📝 중3 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 전체 공의 수는 3 + 2 = 5 개이다.
2단계: 한 번에 흰 공이 나올 확률은 3/5.
3단계: '복원추출'이므로 두 번째 시행도 조건이 같고, 두 사건은 독립이다.
4단계: 확률의 곱셈정리: (3/5) × (3/5) = 9/25.

📖 풀이:
1단계: 근호 안의 식을 (a + b)² = a² + b² + 2ab 꼴로 맞춘다.
2단계: 4√3 = 2·(2·√3) 이므로 ab = 2√3, 그리고 a² + b² = 7 이 되는 a, b 를 찾는다.
3단계: a = 2, b = √3 으로 두면 a² + b² = 4 + 3 = 7 ✓, 2ab = 4√3 ✓.
4단계: 따라서 7 + 4√3 = (2 + √3)² 이고, √(2 + √3)² = 2 + √3 (양수이므로 절댓값 그대로).

📖 풀이:
1단계: 가로를 x m 라 하면 (가로+세로) = 10 이므로 세로는 (10 - x) m 이다.
2단계: 넓이 S = x(10 - x) = -x² + 10x.
3단계: 완전제곱식으로 정리한다. S = -(x² - 10x) = -(x² - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)² + 25.
4단계: x² 계수가 음수이므로 꼭짓점에서 최댓값을 가진다. x = 5 일 때 S 최댓값 = 25 m².
5단계: 이때 가로=세로=5 m 로 정사각형이 된다.

📖 풀이:
1단계: 구하는 수를 x 라 하면 문제는 'x² = 5x + 6' 으로 쓸 수 있다.
2단계: 한쪽으로 모두 이항한다. x² - 5x - 6 = 0.
3단계: 곱이 -6, 합이 -5 인 두 수는 -6 과 1 이다. 따라서 (x - 6)(x + 1) = 0.
4단계: x - 6 = 0 또는 x + 1 = 0 이므로 x = 6 또는 x = -1.
5단계: 두 해 모두 문제 조건을 만족한다(검산: 36 = 30+6 ✓, 1 = -5+6 ✓).

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 시행에서 빨간 공을 뽑을 확률은 3/5 (전체 5개 중 빨강 3개).
2단계: 꺼낸 공을 다시 넣지 않으므로 남은 공은 4개(빨강 2개, 파랑 2개) 이다.
3단계: 두 번째 시행에서 파란 공을 뽑을 확률은 2/4 = 1/2.
4단계: 두 사건이 연속으로 일어날 확률(곱셈정리): (3/5) × (1/2) = 3/10.

📖 풀이:
무리수는 순환하지 않는 무한소수, 즉 분수 꼴로 나타낼 수 없는 수이다.
㉠ √16 = 4 → 유리수(정수)
㉡ √7 → 7은 제곱수가 아니므로 무리수
㉢ 0.121212... → 순환소수이므로 유리수
㉣ π = 3.14159... → 순환하지 않는 무한소수, 무리수
㉤ -√25 = -5 → 유리수(정수)
따라서 무리수는 ㉡, ㉣이다.

📖 풀이:
각 근호를 가장 간단한 꼴로 바꾼다.
√50 = √(25·2) = 5√2
√18 = √(9·2) = 3√2
√8 = √(4·2) = 2√2
따라서 5√2 - 3√2 + 2√2 = (5 - 3 + 2)√2 = 4√2.

📖 풀이:
합차공식 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$를 이용한다.
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$
전개로 확인: (x+3)(x-3) = x² - 3x + 3x - 9 = x² - 9. ✓

📖 풀이:
평균 = (모든 자료 값의 합) ÷ (자료의 개수)
합: 70 + 80 + 75 + 90 + 85 = 400
개수: 5
평균: 400 ÷ 5 = 80(점)

📖 풀이:
sin A = (각 A의 대변)/(빗변) = BC/AB = 3/5이므로 BC = 3, AB = 5로 잡을 수 있다.
피타고라스 정리로 밑변 AC를 구한다:
AC² + BC² = AB²
AC² + 3² = 5²
AC² = 25 - 9 = 16
AC = 4
따라서 cos A = (이웃변)/(빗변) = AC/AB = 4/5.
참고: sin²A + cos²A = (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1. ✓

📖 풀이:
한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 절반이다.
∠APB = (1/2) × ∠AOB
∠APB = (1/2) × 110° = 55°

📖 풀이:
회장과 부회장은 역할이 다르므로 순서가 있는 선택, 즉 순열이다.
회장을 뽑는 경우: 5명 중 1명 → 5가지
부회장을 뽑는 경우: 회장으로 뽑힌 사람을 제외한 4명 중 1명 → 4가지
곱의 법칙에 의해: 5 × 4 = 20(가지)
기호로 쓰면 ₅P₂ = 5 × 4 = 20.

📖 풀이:
근호 안의 수가 어떤 자연수의 제곱이 되어야 √72n이 자연수가 된다.
먼저 72를 소인수분해한다: 72 = 2³ × 3²
따라서 72n = 2³ × 3² × n.
전체가 제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 한다.
3²은 이미 짝수, 2³은 홀수이므로 n에 2를 한 번 더 곱해서 2⁴로 만들면 된다.
가장 작은 n = 2.
확인: 72 × 2 = 144 = 12². √144 = 12 (자연수). ✓

📖 풀이:
4개 항을 그룹지어 묶는 인수분해를 사용한다.
앞 세 항 $x^2 - 4x + 4$를 완전제곱식으로 묶는다:
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
원식 = $(x-2)^2 - y^2$
이는 합차공식 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ 꼴이다. (A = x-2, B = y)
= $\{(x-2) + y\}\{(x-2) - y\}$
= $(x - 2 + y)(x - 2 - y)$
= $(x - 2 - y)(x - 2 + y)$

📖 풀이:
$y = ax^2 + bx + c$를 표준형 $y = a(x-p)^2 + q$로 고친다.
$y = -2x^2 + 8x - 5$
= $-2(x^2 - 4x) - 5$
= $-2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5$
= $-2\{(x - 2)^2 - 4\} - 5$
= $-2(x - 2)^2 + 8 - 5$
= $-2(x - 2)^2 + 3$
a = -2 < 0이므로 위로 볼록하며, 꼭짓점 (2, 3)에서 최댓값을 가진다.
따라서 최댓값은 3.

📖 풀이:
접선의 성질: 원 밖의 점에서 그은 접선과 접점에 그은 반지름은 서로 수직이다.
따라서 ∠OAP = ∠OBP = 90°.
사각형 OAPB의 내각의 합은 360°이므로
∠AOB + ∠APB + ∠OAP + ∠OBP = 360°
∠AOB + 50° + 90° + 90° = 360°
∠AOB + 230° = 360°
∠AOB = 130°

📖 풀이:
분산 = (편차)² 의 평균.
① 평균 구하기: (2 + 4 + 6 + 8) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5
② 각 편차(변량 - 평균) 구하기:
2 - 5 = -3
4 - 5 = -1
6 - 5 = 1
8 - 5 = 3
③ 편차의 제곱:
(-3)² = 9, (-1)² = 1, 1² = 1, 3² = 9
④ 편차 제곱의 합: 9 + 1 + 1 + 9 = 20
⑤ 분산 = 편차 제곱의 합 ÷ 자료의 개수 = 20 ÷ 4 = 5
참고: 표준편차 = √분산 = √5.

📖 풀이:
1단계: 16의 양의 제곱근은 √16=4이므로 A=4.
2단계: 49의 음의 제곱근은 -√49=-7이므로 B=-7.
3단계: A+B=4+(-7)=-3.

📖 풀이:
1단계: 72를 소인수분해하면 72=2³×3²=36×2.
2단계: √72=√(36×2)=√36×√2=6√2.
3단계: a=6, b=2이므로 a+b=6+2=8.

📖 풀이:
1단계: 합차공식으로 (x+4)(x-4)=x²-16.
2단계: 전개하면 (x-1)(x+3)=x²+2x-3.
3단계: 두 식을 빼면 (x²-16)-(x²+2x-3)=x²-16-x²-2x+3=-2x-13.

📖 풀이:
1단계: 곱이 -6이고 합이 5인 두 수를 찾으면 6과 -1.
2단계: 인수분해하면 (x+6)(x-1)=0.
3단계: x+6=0 또는 x-1=0이므로 x=-6 또는 x=1.

📖 풀이:
1단계: 48을 소인수분해하면 48=2⁴×3.
2단계: 48a=2⁴×3×a가 제곱수가 되려면 3×a가 제곱수여야 함.
3단계: 3×a가 제곱수가 되는 가장 작은 자연수는 a=3.
4단계: 확인: 48×3=144=12², √144=12 (자연수). 따라서 a=3.

📖 풀이:
1단계: y=a(x-p)²+q 꼴에서 꼭짓점은 (p, q)이고 대칭축은 x=p.
2단계: y=-(x+3)²+4를 y=-(x-(-3))²+4로 보면 p=-3, q=4.
3단계: 따라서 꼭짓점은 (-3, 4)이고 대칭축은 x=-3.
4단계: x² 계수가 -1로 음수이므로 그래프는 위로 볼록하여 y=4가 최댓값이다.

📖 풀이:
1단계: 정사각형의 대각선 길이는 피타고라스 정리로 AC=√(1²+1²)=√2.
2단계: 삼각형 ABC는 ∠B=90°인 직각삼각형이고 ∠BAC=45°.
3단계: sin 45°는 각 A의 대변 BC를 빗변 AC로 나눈 값.
4단계: sin 45° = BC/AC = 1/√2 = √2/2.

📖 풀이:
1단계: 한 원에서 원주각의 크기는 그 원주각이 서는 호의 길이에 정비례한다.
2단계: (호 AB의 원주각):(호 CD의 원주각) = (호 AB의 길이):(호 CD의 길이).
3단계: 30°:60° = 4:x, 즉 1:2 = 4:x.
4단계: x = 4×2 = 8. 따라서 호 CD의 길이는 8cm.