📝 중3 수학 일반

📖 풀이:
1단계) 빗변에 대한 밑변의 비는 코사인이다: cos A = AC / AB.
2단계) cos 60° = 1/2.
3단계) AC / 10 = 1/2 → AC = 10 × 1/2 = 5.
4단계) 따라서 밑변 AC 의 길이는 5.

📖 풀이:
1단계) 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같다 (접선의 길이 성질).
2단계) 삼각형 PAO 와 PBO 에서 OA = OB (반지름), OP 공통, ∠PAO = ∠PBO = 90° (접선과 반지름은 수직) 이므로 두 삼각형은 합동.
3단계) 따라서 PA = PB.
4단계) PA = 8 cm 이므로 PB = 8 cm.

📖 풀이:
1단계) 평균 = (2+4+6+8+10) / 5 = 30 / 5 = 6.
2단계) 각 값의 편차(값 - 평균): -4, -2, 0, 2, 4.
3단계) 편차의 제곱: 16, 4, 0, 4, 16. 그 합은 40.
4단계) 분산 = 편차 제곱의 합 / 자료의 개수 = 40 / 5 = 8.

📖 풀이:
1단계) 근과 계수의 관계에서 α + β = -(-5)/1 = 5, αβ = 2/1 = 2.
2단계) α² + β² 를 직접 구하지 말고 항등식을 이용한다: (α + β)² = α² + 2αβ + β².
3단계) 따라서 α² + β² = (α + β)² - 2αβ.
4단계) = 5² - 2 × 2 = 25 - 4 = 21.

📖 풀이:
1단계) 모든 실수 x 에 대하여 √(x²) = |x| 이다.
2단계) √(a²) = |a|, √(4a²) = |2a| = 2|a|, √(9a²) = |3a| = 3|a|.
3단계) a < 0 이므로 |a| = -a (부호를 뒤집어야 양수가 된다).
4단계) 따라서 식은 (-a) + 2(-a) - 3(-a) = -a - 2a + 3a = 0.

📖 풀이:
1단계) sin² A + cos² A = 1 에서 cos² A = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25.
2단계) A 가 예각이므로 cos A > 0, 따라서 cos A = 4/5.
3단계) tan A = sin A / cos A = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4.
4단계) cos A + tan A = 4/5 + 3/4 = 16/20 + 15/20 = 31/20.

📖 풀이:
1단계) 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는, 그 현이 끊어 내는 호에 대한 원주각의 크기와 같다 (접선과 현이 이루는 각의 성질).
2단계) ∠TAB 는 접선 TA 와 현 AB 가 이루는 각이다.
3단계) 점 C 는 접선 반대편 호 위에 있으므로, ∠ACB 는 위 성질에서 말하는 '그 호에 대한 원주각'이다.
4단계) 따라서 ∠ACB = ∠TAB = 40°.

📖 풀이:
각 수가 모두 양수이므로 제곱하여 대소를 비교한다. (√10)²=10, 3²=9, (√8)²=8, 2.9²=8.41. 가장 큰 값은 10이므로 √10이 가장 크다.

📖 풀이:
분배법칙으로 괄호를 풀면 √3·√12 = √36 = 6, √3·√27 = √81 = 9, √18 = 3√2. 따라서 6 - 9 + 3√2 = -3 + 3√2 = 3√2 - 3.

📖 풀이:
합차공식으로 (2x+3)(2x-3) = 4x² - 9. 완전제곱공식으로 (x-1)² = x² - 2x + 1. 따라서 4x² - 9 - (x² - 2x + 1) = 4x² - 9 - x² + 2x - 1 = 3x² + 2x - 10.

📖 풀이:
높이를 h라 하면 sin(지면과 이루는 각) = 높이 / 사다리. 즉 sin 60° = h / 10. sin 60° = √3/2 이므로 h = 10 · (√3/2) = 5√3. 따라서 사다리 끝은 지면에서 5√3 m 높이에 있다.

📖 풀이:
원의 접선은 접점에서 그 원의 반지름과 수직이다. 따라서 △OPT는 ∠OTP = 90°인 직각삼각형. 피타고라스 정리에 의해 PT² = OP² - OT² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144. 그러므로 PT = 12.

📖 풀이:
각 값의 등장 횟수를 센다. 1은 1번, 2는 2번, 3은 4번, 4는 1번, 5는 2번 나타난다. 가장 많이 등장한 값이 최빈값이므로 최빈값은 3권.

📖 풀이:
순서를 따지지 않고 3명을 선택하는 조합의 수이므로 ₇C₃ = 7! / (3! · 4!) = (7 · 6 · 5) / (3 · 2 · 1) = 210 / 6 = 35.

📖 풀이:
√(x²) = |x| 임을 이용한다. 0 < a < 1 이므로 a > 0, 1 - a > 0, a - 1 < 0. 따라서 √(a²) = a, √((1-a)²) = 1 - a, √((a-1)²) = |a - 1| = -(a - 1) = 1 - a. 대입하면 a + (1 - a) - (1 - a) = a.

📖 풀이:
완전제곱꼴로 변형한다. y = -(x² - 4x) + 5 = -(x² - 4x + 4) + 4 + 5 = -(x - 2)² + 9. x² 앞의 계수가 음수이므로 그래프는 아래로 열리고 꼭짓점에서 최댓값을 갖는다. 따라서 x = 2 일 때 최댓값은 9.

📖 풀이:
접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 현이 만드는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 접선 PT와 현 TA가 이루는 각(∠ATP)은 현 TA를 기준으로 반대쪽 호 위의 점 B가 TA를 바라보는 원주각 ∠ABT와 같다. 따라서 ∠ATP = ∠ABT = 55°.

📖 풀이:
비복원 추출이므로 확률의 곱셈정리를 쓴다. 처음에 빨간 공을 꺼낼 확률은 4/7. 빨간 공 하나를 꺼낸 뒤에는 상자 안에 공이 6개, 빨간 공이 3개 남으므로 두 번째에도 빨간 공일 조건부확률은 3/6 = 1/2. 따라서 두 번 모두 빨간 공일 확률은 (4/7) · (1/2) = 4/14 = 2/7.

📖 풀이:
모든 수를 √ 안의 수로 바꾸어 비교한다.
1) 3 = √9 (∵ 3² = 9)
2) 2√2 = √(2²·2) = √8
3) 따라서 비교 대상은 √8, √9, √10, √11 이다.
4) √ 안의 수가 클수록 값이 크므로 √8 < √9 < √10 < √11.
5) 가장 큰 수는 √11 이다.

📖 풀이:
곱셈공식 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$을 이용한다.
1) a = 3x, b = 2 로 놓는다.
2) a² = (3x)² = 9x².
3) 2ab = 2·(3x)·2 = 12x.
4) b² = 2² = 4.
5) 모두 더하면 9x² + 12x + 4.

📖 풀이:
지름에 대한 원주각은 항상 직각이라는 성질을 이용한다.
1) AB가 지름이므로 ∠ACB = 90°.
2) 삼각형 ABC의 세 내각의 합은 180°.
3) ∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB = 180° - 90° - 35°.
4) 따라서 ∠ABC = 55°.

📖 풀이:
근의 공식 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 에 대입한다.
1) a = 2, b = -5, c = 1.
2) b² - 4ac = (-5)² - 4·2·1 = 25 - 8 = 17.
3) 판별식이 17 > 0 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
4) x = (-(-5) ± √17) / (2·2) = (5 ± √17) / 4.

📖 풀이:
분배법칙과 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 를 차례로 적용한다.
1) √2(√6 + √10) = √2·√6 + √2·√10.
2) √2·√6 = √12, √2·√10 = √20.
3) √12 = √(4·3) = 2√3.
4) √20 = √(4·5) = 2√5.
5) 따라서 답은 2√3 + 2√5.

📖 풀이:
분산은 (편차)² 의 평균이다.
1) 평균 = (2+4+5+6+8)/5 = 25/5 = 5.
2) 각 자료의 편차 = 자료값 - 평균.
2-5=-3, 4-5=-1, 5-5=0, 6-5=1, 8-5=3.
3) 편차의 제곱: 9, 1, 0, 1, 9.
4) 편차제곱의 합 = 9+1+0+1+9 = 20.
5) 분산 = 20 / 5 = 4.

📖 풀이:
순서가 상관없이 뽑는 것이므로 조합(C)을 이용한다.
1) 조합의 수 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 을 사용한다.
2) n = 8, r = 2 를 대입: $_8C_2 = \frac{8!}{2!·6!} = \frac{8·7}{2·1}$.
3) 계산하면 56/2 = 28.
4) (만약 '회장·부회장' 처럼 순서가 있었다면 순열 8·7 = 56 이었을 것.)