📝 중3 수학 일반

📖 풀이:
직각삼각형에서 각 A 를 기준으로
- 대변(각 A 의 맞은편): BC = 3
- 인접변(각 A 옆에 붙은 변): AC = 4
- 빗변: AB
BC = 3, AC = 4 이므로 피타고라스 정리로 AB = √(3² + 4²) = √25 = 5.
tan A = (대변)/(인접변) = BC / AC = 3/4.
참고: sin A = 3/5, cos A = 4/5.

📖 풀이:
‘반원에 대한 원주각은 직각이다’ 라는 성질을 이용한다.
이유: AB 가 지름이면 호 AB 에 대한 중심각은 180° 이고, 원주각은 중심각의 절반이므로 180° / 2 = 90°.
따라서 ∠ACB = 90° 이며, 삼각형 ACB 는 항상 직각삼각형이 된다.

📖 풀이:
원에서 같은 호에 대한 원주각은 모두 크기가 같다.
호 BC 에 대한 원주각 ∠BAC 와 ∠BDC 는 같은 호를 바라보고 있으므로
∠BDC = ∠BAC = 35°
추가로 호 BC 에 대한 중심각은 원주각의 2배인 70° 가 된다.

📖 풀이:
최빈값은 자료에서 가장 자주 나온 값이다. 각 값의 빈도를 세어 본다.
- 3: 1번
- 5: 3번 (가장 많음)
- 7: 2번
- 8: 1번
- 9: 1번
따라서 최빈값은 5 이다.
참고: 평균 = (3+5+7+5+8+5+9+7)/8 = 49/8 ≈ 6.1, 중앙값은 자료를 작은 수부터 정렬(3, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 9)한 뒤 가운데 두 값인 4번째 5와 5번째 7의 평균 (5+7)/2 = 6 이다. 이처럼 세 대푯값(최빈값 5, 중앙값 6, 평균 ≈ 6.1)이 모두 다를 수 있음을 확인할 수 있다.

📖 풀이:
산점도에서 두 변량의 관계는 점들의 분포 모양으로 판별한다.
- 한 변량이 커질수록 다른 변량도 커지는 경향: 양의 상관관계 (오른쪽 위로 향하는 띠)
- 한 변량이 커질수록 다른 변량이 작아지는 경향: 음의 상관관계 (오른쪽 아래로 향하는 띠)
- 일정한 경향 없이 흩어져 있음: 상관관계 없음
문제에서 ‘키가 클수록 몸무게가 증가’ 하는 경향이므로 ‘양의 상관관계’ 이다.
④ 완전한 함수관계는 점들이 직선 위에 모두 놓일 때를 말하므로 오답.

📖 풀이:
1단계: 근호의 나눗셈 성질 $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{a/b}$ 를 쓴다. 2단계: $\sqrt{48} \div \sqrt{3} = \sqrt{48/3} = \sqrt{16}$. 3단계: $\sqrt{16}=4$. 따라서 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: 합차의 꼴 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ 을 적용한다. 2단계: $A=2x$, $B=3$ 이므로 $A^2=(2x)^2=4x^2$, $B^2=9$. 3단계: 따라서 $(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$.

📖 풀이:
1단계: 양변에 제곱근을 취하면 $x+1=\pm\sqrt{16}=\pm 4$. 2단계: $x+1=4$ 일 때 $x=3$. 3단계: $x+1=-4$ 일 때 $x=-5$. 따라서 해는 $x=3$ 또는 $x=-5$.

📖 풀이:
1단계: 서로 다른 n개를 일렬로 배열하는 방법 수는 $n!$ 이다. 2단계: 첫 번째 자리 4가지, 두 번째 자리 3가지, 세 번째 자리 2가지, 네 번째 자리 1가지. 3단계: $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$. 따라서 정답은 ③.

📖 풀이:
1단계: 양수끼리는 제곱해서 크기를 비교한다. 2단계: $3^2=9$, $(\sqrt{10})^2=10$, $(2\sqrt{2})^2=4 \times 2=8$. 3단계: $8 < 9 < 10$ 이므로 $2\sqrt{2} < 3 < \sqrt{10}$. 따라서 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: $\sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{2 \times 6} = \sqrt{12}$. 2단계: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$. 3단계: $2\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2-1)\sqrt{3} = \sqrt{3}$. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 직각삼각형에서 코사인의 정의는 $\cos A = \frac{\text{밑변(∠A와 이웃한 변)}}{\text{빗변}}$. 2단계: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$ 이고 빗변 $AB=10$. 3단계: $\frac{AC}{10} = \frac{4}{5}$ 이므로 $AC = 10 \times \frac{4}{5} = 8$.

📖 풀이:
1단계: 원에 내접하는 사각형의 마주보는 두 내각의 합은 항상 $180°$ 이다. 2단계: ∠A 와 ∠C 는 마주보므로 $\angle A + \angle C = 180°$. 3단계: $\angle C = 180° - 70° = 110°$. 따라서 정답은 ③.

📖 풀이:
1단계: 첫째 항의 분모에 켤레인 $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ 을 곱해 유리화한다. $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$. 2단계: 둘째 항도 같은 방식으로 $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$ 로 바꾼다. 3단계: 두 항을 더하면 $\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 전체 9명 중 2명을 뽑는 경우의 수는 $_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$. 2단계: 남학생 5명 중 1명 뽑는 방법 $_5C_1=5$, 여학생 4명 중 1명 뽑는 방법 $_4C_1=4$. 곱의 법칙으로 $5 \times 4 = 20$. 3단계: 확률 $=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$. 따라서 정답은 ③.

📖 풀이:
1단계: 평균을 구한다. $\frac{3+5+7+5+5}{5}=\frac{25}{5}=5$. 2단계: 각 자료의 편차(자료-평균)를 구하면 $-2, 0, 2, 0, 0$. 편차의 제곱은 $4, 0, 4, 0, 0$. 3단계: 분산은 편차 제곱의 평균이므로 $\frac{4+0+4+0+0}{5}=\frac{8}{5}=1.6$. 따라서 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: 49의 음의 제곱근은 -√49 = -7 이다. (제곱해서 49가 되는 수 중 음수)
2단계: 16의 양의 제곱근은 √16 = 4 이다.
3단계: 두 값을 더하면 (-7) + 4 = -3 이다.

📖 풀이:
1단계: 분배법칙을 적용한다. √3·√12 + √3·√27.
2단계: √a·√b = √(ab) 이므로 √3·√12 = √36 = 6 이다.
3단계: 마찬가지로 √3·√27 = √81 = 9 이다.
4단계: 두 값을 더하면 6 + 9 = 15 이다.

📖 풀이:
1단계: FOIL로 전개한다. (2x)(2x) + (2x)(5) + (-3)(2x) + (-3)(5).
2단계: 각 항을 계산하면 4x² + 10x - 6x - 15 이다.
3단계: 동류항 10x와 -6x를 모으면 4x 이다.
4단계: 따라서 4x² + 4x - 15 이다.

📖 풀이:
1단계: '순서 없이 고르는' 것이므로 조합을 사용한다. C(5,2).
2단계: C(5,2) = (5·4) / (2·1) = 20/2 = 10 이다.
3단계: 만약 순서까지 고려한 순열이라면 5·4 = 20이 되지만, 여기서는 두 권을 구분하지 않으므로 2!로 나눠 10이 된다.

📖 풀이:
1단계: 계수는 a=2, b=-3, c=-1 이다.
2단계: 판별식 D = b² - 4ac = (-3)² - 4·2·(-1) = 9 + 8 = 17.
3단계: 근의 공식 x = (-b ± √D)/(2a) 에 대입하면 x = (3 ± √17)/4.
4단계: 판별식이 양수이므로 서로 다른 두 실근(무리수)이 나온다.

📖 풀이:
1단계: 꼭짓점형 y = a(x - p)² + q 에서 꼭짓점은 (p, q) 이다.
2단계: y = -(x+1)² + 4 = -(x - (-1))² + 4 이므로 p = -1, q = 4.
3단계: 따라서 꼭짓점 좌표는 (-1, 4).
4단계: x²의 계수 a = -1 < 0 이므로 위로 볼록, 꼭짓점의 y좌표가 최댓값이 된다. 최댓값 = 4.

📖 풀이:
1단계: 각 A에서 밑변 AC는 이웃변, 빗변은 AB 이다.
2단계: cos A = 이웃변/빗변 = AC/AB 이므로 AC = AB·cos A.
3단계: cos 60° = 1/2 을 대입하면 AC = 8 · (1/2) = 4.
4단계: 참고로 BC = AB·sin 60° = 8·(√3/2) = 4√3 이다.

📖 풀이:
1단계: 원의 접선은 접점에서 반지름과 수직이다. 즉 ∠OTP = 90°.
2단계: 따라서 삼각형 OTP는 직각삼각형이고, OP가 빗변이다.
3단계: 피타고라스 정리로 PT² = OP² - OT² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64.
4단계: 따라서 PT = √64 = 8.

📖 풀이:
1단계: 평균 = (2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 5 = 20/5 = 4.
2단계: 각 값의 편차(값 - 평균): -2, -1, 0, 1, 2.
3단계: 편차의 제곱: 4, 1, 0, 1, 4 의 합은 10.
4단계: 분산 = 편차제곱의 합 / 자료 수 = 10 / 5 = 2.
5단계: 표준편차 = √분산 = √2.