📝 중3 수학 일반 (10/10)

Q226이차함수★★

이차함수

y = -x^2 + 4x + 1

의 최댓값은?

① 3

② 4

③ 5

④ 6

🎯 정답: ③ 5

📖 풀이:
1단계: x² 계수가 음수(-1)이므로 그래프는 위로 볼록하고 꼭짓점에서 최댓값을 가진다.
2단계: 완전제곱식으로 변형:

y = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x-2)^2 + 4 + 1

3단계: 따라서

y = -(x-2)^2 + 5

. 꼭짓점은 (2, 5)이므로 최댓값은 5.

💡 포탄이나 분수처럼 중력이 작용하는 던져진 물체의 궤적은 모두 위로 볼록한 포물선이다.

Q227삼각비★★

한 변의 길이가 6인 정사각형 ABCD에서 대각선 AC를 그었다. 직각삼각형 ABC에서 sin(∠BAC)의 값은?

①

\frac{1}{2}

②

\frac{\sqrt{2}}{2}

③

\frac{\sqrt{3}}{2}

④ 1

🎯 정답: ②

\frac{\sqrt{2}}{2}

📖 풀이:
1단계: 정사각형 대각선에 의해 ∠BAC = 45°.
2단계: 피타고라스 정리로 AC =

\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

.
3단계: sin(∠BAC) = 대변/빗변 = BC/AC =

\frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

.
특수각 45°의 사인값은 항상

\frac{\sqrt{2}}{2}

.

💡 사인 45°는 컴퓨터 그래픽 회전 계산에서 가장 많이 쓰이는 값 중 하나다.

Q228원의 성질★★

원 O의 반지름이 5이고, 원 밖의 한 점 P에서 접선 PT를 그어 접점을 T라 한다. OP = 13일 때 접선 PT의 길이는?

① 10

② 11

③ 12

④ 13

🎯 정답: ③ 12

📖 풀이:
1단계: 원의 접선은 접점에서 반지름과 수직이다. 즉 ∠OTP = 90°.
2단계: 직각삼각형 OTP에서 피타고라스 정리를 적용:

OT^2 + PT^2 = OP^2

.
3단계:

5^2 + PT^2 = 13^2 \Rightarrow 25 + PT^2 = 169 \Rightarrow PT^2 = 144

.
4단계: PT = 12.

💡 (5, 12, 13)은 대표적인 피타고라스 수로, 고대 이집트의 밧줄 측량에도 사용됐다고 한다.

Q229통계★★

자료 3, 5, 7, 9, 11 의 분산은?

① 6

② 7

③ 8

④ 10

🎯 정답: ③ 8

📖 풀이:
1단계: 평균 =

\frac{3+5+7+9+11}{5} = \frac{35}{5} = 7

.
2단계: 각 편차(값 - 평균): -4, -2, 0, 2, 4.
3단계: 편차의 제곱: 16, 4, 0, 4, 16.
4단계: 분산 = 편차 제곱의 평균 =

\frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8

.

💡 분산의 제곱근을 표준편차라 하는데, 이 자료의 표준편차는

2\sqrt{2}

이다.

Q230경우의 수와 확률 심화★

학생 5명 중에서 서로 다른 대표 2명을 뽑는 방법의 수는?

① 6

② 8

③ 10

④ 20

🎯 정답: ③ 10

📖 풀이:
1단계: 두 대표의 역할이 같으므로 순서는 무관. 조합을 사용한다.
2단계:

_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10

.
3단계: 따라서 대표 2명을 뽑는 방법은 10가지.
만약 회장, 부회장처럼 역할이 다르면 순열

_5P_2 = 20

가지가 된다.

💡 로또의 당첨 조합 수도 이 원리로 계산된다(45개 중 6개 뽑기).

Q231근호 계산★★★

\sqrt{3}(2\sqrt{3} + \sqrt{12}) - \sqrt{27}

의 값은?

① 12 - 3√3

② 12 + 3√3

③ 6 - 3√3

④ 3√3

🎯 정답: ① 12 - 3√3

📖 풀이:
1단계: 분배법칙으로 전개:

\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{27}

.
2단계: 각 항 계산:

\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6

,

\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6

.
3단계:

\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}

.
4단계: 합하면

6 + 6 - 3\sqrt{3} = 12 - 3\sqrt{3}

.

💡 이런 유형은 고등학교에서 배울 '무리식의 연산'의 기초가 된다.

Q232이차함수★★

이차함수

y = a(x-1)^2 + 3

의 그래프가 점 (3, 7)을 지날 때, 상수 a의 값은?

①

\frac{1}{2}

② 1

③ 2

④ 3

🎯 정답: ② 1

📖 풀이:
1단계: 점 (3, 7)이 그래프 위의 점이므로 식에 x=3, y=7을 대입한다.
2단계:

7 = a(3-1)^2 + 3 = a \cdot 4 + 3 = 4a + 3

.
3단계: 4a = 7 - 3 = 4. 따라서 a = 1.
4단계: 꼭짓점 (1, 3)인 아래로 볼록한 포물선임을 확인할 수 있다.

💡 포물선의 식을 꼭짓점과 한 점만 알면 완전히 결정할 수 있다.

Q233삼각비★★★

예각 A에 대하여

\sin A = \frac{3}{5}

일 때,

\cos A \times \tan A

의 값은?

①

\frac{3}{5}

②

\frac{4}{5}

③

\frac{3}{4}

④

\frac{4}{3}

🎯 정답: ①

\frac{3}{5}

📖 풀이:
1단계: 삼각비 기본 항등식

\sin^2 A + \cos^2 A = 1

을 사용한다.
2단계:

\cos^2 A = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

. A가 예각이므로

\cos A = \frac{4}{5}

.
3단계:

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}

.
4단계:

\cos A \times \tan A = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}

. 이는 결국

\sin A

그 자체와 같다.

💡

\cos A \times \tan A = \sin A

는 항상 성립하는 항등식이다. 정의를 풀어보면 명백하다.

Q234원의 성질★★★

원 위에 세 점 A, B, C가 있고 호 AB에 대한 원주각의 크기가 20°이다. 호 AB와 호 BC의 길이의 비가 2:3일 때, 호 BC에 대한 원주각의 크기는?

① 25°

② 30°

③ 35°

④ 40°

🎯 정답: ② 30°

📖 풀이:
1단계: 한 원에서 원주각의 크기는 그 원주각이 바라보는 호의 길이에 비례한다.
2단계: 호 AB : 호 BC = 2 : 3 이므로 원주각의 비도 2 : 3.
3단계: 호 AB 원주각이 20°이므로 비례식

2 : 3 = 20 : x

.
4단계:

2x = 60 \Rightarrow x = 30

. 따라서 호 BC에 대한 원주각은 30°.

💡 호의 길이, 중심각, 원주각은 모두 같은 비율로 변한다. 이 성질은 원의 '회전 대칭성'에서 비롯된다.

Q235근호 계산★

\sqrt{2}(\sqrt{8}+\sqrt{18})

을 계산하면?

① 8

② 10

③ 12

④ 14

🎯 정답: ② 10

📖 풀이:
1단계: 분배법칙으로 전개한다.

\sqrt{2}\times\sqrt{8}+\sqrt{2}\times\sqrt{18}

.
2단계:

\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}

이므로

\sqrt{16}+\sqrt{36}

.
3단계:

\sqrt{16}=4

,

\sqrt{36}=6

이므로

4+6=10

.

💡 근호 안의 수를 먼저 곱한 뒤에 제곱근을 구하면 의외로 딱 떨어지는 정수가 나올 때가 많아.

Q236다항식 곱셈과 인수분해★

다항식 (x+3)(x-5)를 전개하면?

① x²-2x-15

② x²+2x-15

③ x²-2x+15

④ x²+8x-15

🎯 정답: ① x²-2x-15

📖 풀이:
1단계: 곱셈공식

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

를 사용한다.
2단계: a=3, b=-5를 대입하면

a+b=-2

,

ab=-15

.
3단계: 따라서

x^2+(-2)x+(-15)=x^2-2x-15

.

💡 (x+a)(x+b) 꼴의 곱셈공식은 일차항 계수 구하기만 잘하면 머릿속에서도 빠르게 전개할 수 있어.

Q237이차방정식★

이차방정식 x²-7x+12=0의 해를 구하시오.

① x=1 또는 x=12

② x=2 또는 x=6

③ x=3 또는 x=4

④ x=-3 또는 x=-4

Q238삼각비★★

직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, 빗변 AB=13, BC=5일 때 tan A의 값은?

① 5/13

② 12/13

③ 5/12

④ 12/5

Q239원의 성질★★

원 O의 반지름이 3이고, 원 밖의 한 점 P에서 원에 그은 접선의 접점을 T라 하자. OP=5일 때, 접선 PT의 길이는?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

Q240경우의 수와 확률 심화★★

서로 다른 6개의 공 중에서 동시에 2개를 꺼내는 경우의 수는?

① 10

② 12

③ 15

④ 30

🎯 정답: ③ 15

📖 풀이:
1단계: '동시에' 꺼내므로 순서를 고려하지 않는 조합이다.
2단계: 조합 공식으로

_6C_2=\frac{6\times5}{2\times1}

.
3단계: 계산하면 30/2=15.

💡 순서를 따지면 6×5=30가지(순열)이고, 순서를 따지지 않으면 이를 2!로 나눠 15가지가 돼.

Q241이차함수★★

이차함수 y=2x²의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프의 식은?

① y=-2x²

② y=2x²

③ y=(1/2)x²

④ y=-(1/2)x²

Q242통계★★

자료 2, 4, 4, 6, 4의 분산을 구하면?

① 0.8

② 1.6

③ 2.0

④ 2.4

Q243근호 계산★★

\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}

을 계산하면?

① 2

② 3

③ 4

④ 6

🎯 정답: ③ 4

📖 풀이:
1단계:

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}

공식을 이용한다.
2단계:

\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}

.
3단계:

\sqrt{16}=4

.

💡 근호 안끼리 먼저 나눠보면 깔끔한 제곱수가 되어 정수로 떨어질 때가 많아.

Q244이차방정식★★★

근의 공식을 이용하여 이차방정식 3x²-5x+1=0의 두 근을 구하시오.

①

x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}

②

x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{3}

③

x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}

④

x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{6}

🎯 정답: ①

x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}

📖 풀이:
1단계: 계수 확인. a=3, b=-5, c=1.
2단계: 판별식 계산. b²-4ac = (-5)² - 4×3×1 = 25-12 = 13. 양수이므로 서로 다른 두 실근.
3단계: 근의 공식

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

에 대입하면

x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}

.

💡 판별식이 13처럼 완전제곱수가 아니면, 근은 무리수가 되어 √가 벗겨지지 않아.

Q245삼각비★★★

수평면 위의 한 지점 A에서 산 정상을 올려본각이 30°이고, A에서 산 바로 아래 지점 B까지의 수평거리가 60m이다. 산의 높이 BC는? (관측자의 키는 무시한다.)

① 20√3 m

② 30√3 m

③ 60√3 m

④ 20 m

Q246경우의 수와 확률 심화★★★

주머니에 빨간 공 3개, 흰 공 5개가 들어 있다. 한 개를 꺼내고 꺼낸 공을 다시 넣지 않은 상태에서 다시 한 개를 꺼낼 때, 두 개 모두 빨간 공일 확률은?

① 9/64

② 3/28

③ 3/14

④ 1/8

Q247원의 성질★★★

원의 지름을 AB라 하고, 원 위의 한 점 P(A, B와 다름)에 대하여 ∠APB의 크기는?

① 45°

② 60°

③ 90°

④ 120°

Q248제곱근과 실수★

다음 수 중에서 무리수인 것의 개수는?

√9, √10, -√25, √0.04, π, 0.333…

① 1개

② 2개

③ 3개

④ 4개

Q249다항식 곱셈과 인수분해★

다항식

x^2 - 7x + 12

를 인수분해하면?

① (x-2)(x-6)

② (x-3)(x-4)

③ (x+3)(x+4)

④ (x-1)(x-12)

🎯 정답: ② (x-3)(x-4)

📖 풀이:

x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)

공식을 이용한다.
1단계: 곱해서 12, 더해서 -7이 되는 두 수를 찾는다.
2단계: 두 수 모두 음수여야 한다 (곱이 양수, 합이 음수).
3단계: -3과 -4를 확인하면 (-3)×(-4)=12, (-3)+(-4)=-7 ✓
4단계: 따라서

x^2-7x+12 = (x-3)(x-4)

💡 인수분해는 곱셈의 반대 과정이에요. 전개와 인수분해를 자유롭게 오가는 것이 중3 대수의 핵심 기술이랍니다!

Q250이차함수★★

이차함수 y = x² - 4x + 5를 y = (x-p)² + q 꼴로 고쳤을 때, 꼭짓점의 좌표는?

① (-2, 1)

② (2, 1)

③ (2, -1)

④ (-2, -1)