📝 중3 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 접선은 접점에서 반지름과 수직이므로 ∠OTP = 90°. 2단계: 직각삼각형 OTP에서 피타고라스 정리 PT² + OT² = OP². 3단계: PT² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144. 4단계: PT = √144 = 12. 따라서 정답은 ③.

📖 풀이:
1단계: 각 항을 √3 꼴로 정리. √75 = √(25·3) = 5√3. 2단계: √48 = √(16·3) = 4√3. 3단계: 3√12 = 3·√(4·3) = 3·2√3 = 6√3. 4단계: 동류근호끼리 계수를 계산. 5√3 + 4√3 - 6√3 = (5 + 4 - 6)√3 = 3√3.

📖 풀이:
1단계: 근호가 있는 항을 한쪽으로 모은다. x - 2 = √5. 2단계: 양변을 제곱. (x - 2)² = 5, 즉 x² - 4x + 4 = 5. 3단계: 이항하여 x² - 4x = 1. 4단계: 구하는 식에 대입. x² - 4x - 1 = 1 - 1 = 0. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: y = x² - 6x + 5를 (x - p)² + q 꼴로 변형한다. 2단계: x² - 6x = (x² - 6x + 9) - 9 = (x - 3)² - 9. 3단계: y = (x - 3)² - 9 + 5 = (x - 3)² - 4. 4단계: 꼭짓점은 (p, q) = (3, -4). 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 서로 다른 두 실근 조건은 판별식 D > 0. 2단계: D = b² - 4ac. a = 1, b = -4, c = k를 대입. D = (-4)² - 4·1·k = 16 - 4k. 3단계: 16 - 4k > 0을 풀면 -4k > -16, 즉 k < 4. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
각 수를 유리수/무리수로 분류합니다.
1) $\sqrt{16}=4$ → 유리수
2) $\sqrt{3}$ → 소수로 표현 시 순환하지 않으므로 무리수 ✓
3) $0.333\cdots=\frac{1}{3}$ → 순환소수이므로 유리수
4) $\pi=3.14159\cdots$ → 무리수 ✓
5) $\sqrt{5}+2$ → $\sqrt{5}$가 무리수이므로 전체도 무리수 ✓
6) $\frac{22}{7}$ → 분수 꼴, 유리수
따라서 무리수는 $\sqrt{3},\ \pi,\ \sqrt{5}+2$ 총 3개입니다.

📖 풀이:
근호의 곱셈은 근호 안의 수끼리 곱합니다.
$\sqrt{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{8\times2}=\sqrt{16}$
$16=4^2$ 이므로 $\sqrt{16}=4$
따라서 값은 4입니다.

📖 풀이:
두 항의 차 꼴로 정리하여 공식을 적용합니다.
$4x^2=(2x)^2,\ 25=5^2$ 이므로
$4x^2-25=(2x)^2-5^2$
공식 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ 를 적용하면
$(2x)^2-5^2=(2x+5)(2x-5)$
따라서 정답은 ①번입니다.

📖 풀이:
인수분해로 두 근을 먼저 구합니다.
합이 5, 곱이 6인 두 수는 2와 3.
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$
$x-2=0$ 또는 $x-3=0$
$x=2$ 또는 $x=3$
두 근의 차 = $|3-2|=1$
따라서 정답은 ①번입니다.

📖 풀이:
x축과 만나는 점은 y=0인 x값이므로 방정식을 풉니다.
$-x^2+4x-3=0$
양변에 -1을 곱하면 $x^2-4x+3=0$
$(x-1)(x-3)=0$
$x=1$ 또는 $x=3$
두 교점은 $(1,0),\ (3,0)$
거리 = $|3-1|=2$
따라서 정답은 ②번입니다.

📖 풀이:
사다리를 빗변, 벽의 높이를 대변으로 보는 직각삼각형입니다.
사다리와 지면의 각이 60°이므로, 그 대변인 '높이'와 빗변 사이에는
$\sin 60°=\frac{\text{높이}}{\text{빗변}}=\frac{h}{12}$
식을 정리하면 $h=12\times\sin 60°$
$h=12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ (m)
따라서 벽에 닿은 높이는 $6\sqrt{3}$m 입니다.

📖 풀이:
원 외부의 한 점에서 그은 두 접선은 길이가 같다는 성질을 이용합니다.
이 성질의 이유:
1) 직각삼각형 OAP와 OBP를 생각합니다.
2) $\overline{OA}=\overline{OB}$ (둘 다 반지름)
3) $\overline{OP}$는 공통
4) $\angle OAP=\angle OBP=90°$ (접선은 접점에서 반지름에 수직)
따라서 두 직각삼각형은 합동(RHS)이므로 $\overline{PA}=\overline{PB}$
$\overline{PA}=10$cm 이므로 $\overline{PB}=10$cm 입니다.

📖 풀이:
중앙값은 자료를 크기 순으로 정렬했을 때 한가운데 위치한 값입니다.
1) 정렬: 3, 5, 7, 8, 9, 11
2) 자료의 개수가 6개(짝수)이므로 3번째와 4번째 값의 평균이 중앙값.
3) 3번째 값 = 7, 4번째 값 = 8
4) 중앙값 = $\frac{7+8}{2}=7.5$
따라서 정답은 ③번입니다.

📖 풀이:
순서를 구별하지 않고 뽑는 경우이므로 조합을 이용합니다.
5개 중에서 2개를 뽑는 조합의 수:
${}_5 C_2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=\frac{20}{2}=10$

확인(순서까지 세면): ${}_5 P_2=5\times 4=20$가지.
하지만 (사과, 배)와 (배, 사과)는 같은 조합이므로 2로 나누어 10가지.
따라서 정답은 ②번입니다.

📖 풀이:
두 수를 미지수로 두고 식을 세웁니다.
1) 연속한 두 자연수를 $n,\ n+1$로 놓음 ($n$은 자연수).
2) 제곱의 합 조건:
$n^2+(n+1)^2=85$
3) 전개: $n^2+n^2+2n+1=85$
$2n^2+2n+1=85$
$2n^2+2n-84=0$
$n^2+n-42=0$
4) 인수분해: 곱이 -42, 합이 1인 두 수는 7과 -6.
$(n-6)(n+7)=0$
$n=6$ 또는 $n=-7$
5) 자연수 조건에서 $n=6$.
6) 두 수는 6, 7이고 큰 수는 7.
확인: $6^2+7^2=36+49=85$ ✓
따라서 정답은 ②번입니다.

📖 풀이:
계수가 음수이므로 위로 볼록, 최댓값이 존재합니다. 식을 $y=a(x-p)^2+q$ 꼴로 바꿔 최댓값을 찾습니다.
1) $y=-2x^2+8x-5$
2) x 항의 계수 -2로 묶기:
$y=-2(x^2-4x)-5$
3) 괄호 안에서 $x$ 계수의 절반 $-2$의 제곱 $4$를 더하고 빼기:
$y=-2(x^2-4x+4-4)-5$
$=-2\{(x-2)^2-4\}-5$
4) 괄호 풀기:
$=-2(x-2)^2+8-5$
$=-2(x-2)^2+3$
5) $(x-2)^2\ge 0$ 이고 앞에 -2가 곱해져 있으므로 $-2(x-2)^2\le 0$.
6) 따라서 $y\le 3$, 등호는 $x=2$일 때 성립.
최댓값은 3입니다.

📖 풀이:
분산은 (편차)$^2$의 평균입니다.
1) 평균 구하기:
$\bar{x}=\frac{4+6+8+10+12}{5}=\frac{40}{5}=8$
2) 각 변량의 편차 = 변량 - 평균:
$4-8=-4,\ 6-8=-2,\ 8-8=0,\ 10-8=2,\ 12-8=4$
3) 편차의 제곱:
$(-4)^2=16,\ (-2)^2=4,\ 0^2=0,\ 2^2=4,\ 4^2=16$
4) 편차제곱의 합:
$16+4+0+4+16=40$
5) 분산 = 편차제곱의 합 $\div$ 자료의 개수:
$\frac{40}{5}=8$
따라서 분산은 8입니다.

📖 풀이:
'적어도 한 개'의 반대는 '하나도 없는' 경우입니다. 여사건을 이용하면 빠릅니다.
1) 전체 경우의 수: 동전 1개마다 앞/뒤 2가지이므로 $2\times 2\times 2=8$가지.
2) 여사건 = '앞면이 하나도 없는 경우' = '모두 뒷면'.
- 모두 뒷면: (뒤, 뒤, 뒤) 1가지.
3) 여사건의 확률:
$P(\text{모두 뒷면})=\frac{1}{8}$
4) 구하는 확률:
$P(\text{적어도 한 개 앞면})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
따라서 정답은 ④번입니다.

📖 풀이:
근호의 곱셈 법칙 √a × √b = √(ab) 를 이용한다.
방법1: √12 × √3 = √(12×3) = √36 = 6
방법2: √12 = 2√3 이므로 2√3 × √3 = 2 × 3 = 6
두 방법 모두 답은 6 이다.

📖 풀이:
분모에 √2가 있으므로 분자와 분모에 √2를 곱해 분모를 유리수로 만든다.
$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
분모가 √2 × √2 = 2 로 유리수가 되었다.

📖 풀이:
완전제곱 곱셈공식 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 을 적용한다.
a = x, b = 3 이므로
$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
중간항의 계수 2ab = 6x 를 빠뜨리지 않도록 주의한다.

📖 풀이:
각 항에서 공통으로 들어 있는 인수를 최대한 묶어낸다.
계수의 공통인수: 3과 6의 최대공약수는 3
문자의 공통인수: $x^2y$ 와 $xy^2$ 에서 공통인 것은 xy
따라서 공통인수는 3xy 이다.
$3x^2y - 6xy^2 = 3xy(x - 2y)$
③, ④는 공통인수를 끝까지 뽑지 않은 미완성 형태라 정답이 아니다.

📖 풀이:
완전제곱식 판별: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ 형태인지 확인한다.
$x^2 - 8x + 16$ 에서
- 첫째 항 $x^2 = x \cdot x$
- 셋째 항 $16 = 4^2$
- 중간항 $-8x = -2 \cdot x \cdot 4$ (부호 음수)
세 조건을 모두 만족하므로 $(x-4)^2$ 이다.
③ $(x-4)(x+4) = x^2 - 16$ 으로 다름, ④ $(x-8)(x+2) = x^2 - 6x - 16$ 으로 다름.

📖 풀이:
근의 공식 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 에 a=1, b=-4, c=1 을 대입한다.
판별식: $b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
분자와 분모를 2로 약분하는 과정이 핵심이다.

📖 풀이:
그래프가 x축과 만나는 점은 y=0 인 점, 즉 이차방정식의 해이다.
$x^2 - 2x - 3 = 0$
인수분해: 곱이 -3, 합이 -2 인 두 수는 -3 과 1
$(x-3)(x+1) = 0$
따라서 $x = 3$ 또는 $x = -1$
x축과 만나는 두 점은 (-1, 0) 과 (3, 0) 이다.