📝 중3 수학 일반 (9/10)

Q201경우의 수와 확률 심화★★

서로 다른 5권의 책 중에서 2권을 골라 책꽂이에 일렬로 꽂는 경우의 수는?

① 10

② 20

③ 25

④ 60

Q202이차방정식★★

이차방정식 2x² - 5x + 1 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, α + β + αβ의 값은?

① 2

② 7/2

③ 5/2

④ 3

Q203제곱근과 실수★★★

\frac{2}{\sqrt{3}+1} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}

의 값을 구하시오.

① -2

② 2

③ -2√3

④ 2√3

🎯 정답: ① -2

📖 풀이:
각 분수의 분모를 유리화한다. 첫째 항:

\frac{2}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1

. 둘째 항:

\frac{2}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1

. 따라서 (√3-1) - (√3+1) = -2.

Q204다항식 곱셈과 인수분해★★★

x⁴ - 5x² + 4를 인수분해하시오.

① (x²-1)(x²-4)

② (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

③ (x²+1)(x²+4)

④ (x²-5)(x²+1)

Q205이차함수★★★

이차함수 y = -x² + 4x + k의 최댓값이 7일 때, 상수 k의 값은?

① 1

② 3

③ 5

④ 7

Q206통계★★★

두 자료 A: 1, 3, 5, 7, 9와 B: 3, 4, 5, 6, 7의 표준편차를 비교한 것으로 옳은 것은?

① A의 표준편차 < B의 표준편차

② A의 표준편차 > B의 표준편차

③ A의 표준편차 = B의 표준편차

④ 비교할 수 없다

Q207삼각비★★★

sin30° + cos60° × tan45°의 값을 구하시오.

① 1/2

② 1

③ 3/2

④ 2

Q208제곱근과 실수★

\frac{3}{\sqrt{2}}

의 분모를 유리화한 결과로 옳은 것은?

①

\frac{\sqrt{2}}{2}

②

\frac{3}{2}

③

\frac{3\sqrt{2}}{2}

④

\frac{\sqrt{6}}{2}

🎯 정답: ③

\frac{3\sqrt{2}}{2}

📖 풀이:
1단계: 분모·분자에 똑같은 수 √2를 곱한다.

\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}

. 2단계: √2 × √2 = 2 이므로 분모가 유리수 2가 된다. 3단계: 정리하면

\frac{3\sqrt{2}}{2}

. 분모에 √가 있으면 같은 √를 위아래에 곱해 없앤다고 기억하자.

💡 분모를 유리화하면 소수로 계산할 때 나눗셈이 훨씬 쉬워져서 예전엔 계산기 없이도 빠르게 어림할 수 있었어요.

Q209이차방정식★

근의 공식을 이용하여 이차방정식 x² - 3x + 1 = 0의 해를 구하면?

①

x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

②

x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}

③

x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}

④

x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}

🎯 정답: ①

x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

📖 풀이:
1단계: 계수 확인. a=1, b=-3, c=1. 2단계: 근의 공식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

에 대입. 3단계:

b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 9 - 4 = 5

. 4단계:

x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

. 인수분해가 안 되는 이차방정식은 근의 공식이 언제나 통한다는 점을 기억하자.

💡 근의 공식은 9세기 페르시아 수학자 알콰리즈미가 체계화했고, 그의 이름에서 'algorithm(알고리즘)'이 유래되었어요.

Q210다항식 곱셈과 인수분해★

다항식 3x²y - 6xy²를 인수분해하면?

① 3xy(x - 2y)

② 3xy(x + 2y)

③ xy(3x - 6y)

④ 3x(xy - 2y²)

Q211통계★

다음 자료 {3, 5, 7, 5, 2, 5, 8, 5}의 최빈값을 구하여라.

직접 채점:

Q212삼각비★★

예각 A에서 sin A =

\frac{3}{5}

일 때, cos A의 값은? (단, 직각삼각형에서 구한다.)

①

\frac{3}{5}

②

\frac{4}{5}

③

\frac{5}{4}

④

\frac{3}{4}

🎯 정답: ②

\frac{4}{5}

📖 풀이:
1단계: sin A = 대변/빗변 = 3/5 이므로 대변=3, 빗변=5인 직각삼각형을 생각하자. 2단계: 피타고라스 정리로 이웃변을 구한다. (이웃변)² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, 이웃변=4. 3단계: cos A = 이웃변/빗변 = 4/5. 참고로 sin²A + cos²A = (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1로 공식과 맞는다.

💡 3-4-5 직각삼각형은 고대 이집트에서 땅 측량에 쓰이던 가장 유명한 피타고라스 수예요.

Q213이차방정식★★

이차방정식 x² + 4x + k = 0이 중근을 가질 때, 상수 k의 값은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

Q214원의 성질★★

원 O 밖의 한 점 P에서 원에 두 접선을 그어 접점을 각각 A, B라 한다. PA = 8cm일 때, PB의 길이는?

① 4cm

② 6cm

③ 8cm

④ 10cm

Q215이차함수★★

두 이차함수 y = 2x²과 y = -2x²의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 두 그래프는 x축에 대하여 서로 대칭이다

② 두 그래프는 y축에 대하여 서로 대칭이다

③ 두 그래프는 모두 최솟값을 갖는다

④ 두 그래프의 폭이 서로 다르다

Q216경우의 수와 확률 심화★★

5명의 학생을 일렬로 세우는 방법의 수는?

① 25

② 60

③ 120

④ 720

Q217통계★★★

다음 자료 {2, 4, 6, 8, 10}의 분산을 구하여라.

직접 채점:

Q218경우의 수와 확률 심화★★★

서로 다른 7송이의 꽃 중에서 3송이를 골라 꽃다발을 만들려고 한다. 만들 수 있는 꽃다발의 종류는 몇 가지인가?

① 21

② 35

③ 42

④ 210

🎯 정답: ② 35

📖 풀이:
1단계: 꽃다발은 '뽑는 순서'와 상관없이 어떤 꽃들이 모였는지가 중요하므로 조합 문제이다. 2단계: 서로 다른 n개에서 r개를 뽑는 조합의 수

_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

. 3단계:

_7C_3 = \frac{7!}{3! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35

. 4단계: 따라서 35가지. 순열

_7P_3 = 210

은 '순서가 있는 일렬 배열'일 때의 값임을 구분하자.

💡 로또 6/45는 서로 다른 45개 숫자에서 6개를 뽑는 조합으로,

_{45}C_6 = 8{,}145{,}060

가지나 된답니다.

Q219원의 성질★★★

원 O에서 접선 PT가 점 T에서 원에 접하고, T에서 원 위의 점 A로 현 TA를 그었다. 접선과 현이 이루는 각 ∠PTA = 50°일 때, 호 TA 위가 아닌 반대쪽 호에 있는 점 B에 대한 원주각 ∠TBA의 크기는?

① 40°

② 50°

③ 80°

④ 100°

Q220이차방정식★★★

둘레의 길이가 40cm이고 넓이가 96cm²인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 긴 변의 길이는 몇 cm인가?

① 10cm

② 11cm

③ 12cm

④ 14cm

Q221통계★★★

두 변량 x와 y를 짝지은 자료를 산점도로 나타냈더니 점들이 전체적으로 오른쪽 아래로 내려가는 직선 근처에 모여 있었다. 이때 두 변량 사이의 관계를 무엇이라 하는가?

① 양의 상관관계

② 음의 상관관계

③ 상관관계가 없다

④ 완전한 일치 관계

Q222제곱근과 실수★

\frac{6}{\sqrt{3}}

의 분모를 유리화하여 간단히 하면?

① √3

② 2√3

③ 3√3

④ 6√3

🎯 정답: ② 2√3

📖 풀이:
1단계: 분모에 √3을 곱하면 분자도 √3을 곱해야 한다.

\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}

2단계: 분모 계산:

\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3

3단계:

\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

따라서 답은 2√3.

💡 분모 유리화는 계산기 없던 시절, 같은 수의 대소를 빠르게 비교하기 위해 개발된 기술이다.

Q223근호 계산★

\sqrt{8} \times \sqrt{6}

을 간단히 하면?

① 2√3

② 3√6

③ 4√3

④ 6√2

🎯 정답: ③ 4√3

📖 풀이:
1단계:

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}

이므로

\sqrt{8} \times \sqrt{6} = \sqrt{48}

2단계: 48을 소인수분해하면

48 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3

3단계:

\sqrt{48} = \sqrt{4^2 \times 3} = 4\sqrt{3}

따라서 답은 4√3.

💡 √n을 간단히 할 때 가장 큰 제곱수를 찾는 것이 핵심이다.

Q224다항식 곱셈과 인수분해★

(x+5)^2

을 전개한 결과로 옳은 것은?

① x² + 5x + 25

② x² + 10x + 25

③ x² + 25

④ x² + 10x + 10

🎯 정답: ② x² + 10x + 25

📖 풀이:
1단계: 곱셈 공식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

를 사용한다.
2단계: a=x, b=5 를 대입하면

x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2

3단계: 정리하면

x^2 + 10x + 25

가운데 항의 계수가

2 \times 5 = 10

임을 기억하자.

💡 완전제곱식은 포물선 그래프의 꼭짓점 좌표를 찾는 핵심 도구로 이어진다.

Q225이차방정식★★

이차방정식

x^2 - 4x + 1 = 0

의 두 실근은?

① 2 ± √3

② 4 ± √3

③ 1 ± 2√3

④ 2 ± 2√3

🎯 정답: ① 2 ± √3

📖 풀이:
1단계: 근의 공식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

에 a=1, b=-4, c=1 대입.
2단계: 판별식

b^2 - 4ac = 16 - 4 = 12 > 0

이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.
3단계:

x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}

따라서 두 근은

2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}

이다.

💡 근의 공식은 바빌로니아 점토판에서도 발견될 만큼 오래된 수학 기술이다.