📝 중3 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 접선과 현이 이루는 각에 대한 정리(접현각 정리)를 떠올린다.
원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는, 그 현에 대한 원주각(접선 반대쪽 호에 있는)의 크기와 같다.
2단계: 주어진 각 ∠TAB = 35°에 해당하는 원주각이 ∠APB이다.
3단계: 따라서 ∠APB = ∠TAB = 35°

📖 풀이:
1단계: '적어도 한 개는 앞면'의 여사건은 '모두 뒷면'이다.
2단계: 전체 경우의 수 = 2 × 2 × 2 = 8
3단계: 모두 뒷면이 나오는 경우 = 1가지(뒤,뒤,뒤)
따라서 P(모두 뒷면) = 1/8
4단계: 여사건 관계식: P(적어도 한 개 앞면) = 1 - P(모두 뒷면)
= 1 - 1/8 = 7/8

📖 풀이:
1단계: 변량을 일차식으로 변환할 때 평균과 분산의 변화를 기억한다.
각 변량 xᵢ를 axᵢ + b로 바꾸면:
- 새 평균 = a × (원래 평균) + b
- 새 분산 = a² × (원래 분산)
(상수 b는 모든 값을 같은 양만큼 평행이동할 뿐 퍼진 정도는 바꾸지 않으므로 분산에 영향을 주지 않는다.)
2단계: 여기서 a = 2, b = 1
3단계: 새 분산 = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

📖 풀이:
제곱근의 정의를 단계별로 확인합니다.
1단계: 어떤 수 x를 제곱하여 a가 될 때, x를 a의 제곱근이라 합니다. 즉 x²=a.
2단계: ① 3²=9, (-3)²=9이므로 9의 제곱근은 ±3 (옳음).
3단계: ② √16은 16의 양의 제곱근이므로 √16=4 (옳음).
4단계: ③ 0²=0이고 다른 수의 제곱은 0이 될 수 없으므로 0의 제곱근은 0뿐 (옳음).
5단계: ④ 음수의 제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않습니다. 어떤 실수를 제곱해도 음수가 나오지 않기 때문입니다. 따라서 -4의 제곱근은 없으므로 ④가 옳지 않습니다.

📖 풀이:
각 근호를 a√b 꼴로 바꾸어 동류항끼리 계산합니다.
1단계: √50 = √(25×2) = 5√2
2단계: √18 = √(9×2) = 3√2
3단계: √8 = √(4×2) = 2√2
4단계: 식에 대입하면 5√2 - 3√2 + 2√2
5단계: 같은 √2의 계수끼리 계산: (5 - 3 + 2)√2 = 4√2

📖 풀이:
평균은 자료의 총합을 자료의 개수로 나눈 값입니다.
1단계: 자료의 총합을 구합니다. 8+10+12+14+16
2단계: 8+10 = 18, 18+12 = 30, 30+14 = 44, 44+16 = 60
3단계: 자료의 개수는 5개입니다.
4단계: 평균 = 60 ÷ 5 = 12
5단계: 참고로 이 자료는 등차수열(공차 2)이므로 가운데 값인 12가 평균과 같습니다.

📖 풀이:
분모를 유리화하고 근호를 간단히 한 뒤 동류항끼리 계산합니다.
1단계: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$
2단계: √27 = √(9×3) = 3√3
3단계: $\frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
4단계: 식에 대입: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$
5단계: 통분: $\frac{6\sqrt{3}}{3} + \frac{9\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

📖 풀이:
근과 계수의 관계를 이용합니다.
1단계: 이차방정식 ax²+bx+c=0의 두 근을 α, β라 하면 α+β = -b/a, αβ = c/a 입니다.
2단계: 주어진 식 2x²-5x+1=0에서 a=2, b=-5, c=1
3단계: 두 근의 합: α+β = -(-5)/2 = 5/2
4단계: 두 근의 곱: αβ = 1/2
5단계: 따라서 두 근의 합과 곱은 차례로 5/2, 1/2 입니다. 직접 풀지 않고도 합과 곱을 알 수 있다는 점이 핵심!

📖 풀이:
표준형 y = a(x-p)² + q의 꼭짓점은 (p, q), 대칭축은 x=p입니다.
1단계: 주어진 식 y = -2(x+1)² + 5를 표준형과 비교합니다.
2단계: x+1 = x-(-1) 이므로 p = -1
3단계: q = 5
4단계: 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, 5), 대칭축은 직선 x = -1
5단계: a = -2 < 0 이므로 그래프는 위로 볼록하며, 꼭짓점 (-1, 5)에서 최댓값 5를 가집니다.

📖 풀이:
먼저 피타고라스 정리로 나머지 변을 구한 뒤 삼각비 정의를 적용합니다.
1단계: 피타고라스 정리에서 AC² + BC² = AB² → AC² + 6² = 10²
2단계: AC² = 100 - 36 = 64, AC = 8
3단계: 각 A에 대하여 빗변은 AB=10, 높이(대변)는 BC=6, 밑변(인접변)은 AC=8
4단계: sinA = (대변)/(빗변) = 6/10
5단계: cosA = (인접변)/(빗변) = 8/10
6단계: sinA + cosA = 6/10 + 8/10 = 14/10

📖 풀이:
한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 2배입니다.
1단계: 원주각 정리: 한 호에 대하여 중심각 = 2 × 원주각
2단계: 주어진 원주각 ∠APB = 35°
3단계: 중심각 ∠AOB = 2 × 35° = 70°
4단계: 따라서 중심각의 크기는 70°입니다.
5단계: 같은 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다는 성질도 함께 기억하세요.

📖 풀이:
두 사건이 동시에 일어날 수 없는 배반사건이므로 확률의 덧셈정리를 적용합니다.
1단계: 전체 공의 개수: 3 + 4 + 2 = 9개
2단계: 빨간 공이 나올 확률: P(빨강) = 3/9
3단계: 노란 공이 나올 확률: P(노랑) = 2/9
4단계: 빨강과 노랑은 동시에 일어날 수 없는 배반사건이므로 덧셈정리 적용.
5단계: P(빨강 또는 노랑) = 3/9 + 2/9 = 5/9

📖 풀이:
치환을 이용한 인수분해 후 합차공식을 한 번 더 적용합니다.
1단계: x² = t로 치환하면 식은 t² - 13t + 36이 됩니다.
2단계: 곱이 36, 합이 -13인 두 수: -4, -9 (-4×-9=36, -4+-9=-13)
3단계: t² - 13t + 36 = (t-4)(t-9)
4단계: t를 다시 x²으로 되돌리면 (x²-4)(x²-9)
5단계: 각각 합차공식 a²-b²=(a-b)(a+b) 적용:
x²-4 = (x-2)(x+2), x²-9 = (x-3)(x+3)
6단계: 따라서 (x-2)(x+2)(x-3)(x+3). ①은 부분적 인수분해라 불완전합니다.

📖 풀이:
이차방정식이 중근을 가질 조건은 판별식 D = 0입니다.
1단계: 이차방정식 ax²+bx+c=0의 판별식 D = b² - 4ac
2단계: 주어진 식 x² - kx + 8 = 0에서 a=1, b=-k, c=8
3단계: D = (-k)² - 4×1×8 = k² - 32
4단계: 중근 조건 D = 0 이므로 k² - 32 = 0
5단계: k² = 32 → k = ±√32 = ±4√2
6단계: k가 양수이므로 k = 4√2

📖 풀이:
일반형을 표준형 y = a(x-p)² + q로 변형(완전제곱식)하여 최솟값을 구합니다.
1단계: y = x² - 6x + 11에서 x의 계수 -6의 절반을 제곱: (-3)² = 9
2단계: y = (x² - 6x + 9) - 9 + 11
3단계: y = (x - 3)² + 2
4단계: 표준형의 꼭짓점은 (3, 2), 대칭축은 x = 3
5단계: x²의 계수 a = 1 > 0 이므로 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점에서 최솟값을 가집니다.
6단계: 따라서 최솟값은 q = 2 (x = 3일 때)

📖 풀이:
두 직각삼각형에서 tan을 이용해 식을 세우고 연립합니다.
1단계: 등대 밑을 C, 꼭대기를 T, 등대 높이를 h, CA = x라 합니다.
2단계: 직각삼각형 TCA에서 tan60° = h/x → h = x·tan60° = x√3 ... ①
3단계: 직각삼각형 TCB에서 tan30° = h/(x+20) → h = (x+20)·tan30° = (x+20)·(√3/3) ... ②
4단계: ①과 ②에서 x√3 = (x+20)·(√3/3)
5단계: 양변에 3을 곱하면 3x√3 = (x+20)√3 → 3x = x + 20 → 2x = 20 → x = 10
6단계: h = x√3 = 10√3 (m)

📖 풀이:
1단계: 각 수를 간단히 한다. √9 = 3 (유리수), √0.04 = 0.2 (유리수), -√16 = -4 (유리수). 2단계: √2 = 1.41421... 로 순환하지 않는 무한소수이므로 무리수. 따라서 정답은 ③.

📖 풀이:
1단계: √a × √b = √(ab) 성질 적용. √6 × √8 = √48. 2단계: 48 = 16 × 3이므로 √48 = √(16×3) = √16 × √3 = 4√3. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 곱셈공식 (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab 적용. 2단계: a = -2, b = 5이므로 a+b = 3, ab = -10. 3단계: (x-2)(x+5) = x² + 3x - 10. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: y = ax² 꼴에서 a = 2 > 0이므로 그래프는 아래로 볼록. 2단계: 꼭짓점은 원점 (0, 0). 3단계: 대칭축은 y축. 4단계: |a|가 클수록 폭은 좁아지므로 y = x²보다 폭이 좁다. 따라서 옳은 설명은 ①.

📖 풀이:
1단계: 각 A 기준으로 대변은 BC = 5, 이웃변(밑변)은 AC = 12. 2단계: tan A = (대변)/(이웃변) = BC / AC = 5/12. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 근호 안을 완전제곱꼴로 변형한다. 7 + 4√3 = 4 + 2·2·√3 + 3 = 2² + 2·2·√3 + (√3)² = (2 + √3)². 2단계: 2 + √3 > 0이므로 √(2+√3)² = 2 + √3. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 분모의 켤레식 (√5 - √2)를 분모와 분자에 곱한다. 2단계: 분모는 합차공식으로 (√5+√2)(√5-√2) = 5 - 2 = 3. 3단계: $\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}-\sqrt{2}$. 따라서 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 공통인수 3x를 묶는다. 3x³ - 12x = 3x(x² - 4). 2단계: x² - 4 = x² - 2²이므로 합차공식 적용. x² - 2² = (x + 2)(x - 2). 3단계: 모두 합치면 3x³ - 12x = 3x(x + 2)(x - 2).

📖 풀이:
1단계: y = x²를 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y = (x - p)² + q. 2단계: p = 3, q = -2 대입. y = (x - 3)² + (-2) = (x - 3)² - 2. 따라서 정답은 ①.