📝 중3 수학 일반

📖 풀이:
이중근호 공식 $\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (a>0, b>0) 을 이용한다.
1) 안의 식을 'a+b = 5, ab = 6' 꼴로 만들 두 수 a, b 를 찾는다.
2) 합이 5, 곱이 6 인 두 수는 2 와 3.
3) 따라서 √(5 + 2√6) = √2 + √3.
4) 검산: (√2+√3)² = 2 + 2·√6 + 3 = 5 + 2√6. ✓

📖 풀이:
완전제곱식 $(x+m)^2 = x^2 + 2mx + m^2$ 과 비교한다.
1) 주어진 식 x² + 6x + k 와 (x+m)² = x² + 2mx + m² 의 계수를 비교.
2) 일차항 계수에서 2m = 6, 따라서 m = 3.
3) 상수항은 k = m² = 3² = 9.
4) 즉 x² + 6x + 9 = (x+3)². ✓
빠른 공식: '일차항 계수의 절반을 제곱한 것' 이 완전제곱 상수이다. (6/2)² = 9.

📖 풀이:
두 사건 A(첫 번째가 빨강), B(두 번째도 빨강)가 모두 일어나는 경우이므로 확률의 곱셈정리를 이용하되, '뽑은 공을 다시 넣지 않는다' 는 조건(비복원)을 반영한다.
1) 전체 공의 수 = 3 + 2 = 5 개.
2) 첫 번째에 빨간 공을 꺼낼 확률 P(A) = 3/5.
3) 첫 번째가 빨강이라는 조건 아래, 남은 공은 빨강 2 개 + 파랑 2 개 = 4 개.
4) 두 번째에도 빨간 공을 꺼낼 조건부 확률 P(B|A) = 2/4 = 1/2.
5) 따라서 P(둘 다 빨강) = P(A) × P(B|A) = 3/5 × 1/2 = 3/10.

📖 풀이:
먼저 꼭짓점을 찾고, 꼭짓점이 정의역 안에 있는지 확인한 뒤, 정의역의 양 끝값을 비교한다.
1) y = x² - 2x - 3 을 완전제곱꼴로 고치면 y = (x-1)² - 4. 꼭짓점은 (1, -4) 이고 아래로 볼록(a = 1 > 0).
2) 꼭짓점의 x좌표 x = 1 이 정의역 -1 ≤ x ≤ 4 안에 있으므로 최솟값은 꼭짓점의 y값, 즉 -4 (x = 1 일 때).
3) 최댓값은 꼭짓점에서 더 멀리 떨어진 쪽의 끝값에서 나온다. 대칭축 x = 1 으로부터 x = -1 까지 거리 2, x = 4 까지 거리 3. 따라서 x = 4 에서 최댓값.
4) x = 4 대입: y = 16 - 8 - 3 = 5.
5) (참고: x = -1 일 때 y = 1 + 2 - 3 = 0.)
6) 결론: 최댓값 5, 최솟값 -4.

📖 풀이:
1단계) 용어 구별이 핵심이다. 'a의 제곱근'은 제곱하여 a가 되는 수로, 양수 a에 대해 +√a와 -√a 두 개(±√a)이다. 반면 '제곱근 a'는 근호를 읽은 말로 양의 제곱근 √a 한 개만을 뜻한다.
2단계) 따라서 '제곱근 16'은 √16을 가리킨다.
3단계) √16 = 4 이므로 정답은 4이다.
참고) 만약 '16의 제곱근'을 물었다면 제곱하여 16이 되는 수 4와 -4, 즉 ±4가 답이다. '제곱근 16'(=√16=4)과 '16의 제곱근'(=±4)을 혼동하지 않도록 주의한다.

📖 풀이:
1단계) 근호의 나눗셈 성질: $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{a/b}$ (단, a≥0, b>0).
2단계) $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = \sqrt{27/3} = \sqrt{9}$.
3단계) $\sqrt{9} = 3$이므로 답은 3이다.

📖 풀이:
1단계) 합차공식: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
2단계) a=x, b=5를 대입하면 $(x+5)(x-5) = x^2 - 5^2$.
3단계) 따라서 $x^2 - 25$가 된다.
주의) 중간항 $\pm 10x$가 사라지는 이유는 +5x와 -5x가 서로 지워지기 때문이다.

📖 풀이:
1단계) 곱이 12이고 합이 7인 두 수를 찾는다: 3과 4 (3×4=12, 3+4=7).
2단계) 인수분해하면 $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.
3단계) $(x-3)(x-4) = 0$에서 x-3=0 또는 x-4=0.
4단계) 따라서 x=3 또는 x=4.
검산) 3²-7·3+12 = 9-21+12 = 0 ✓, 4²-7·4+12 = 16-28+12 = 0 ✓

📖 풀이:
1단계) y=x²의 꼭짓점은 원점 (0,0)이다.
2단계) x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 그래프의 식은 $y=(x-p)^2$이 되고, 꼭짓점도 (p, 0)으로 이동한다.
3단계) p=2이므로 이동된 그래프는 $y=(x-2)^2$, 꼭짓점은 (2, 0).
주의) x축 방향으로 +2만큼 이동하면 식에서는 x가 (x-2)로 바뀌는 것에 유의한다.

📖 풀이:
1단계) 각 A=30°의 대변은 BC, 빗변은 AB이다.
2단계) $\sin A = \dfrac{\text{대변}}{\text{빗변}} = \dfrac{BC}{AB}$이므로 $\sin 30° = \dfrac{BC}{10}$.
3단계) $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$이므로 $\dfrac{BC}{10} = \dfrac{1}{2}$.
4단계) 따라서 BC = 5.
확인) 30°-60°-90° 직각삼각형에서 변의 비는 1 : √3 : 2이고, 빗변이 10이므로 짧은 변(30° 대변)은 5로 일치한다.

📖 풀이:
1단계) 중심각과 원주각의 관계: 같은 호에 대한 원주각은 중심각의 1/2이다.
2단계) 지름 AB에 대응되는 중심각 AOB는 평각, 즉 180°이다.
3단계) 원주각 ACB = 180° × 1/2 = 90°.
결론) '반원에 대한 원주각은 언제나 직각'이라는 중요한 정리이다.

📖 풀이:
1단계) 평균을 구한다: (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6.
2단계) 각 변량의 편차(변량-평균)를 구한다: -4, -2, 0, 2, 4.
3단계) 편차를 제곱한다: 16, 4, 0, 4, 16.
4단계) 편차 제곱의 합: 16+4+0+4+16 = 40.
5단계) 분산 = 편차 제곱의 평균 = 40/5 = 8.

📖 풀이:
1단계) 서로 다른 n개에서 r개를 순서 없이 고르는 경우의 수는 조합 $_nC_r$이다.
2단계) $_6C_2 = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = \dfrac{30}{2} = 15$.
3단계) 따라서 방법의 수는 15이다.
참고) 만약 순서를 구분한다면 순열 $_6P_2 = 30$이 되지만, '고르는 방법'은 순서와 무관하므로 30의 절반인 15가 정답이다.

📖 풀이:
1단계) 근의 공식: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
2단계) a=1, b=-4, c=1을 대입한다. 판별식 $b^2-4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
3단계) $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$.
4단계) 분자와 분모를 2로 나누면 $x = 2 \pm \sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계) 제곱완성을 위해 x의 계수 -4의 절반(-2)을 이용한다.
2단계) $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$이므로 $x^2 - 4x + 7 = (x-2)^2 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3$.
3단계) $y = (x-2)^2 + 3$이므로 p=2, q=3.
4단계) p + q = 2 + 3 = 5.
확인) 꼭짓점의 좌표가 (p, q) = (2, 3)이고, 이는 이차함수의 최솟값이 3임을 뜻한다.

📖 풀이:
1단계) 세로의 길이를 x cm라 두면 가로의 길이는 (x+3) cm이다.
2단계) 넓이 조건: $x(x+3) = 40$.
3단계) 전개: $x^2 + 3x - 40 = 0$.
4단계) 곱이 -40이고 합이 3인 두 수는 8과 -5이므로 $(x+8)(x-5) = 0$.
5단계) x = -8 또는 x = 5인데, 길이는 양수이므로 x = 5.
6단계) 따라서 세로는 5 cm이다. (가로는 8 cm, 넓이 5×8=40 ✓)

📖 풀이:
1단계) 근과 계수의 관계: 이차방정식 $x^2 + bx + c = 0$의 두 근의 합은 -b, 곱은 c이다.
2단계) $x^2 - 5x + k = 0$이므로 α + β = 5, αβ = k.
3단계) 주어진 조건 αβ - α - β = αβ - (α+β) = k - 5 = -2.
4단계) k = -2 + 5 = 3.
검산) k=3일 때 원식은 $x^2 - 5x + 3 = 0$이고, 두 근의 합 5, 곱 3. 곱-합 = 3-5 = -2 ✓

📖 풀이:
1단계) 원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다. 즉 각 OAP = 90°.
2단계) 따라서 삼각형 OAP는 각 A가 직각인 직각삼각형이며, OP가 빗변, OA와 PA는 다른 두 변이다.
3단계) 피타고라스 정리: $PA^2 = OP^2 - OA^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$.
4단계) PA = √64 = 8.
결론) 접선의 길이 PA는 8이다.

📖 풀이:
√a (a>0)는 a의 양의 제곱근을 의미한다. 16의 제곱근은 ±4이지만, 기호 √16은 그 중 양수만을 나타내므로 √16=4이다. 만약 '16의 제곱근'을 묻는다면 ±4가 답이지만, √16 자체는 양수 4 하나뿐이다.

📖 풀이:
각 근호를 $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ 꼴로 정리한다. √12 = √(4·3) = 2√3, √27 = √(9·3) = 3√3. 따라서 √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3.

📖 풀이:
제곱의 차 공식 a² - b² = (a+b)(a-b)를 적용한다. x² - 9 = x² - 3² = (x+3)(x-3). 두 항이 모두 제곱수이고 부호가 -로 연결될 때 사용하는 대표 공식이다.

📖 풀이:
1단계: 평균 = (4+6+8+10+12)/5 = 40/5 = 8. 2단계: 각 편차 = -4, -2, 0, 2, 4. 3단계: 편차의 제곱 = 16, 4, 0, 4, 16, 합 = 40. 4단계: 분산 = 편차제곱의 평균 = 40/5 = 8.

📖 풀이:
y = 2x² - 8x + 5를 표준형 y = a(x-p)² + q로 정리한다. y = 2(x² - 4x) + 5 = 2(x² - 4x + 4 - 4) + 5 = 2(x-2)² - 8 + 5 = 2(x-2)² - 3. 따라서 꼭짓점은 (2, -3)이다.

📖 풀이:
각 B의 인접변(밑변)이 BC=4이고, 빗변이 AB이다. cos B = (밑변)/(빗변)이므로 cos60° = 4/AB. cos60° = 1/2이므로 1/2 = 4/AB, 따라서 AB = 8.

📖 풀이:
원주각의 정리: 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 1/2이다. ∠APB = 1/2 × ∠AOB = 1/2 × 120° = 60°.