📝 중3 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 평균 = (1+3+5+7+9)/5 = 25/5 = 5.
2단계: 각 편차 = 변량 - 평균. 편차는 -4, -2, 0, 2, 4.
3단계: 편차의 제곱은 16, 4, 0, 4, 16이고, 합은 40.
4단계: 분산 = (편차)² 의 평균 = 40/5 = 8.

📖 풀이:
1단계: 위층과 아래층이 구별되므로 순서가 있는 선택, 즉 순열을 사용한다.
2단계: 위층에 칠할 색을 고르는 방법은 5가지.
3단계: 아래층에는 위층에 쓰지 않은 색을 칠해야 하므로 4가지.
4단계: 전체 방법 수 = 5×4 = 20가지.

📖 풀이:
1단계: 이차방정식 ax²+bx+c=0이 중근을 가지려면 판별식 D = b²-4ac = 0.
2단계: a=1, b=-6, c=k이므로 D = (-6)² - 4×1×k = 36 - 4k.
3단계: 중근 조건 36 - 4k = 0, 따라서 k = 9.
4단계: 확인: x² - 6x + 9 = (x-3)², 중근 x=3 (중근임을 확인).

📖 풀이:
1단계: y=2x²-8x+5를 완전제곱꼴로 고친다. 2로 묶으면 y=2(x²-4x)+5.
2단계: x²-4x = (x-2)² - 4이므로 y = 2{(x-2)² - 4} + 5.
3단계: 전개하면 y = 2(x-2)² - 8 + 5 = 2(x-2)² - 3.
4단계: x² 계수가 양수이므로 아래로 볼록, 꼭짓점 (2, -3)에서 최솟값을 갖는다.
5단계: 따라서 x=2일 때 최솟값 -3.

📖 풀이:
1단계: 반복되는 (x+y)를 한 문자로 치환한다. t = x+y로 놓는다.
2단계: 식은 t² - 4t + 4가 된다.
3단계: t² - 4t + 4 = (t-2)² (완전제곱식).
4단계: t를 다시 x+y로 되돌리면 (x+y-2)².

📖 풀이:
1단계: 직각삼각형 ABD에서 ∠ABD=90°, ∠BAD=30°, AB=6.
2단계: tan 30° = BD/AB 이므로 BD = 6 × tan 30° = 6 × (√3/3) = 2√3.
3단계: 직각삼각형 ABC에서 ∠ABC=90°, ∠BAC=60°, AB=6.
4단계: tan 60° = BC/AB 이므로 BC = 6 × √3 = 6√3.
5단계: 점 D가 선분 BC 위에 있으므로 CD = BC - BD = 6√3 - 2√3 = 4√3.

📖 풀이:
1단계: 양수 x의 제곱근은 ±√x 두 개이다.
2단계: 81의 양의 제곱근은 √81 = 9 이므로 a = 9.
3단계: 9의 음의 제곱근은 -√9 = -3 이므로 b = -3.
4단계: a + b = 9 + (-3) = 6.

📖 풀이:
1단계: 근호의 곱셈 공식 √a × √b = √(ab) 를 이용한다.
2단계: √3 × √27 = √(3×27) = √81.
3단계: √81 = 9 (81이 완전제곱수이므로 근호가 벗겨진다).

📖 풀이:
1단계: 합차공식 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 를 떠올린다.
2단계: $x^2 - 25 = x^2 - 5^2$ 이므로 a=x, b=5에 해당한다.
3단계: 따라서 $x^2 - 25 = (x+5)(x-5)$.

📖 풀이:
1단계: 자료를 크기순으로 정렬한다 → 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.
2단계: 자료의 개수가 7(홀수)이므로 중앙값은 가운데에 있는 4번째 값이다.
3단계: 4번째 값은 5 이므로 중앙값 = 5.

📖 풀이:
1단계: 근의 공식 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 에 a=1, b=-6, c=4 대입.
2단계: 판별식 $b^2 - 4ac = 36 - 16 = 20 > 0$ 이므로 서로 다른 두 실근.
3단계: $x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.

📖 풀이:
1단계: 그래프가 점을 지난다 = 그 점의 좌표를 식에 넣으면 성립한다.
2단계: x=3, y=18을 $y = ax^2$ 에 대입하면 $18 = a \times 3^2 = 9a$.
3단계: $a = 18 \div 9 = 2$.

📖 풀이:
1단계: 직각삼각형에서 sin A = (각 A의 대변) ÷ (빗변).
2단계: 각 A의 대변은 직각 C를 끼고 A 맞은편에 있는 BC = 5.
3단계: 빗변은 직각의 맞은편 AB = 13.
4단계: 따라서 $\sin A = \frac{5}{13}$.

📖 풀이:
1단계: 청소 당번은 '뽑은 두 명' 자체가 중요하고 순서는 상관없으므로 조합 문제이다.
2단계: 순서를 생각하면 6 × 5 = 30 가지.
3단계: 두 명의 순서를 바꾼 경우(2!=2)는 같은 조이므로 중복이다.
4단계: 따라서 경우의 수 = 30 ÷ 2 = 15.

📖 풀이:
1단계: 조건을 식으로 세우면 $40 = 30t - 5t^2$.
2단계: 정리하면 $5t^2 - 30t + 40 = 0$, 양변을 5로 나누면 $t^2 - 6t + 8 = 0$.
3단계: 인수분해: $(t-2)(t-4) = 0$.
4단계: t = 2 또는 t = 4. 두 해가 모두 양수이므로 모두 현실적 의미가 있다(올라갈 때와 내려올 때).

📖 풀이:
1단계: 근호의 나눗셈은 $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{a/b}$ 로 하나의 근호로 합칠 수 있다.
2단계: $\sqrt{\frac{8}{3}} \div \sqrt{\frac{2}{27}} = \sqrt{\frac{8}{3} \div \frac{2}{27}} = \sqrt{\frac{8}{3} \times \frac{27}{2}}$.
3단계: 분자·분모를 약분: $\frac{8 \times 27}{3 \times 2} = \frac{216}{6} = 36$.
4단계: $\sqrt{36} = 6$.

📖 풀이:
1단계: 원에 내접하는 사각형의 성질: 마주보는 두 각(대각)의 합은 180°이다.
2단계: ∠A + ∠C = 180° → ∠C = 180° - 95° = 85°.
3단계: ∠B + ∠D = 180° → ∠D = 180° - 80° = 100°.
4단계: 따라서 ∠C + ∠D = 85° + 100° = 185°.

📖 풀이:
1단계: tan A = (대변)/(이웃변) = 3/4 이므로 대변 = 3, 이웃변 = 4인 직각삼각형을 그려도 비율이 같다.
2단계: 피타고라스 정리로 빗변 = $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
3단계: sin A = (대변)/(빗변) = 3/5, cos A = (이웃변)/(빗변) = 4/5.
4단계: $\sin A + \cos A = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.

📖 풀이:
1단계) 4를 근호 형태로 바꾸면 4 = √16.
2단계) 근호 안의 수가 작을수록 √ 값도 작다 (양수 기준).
3단계) 16 < 18 < 20 이므로 √16 < √18 < √20.
4단계) 따라서 4 < √18 < √20 이 성립한다.

📖 풀이:
1단계) 근호의 나눗셈은 √a ÷ √b = √(a/b) 성질을 이용한다.
2단계) √48 ÷ √3 = √(48/3) = √16.
3단계) √16 = 4.

📖 풀이:
1단계) 최빈값은 자료에서 가장 많이 나타난 값이다.
2단계) 각 값의 빈도를 세어 보자: 3은 1번, 5는 3번, 7은 2번, 8은 1번, 9는 1번.
3단계) 5가 3번으로 가장 많이 나타났다.
4단계) 따라서 최빈값은 5.

📖 풀이:
1단계) 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 판별식은 D = b² - 4ac.
2단계) a=1, b=-6, c=5 이므로 D = (-6)² - 4 × 1 × 5.
3단계) D = 36 - 20 = 16.
4단계) D > 0 이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.

📖 풀이:
1단계) 순서 없이 고르는 상황이므로 조합을 사용한다.
2단계) ₅C₂ = (5 × 4) / (2 × 1).
3단계) = 20 / 2 = 10.
4단계) 따라서 경우의 수는 10 가지.

📖 풀이:
1단계) 분배법칙으로 각 항끼리 곱한다.
2단계) (2x)(x) + (2x)(4) + (-3)(x) + (-3)(4).
3단계) = 2x² + 8x - 3x - 12.
4단계) 동류항 정리: 2x² + 5x - 12.

📖 풀이:
1단계) y = x² 의 꼭짓점은 (0, 0) 이다.
2단계) x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 그래프 식은 y = (x - p)² + q 가 된다.
3단계) p=3, q=-2 이므로 식은 y = (x - 3)² - 2.
4단계) 이 그래프의 꼭짓점은 (3, -2).