📝 중3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ($a>b>0$) 공식을 이용한다. 2단계: $7+2\sqrt{10}$에서 합이 7, 곱이 10인 두 양수를 찾으면 2와 5이다. 3단계: 따라서 $\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{2+5+2\sqrt{2\cdot 5}}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$. 검증: $(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2=2+5+2\sqrt{10}=7+2\sqrt{10}$ ✓

📖 풀이:
1단계: 귀류법은 결론의 부정을 가정한 뒤 모순을 이끌어낸다. 여기서 결론의 부정은 '$\sqrt{2}$는 유리수'이고, 유리수의 정의로부터 서로소인 $p,q$가 존재한다고 둘 수 있다. 2단계: (다)와 (라) 과정을 통해 $p,q$가 모두 짝수임이 도출된다. 3단계: 이는 처음 가정인 '$p,q$는 서로소'와 정면으로 충돌하므로, 이 모순이 곧 '$\sqrt{2}$는 유리수가 아니다'를 증명한다. 함정 분석: ②는 부분 단계의 결론일 뿐이며, ④는 동치변형이라 모순이 아니다.

📖 풀이:
1단계: 인수분해 공식 $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$를 이용한다. 2단계: $a=x$, $b=\dfrac{1}{x}$로 놓으면 $ab=x\cdot\dfrac{1}{x}=1$이고 $a+b=3$. 3단계: 따라서 $x^3+\dfrac{1}{x^3}=(x+\dfrac{1}{x})^3-3\cdot 1\cdot(x+\dfrac{1}{x})=3^3-3\cdot 3=27-9=18$. 함정: 단순히 $3^3=27$로 답하면 ④에 걸린다.

📖 풀이:
1단계: 같은 차수의 항끼리 묶기. $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, $-4x+4y=-4(x-y)$. 2단계: 공통인수 $(x-y)$로 묶어내면 $(x-y)(x+y)-4(x-y)=(x-y)(x+y-4)$. 3단계: 검증을 위해 전개: $(x-y)(x+y-4)=x^2+xy-4x-xy-y^2+4y=x^2-y^2-4x+4y$ ✓. 함정: ②, ③, ④는 부호가 일치하지 않는다.

📖 풀이:
1단계: 근과 계수의 관계에서 $\alpha+\beta=-\dfrac{-5}{1}=5$, $\alpha\beta=\dfrac{3}{1}=3$. 2단계: 분수식을 통분하면 $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. 3단계: 값을 대입하면 $\dfrac{5}{3}$. 함정: ④는 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=25-6=19$를 분자에 잘못 넣은 경우.

📖 풀이:
1단계: 원래 식을 표준형으로 변형: $y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$. 꼭짓점은 $(2,-3)$. 2단계: 평행이동하면 새 꼭짓점은 $(2-2, -3+3)=(0,0)$. 3단계: 따라서 새 식은 $y=(x-0)^2+0=x^2$. 함정: ②는 $x$ 방향 부호를 반대로 적용한 경우.

📖 풀이:
1단계: 교점의 $x$좌표는 $x^2-2x-3=x+1$, 즉 $x^2-3x-4=0$ → $(x+1)(x-4)=0$ → $x=-1$ 또는 $x=4$. 2단계: 각각의 $y$좌표는 직선식에 대입하여 $A(-1,0)$, $B(4,5)$. 3단계: 거리 공식으로 $\overline{AB}=\sqrt{(4-(-1))^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. 함정: ④는 $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$임을 모르고 한번 더 곱한 오답.

📖 풀이:
1단계: 나무의 높이를 $h$, 나무 밑동에서 $B$까지 거리를 $x$라 하면 직각삼각형 $BTC$에서 $\tan 60°=\dfrac{h}{x}$, 즉 $h=\sqrt{3}\,x$. 2단계: 직각삼각형 $ATC$에서 $\tan 30°=\dfrac{h}{x+20}$, 즉 $h=\dfrac{x+20}{\sqrt{3}}$. 3단계: 두 식을 연립: $\sqrt{3}\,x=\dfrac{x+20}{\sqrt{3}}$ → $3x=x+20$ → $x=10$. 따라서 $h=10\sqrt{3}\,\text{m}$. 함정: ②는 $h=\sqrt{3}\cdot 20$으로 잘못 계산한 경우.

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1단계: 두 삼각형 $\triangle PAC$와 $\triangle PDB$를 본다. $\angle APC=\angle DPB$ (맞꼭지각). 2단계: 호 $BC$에 대한 원주각이 같으므로 $\angle PAC=\angle PDB$. 따라서 AA 닮음에 의해 $\triangle PAC\sim\triangle PDB$. 3단계: 닮음비에서 $\dfrac{\overline{PA}}{\overline{PD}}=\dfrac{\overline{PC}}{\overline{PB}}$, 양변에 $\overline{PB}\cdot\overline{PD}$를 곱하면 $\overline{PA}\cdot\overline{PB}=\overline{PC}\cdot\overline{PD}$. 함정: ④는 $P$가 중심이라는 잘못된 가정.

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1단계: 빗변 $\overline{BC}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. 2단계: 직각삼각형의 넓이는 두 가지 방법으로 표현 가능. 직접 계산: $S=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. 내접원 반지름을 $r$이라 하면 $S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)=\dfrac{1}{2}r(6+8+10)=12r$. 3단계: $24=12r$ → $r=2$. 별해: 직각삼각형 전용 공식 $r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{6+8-10}{2}=2$로도 검증 가능.

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1단계: 자료값 $x_i$를 $y_i=2x_i+3$으로 변환. 새 평균 $\bar{y}=\dfrac{\sum(2x_i+3)}{n}=2\bar{x}+3=2m+3$. 2단계: 새 편차 $y_i-\bar{y}=(2x_i+3)-(2m+3)=2(x_i-m)$. 즉, 더하기 $3$은 편차에 영향이 없다(평행이동이므로 흩어짐 불변). 3단계: 새 분산은 $\dfrac{\sum (y_i-\bar{y})^2}{n}=\dfrac{\sum 4(x_i-m)^2}{n}=4V$. 함정: ②, ④처럼 분산에 상수를 더하면 안 된다.

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1단계: 큰 정삼각형의 각 변의 중점을 이으면 한 변이 $\dfrac{1}{2}$인 작은 정삼각형 $4$개로 분할된다. 2단계: 비둘기집 원리(Pigeonhole Principle): $n+1$개의 물건을 $n$개의 상자에 넣으면 어떤 상자에는 $2$개 이상이 들어간다. 점 $5$개를 영역 $4$개에 넣으면 어떤 작은 정삼각형 안에는 적어도 $2$개의 점이 있다. 3단계: 한 변의 길이가 $\dfrac{1}{2}$인 정삼각형 안의 두 점 사이 거리는 그 정삼각형의 가장 긴 변(한 변)의 길이를 넘을 수 없으므로 $\dfrac{1}{2}$ 이하이다. 따라서 거리가 $\dfrac{1}{2}$ 이하인 두 점이 반드시 존재한다. 함정: ②는 평균 개념의 오용, ③은 확률적 직관이지 증명이 아니다.

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1단계: 공통근을 $\alpha$라 하면 $\alpha^2+a\alpha+6=0$ … (ㄱ), $\alpha^2+6\alpha+a=0$ … (ㄴ).
2단계: (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 $(a-6)\alpha+(6-a)=0$, 즉 $(a-6)(\alpha-1)=0$. $a\neq 6$이므로 $\alpha=1$.
3단계: $\alpha=1$을 (ㄱ)에 대입하면 $1+a+6=0$, 따라서 $a=-7$.
검증: $a=-7$이면 $x^2-7x+6=0 \Rightarrow (x-1)(x-6)=0$, $x^2+6x-7=0 \Rightarrow (x-1)(x+7)=0$. 공통근은 $x=1$ 하나뿐이다.

📖 풀이:
1단계: 두 변과 끼인각이 주어진 평행사변형의 넓이 공식은 $S=\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cdot\sin(\angle DAB)$이다.
2단계: $\sin 120°=\sin(180°-60°)=\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
3단계: $S=6\times 10\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=60\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$.
따라서 넓이는 $30\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: 접선의 성질로 $\angle OAP=\angle OBP=90°$이다(근거 ①).
2단계: 두 반지름 $\overline{OA}=\overline{OB}$이고(근거 ②), 직각삼각형 OAP와 OBP는 선분 OP를 공통 빗변으로 공유한다(근거 ③).
3단계: 따라서 직각삼각형 합동 조건(RHS: 빗변-한 변)에 의해 $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$이고, 대응변에서 $\overline{PA}=\overline{PB}$를 얻는다.
4단계: ④의 '두 각이 같다'는 것은 증명의 가정이 아니라 같은 두 삼각형 합동에서 따라오는 결론이므로 근거로 사용할 수 없다.

📖 풀이:
1단계: 점 P를 B를 중심으로 정사각형의 성질상 $\angle ABC=90°$이므로 90° 회전한 상을 P'라 하자. A는 C로 옮겨지고, $\overline{BP'}=\overline{BP}=2$, $\overline{P'C}=\overline{PA}=1$이 된다.
2단계: 삼각형 BPP'는 $\overline{BP}=\overline{BP'}=2$이고 사잇각 90°인 직각이등변삼각형이므로 $\overline{PP'}=2\sqrt{2}$이고 $\angle BP'P=45°$.
3단계: 삼각형 PP'C에서 $\overline{PP'}=2\sqrt{2}$, $\overline{P'C}=1$, $\overline{PC}=3$. $(2\sqrt{2})^2+1^2=8+1=9=3^2$이므로 P'에서 직각, 즉 $\angle PP'C=90°$.
4단계: 따라서 $\angle BP'C=\angle BP'P+\angle PP'C=45°+90°=135°$. 삼각형 BP'C에 코사인법칙을 적용하면 $\overline{BC}^2=\overline{BP'}^2+\overline{P'C}^2-2\cdot\overline{BP'}\cdot\overline{P'C}\cos 135°=4+1-2\cdot 2\cdot 1\cdot(-\tfrac{\sqrt{2}}{2})=5+2\sqrt{2}$.
5단계: $\overline{BC}=s$이므로 $s^2=5+2\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: 반복되는 부분을 치환한다. $t=x^2+5x+5$로 놓으면 $x^2+5x+4=t-1$, $x^2+5x+6=t+1$.
2단계: 주어진 식은 $(t-1)(t+1)-3=t^2-1-3=t^2-4$.
3단계: $t^2-4=(t-2)(t+2)=(x^2+5x+5-2)(x^2+5x+5+2)=(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)$.

📖 풀이:
1단계: $y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$으로 정리하면 축이 $x=2$인 아래로 볼록 포물선이다.
2단계: 축 $x=2$가 구간 $[0,5]$ 안에 포함되므로 최솟값은 축 위에서 결정된다. $x=2$에서 $y=-3$이므로 $m=-3$.
3단계: 최댓값은 두 끝 $x=0$, $x=5$에서 비교한다. $y(0)=1$, $y(5)=25-20+1=6$. 따라서 $M=6$.
4단계: $M+m=6+(-3)=3$.

📖 풀이:
1단계: 공통외접선 $\ell$에 두 반지름 $\overline{O_1 T_1}$, $\overline{O_2 T_2}$를 그으면 각각 $\ell$과 수직이고, 따라서 서로 평행이다.
2단계: $O_1$에서 $\overline{O_2 T_2}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 사각형 $O_1 T_1 T_2 H$는 직사각형이고 $\overline{O_1 H}=\overline{T_1 T_2}=\ell$.
3단계: 직각삼각형 $O_1 H O_2$에서 빗변 $\overline{O_1 O_2}=10$, 한 변 $\overline{O_2 H}=\overline{O_2 T_2}-\overline{T_2 H}=5-3=2$.
4단계: 피타고라스 정리에 의해 $\ell^2=10^2-2^2=100-4=96$, 따라서 $\ell=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$.

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1단계: 2, 3, 5의 배수 집합을 각각 $A$, $B$, $C$라 하자. $|A|=\lfloor 200/2\rfloor=100$, $|B|=\lfloor 200/3\rfloor=66$, $|C|=\lfloor 200/5\rfloor=40$.
2단계: 교집합을 계산한다. $|A\cap B|=\lfloor 200/6\rfloor=33$, $|A\cap C|=\lfloor 200/10\rfloor=20$, $|B\cap C|=\lfloor 200/15\rfloor=13$, $|A\cap B\cap C|=\lfloor 200/30\rfloor=6$.
3단계: 포함-배제 원리로 $|A\cup B\cup C|=100+66+40-33-20-13+6=146$.
4단계: 전체 200개에서 빼면 $200-146=54$.

📖 풀이:
1단계: 표준편차는 자료가 평균으로부터 얼마나 흩어져 있는가를 나타내는 값이다. 작을수록 자료가 평균 가까이에 모여 있고, 클수록 넓게 흩어진다.
2단계: A의 표준편차 5는 B의 8보다, B의 8은 C의 12보다 작다. 따라서 평균 주변 밀집도는 A > B > C이다.
3단계: 각 선택지를 검토하면 ①은 평균이 같다고 분포 모양이 같지는 않으므로 오답. ③은 C의 표준편차가 더 커서 오히려 더 흩어져 있으므로 오답. ④는 표준편차는 '흩어짐'의 크기일 뿐 점수의 높낮이와 직접 관련이 없으므로 오답. 따라서 옳은 설명은 ②.

📖 풀이:
1단계: $2^2=4<5<9=3^2$이므로 $2<\sqrt{5}<3$. 따라서 $\sqrt{5}$의 정수부분은 $a=2$, 소수부분은 $b=\sqrt{5}-2$.
2단계: $\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$. 분모에 켤레 $\sqrt{5}+2$를 곱해 유리화하면 $\dfrac{1}{b}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$.
3단계: 따라서 $\dfrac{1}{b}+a=(\sqrt{5}+2)+2=\sqrt{5}+4$.

📖 풀이:
1단계: A$(0,0)$, B$(6,0)$, C$(0,8)$이므로 변 AB는 x축 위, 변 AC는 y축 위에 있어 $\angle A=90°$. 삼각형 ABC는 직각삼각형이다.
2단계: 직각삼각형의 외접원은 빗변을 지름으로 하는 원이다(원주각 90°는 지름에 대한 원주각).
3단계: 빗변 $\overline{BC}=\sqrt{(6-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. 따라서 외접원의 지름은 10, 반지름은 5.
4단계: 외접원의 둘레의 길이는 $2\pi r=2\pi\cdot 5=10\pi$.

📖 풀이:
1단계: 높이가 20m 이상인 조건은 $-5t^2+30t\ge 20$, 즉 $-5t^2+30t-20\ge 0$.
2단계: 양변을 $-5$로 나누면 부등호 방향이 바뀌어 $t^2-6t+4\le 0$.
3단계: $t^2-6t+4=0$의 해는 근의 공식으로 $t=\dfrac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2}=3\pm\sqrt{5}$.
4단계: 따라서 $3-\sqrt{5}\le t\le 3+\sqrt{5}$이고, 머무르는 시간은 $(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$초.

📖 풀이:
1) 세 수가 모두 양수이므로 양변을 제곱해 비교한다. 2) $A^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$, $B^2 = (2\sqrt{11})^2 = 4 \cdot 11 = 44$, $C^2 = (\sqrt{43})^2 = 43$. 3) $43 < 44 < 45$이고 세 수가 모두 양수이므로 $C < B < A$.