류법의 가정은 '결론의 부정'이다. $\sqrt{3}$을 유리수라 놓으면 기약분수 $\frac{q}{p}$로 쓸 수 있다.
2단계: $q^2=3p^2$에서 $q^2$이 3의 배수. 3이 소수이므로 q 자체가 3의 배수(㉠).
3단계: $q=3k$를 대입해 $p^2=3k^2$이 되어 p도 3의 배수.
4단계: p와 q가 모두 3의 배수이면 '서로소 가정(㉡)'에 모순. 따라서 가정이 잘못, $\sqrt{3}$은 무리수이다.

📖 풀이:
1단계: $x^4+4$는 제곱차 꼴이 아니므로 직접 분해되지 않는다.
2단계: '없던 항을 더하고 다시 뺀다'. $x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2$.
3단계: 제곱차로 보면 $(x^2+2+2x)(x^2+2-2x)=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$.
4단계: 검산. 두 식을 곱하면 $(x^2+2)^2-(2x)^2=x^4+4x^2+4-4x^2=x^4+4$ ✓.

📖 풀이:
1단계: 근과 계수의 관계로 $\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=3$.
2단계: 역수의 합을 통분하면 $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{5}{3}$.
3단계: 따라서 $\frac{5}{3}+3=\frac{5+9}{3}=\frac{14}{3}$.