📝 중3 수학 일반

📖 풀이:
제곱근의 정의: 어떤 수 a(a≥0)의 제곱근은 제곱하여 a가 되는 수로, 양의 제곱근과 음의 제곱근 두 개가 있다.
① 16의 제곱근은 ±4 (틀림, 두 개)
② √25는 양의 제곱근만을 의미하므로 5 (틀림)
③ 9의 제곱근은 ±3 (옳음)
④ (-7)² = 49이고, 49의 양의 제곱근은 7 (틀림)
따라서 정답은 ③.

📖 풀이:
각 근호를 $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ 꼴로 변형한다.
√18 = √(9·2) = 3√2
√50 = √(25·2) = 5√2
√8 = √(4·2) = 2√2
따라서 3√2 + 5√2 - 2√2 = (3+5-2)√2 = 6√2.
정답은 ②.

📖 풀이:
$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ 공식을 역으로 사용한다.
곱이 20, 합이 -9인 두 수를 찾는다.
곱이 20: (1,20), (2,10), (4,5), (-1,-20), (-2,-10), (-4,-5)
이 중 합이 -9인 쌍은 (-4, -5).
따라서 $x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5)$.
정답은 ②.

📖 풀이:
방법 1) 인수분해: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$이므로 x=2 또는 x=3. 두 근의 합은 2+3=5.
방법 2) 근과 계수의 관계: $ax^2+bx+c=0$의 두 근의 합은 $-\frac{b}{a}$.
여기서 a=1, b=-5이므로 두 근의 합은 $-\frac{-5}{1} = 5$.
정답은 ③.

📖 풀이:
분모에 무리수가 있으면 분모와 분자에 같은 무리수를 곱해 분모를 유리수로 만든다.
$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$
$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
따라서 $2\sqrt{3} - \sqrt{2}$.
정답은 ①.

📖 풀이:
분배법칙으로 전개한다.
√2·√6 = √12 = 2√3
√2·√8 = √16 = 4
√3·√12 = √36 = 6
√3·√27 = √81 = 9
따라서 √2(√6 - √8) = 2√3 - 4
√3(√12 - √27) = 6 - 9 = -3
전체 = (2√3 - 4) + (-3) = 2√3 - 7.
정답은 ①.

📖 풀이:
각 항을 곱셈공식으로 전개한다.
$(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2·2x·3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$
$(2x-1)(2x+5) = (2x)^2 + (-1+5)·2x + (-1)·5 = 4x^2 + 8x - 5$
따라서 $(4x^2 + 12x + 9) - (4x^2 + 8x - 5)$
$= 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 - 8x + 5$
$= 4x + 14$.
정답은 ①.

📖 풀이:
근의 공식: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$2x^2 - 4x - 3 = 0$에서 a=2, b=-4, c=-3.
판별식: $b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4·2·(-3) = 16 + 24 = 40$
$\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
$x = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{10}}{2·2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$.
정답은 ①.

📖 풀이:
이차함수 $y = a(x-p)^2 + q$ 꼴은 꼭짓점이 $(p, q)$이고 대칭축이 $x = p$이다.
$y = (x-3)^2 - 4$에서 p=3, q=-4.
따라서 꼭짓점은 (3, -4), 대칭축은 직선 x=3.
x절편을 구해보면 $(x-3)^2 = 4$, $x-3 = ±2$이므로 x=1 또는 x=5.
정답은 ①.

📖 풀이:
직각삼각형에서 피타고라스 정리로 AC를 구한다.
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
$AC^2 + 36 = 100$, $AC^2 = 64$, $AC = 8$.
각A 기준:
- 빗변 = AB = 10
- 대변(맞은편) = BC = 6
- 인접변 = AC = 8
sinA = 대변/빗변 = 6/10 = 3/5
cosA = 인접변/빗변 = 8/10 = 4/5
sinA × cosA = (3/5) × (4/5) = 12/25.
따라서 정답은 ①이다. (② 24/25는 sin2A=2sinAcosA, ④ 7/25는 cos2A의 값과 혼동하기 쉬운 오답이다.)

📖 풀이:
원주각의 성질: 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 1/2이다.
호AB(작은 호)에 대한 중심각 ∠AOB = 120°.
점 P가 큰 호(작은 호의 반대편 호) 위에 있을 때, P에서 본 원주각 ∠APB는 작은 호AB에 대한 원주각이다.
따라서 ∠APB = (1/2) × ∠AOB = (1/2) × 120° = 60°.
정답은 ①.
참고: 만약 P가 작은 호 위에 있다면 큰 호에 대한 원주각이 되어 (360°-120°)÷2 = 120°가 된다.

📖 풀이:
세로의 길이를 x cm라 하자(x>0).
그러면 가로의 길이는 (x+4) cm.
넓이 = 가로 × 세로 = x(x+4) = 96.
$x^2 + 4x - 96 = 0$
인수분해: 곱이 -96, 합이 4인 두 수 → 12와 -8.
$(x+12)(x-8) = 0$
x = -12 또는 x = 8.
길이는 양수이므로 x = 8.
따라서 세로의 길이는 8 cm.
(가로는 12 cm, 12 × 8 = 96 ✓)
정답은 ②.

📖 풀이:
항을 적절히 묶어 완전제곱식과 합차공식을 사용한다.
$x^2 - y^2 + 6x + 9$
$= (x^2 + 6x + 9) - y^2$ [x에 관한 항을 모음]
$= (x+3)^2 - y^2$ [완전제곱식]
$= \{(x+3) + y\}\{(x+3) - y\}$ [합차공식 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$]
$= (x+3+y)(x+3-y)$.
정답은 ①.

📖 풀이:
$y = -x^2 + 4x + 5$를 표준형 $y = a(x-p)^2 + q$로 변형한다(완전제곱식).
$y = -(x^2 - 4x) + 5$
$= -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$
$= -(x-2)^2 + 4 + 5$
$= -(x-2)^2 + 9$
a = -1 < 0 이므로 그래프는 위로 볼록.
위로 볼록한 포물선은 꼭짓점에서 최댓값을 가진다.
꼭짓점은 (2, 9)이므로, x=2일 때 최댓값 9.
정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 평균 = (자료값의 합) / (자료의 개수)
2단계: 자료값의 합 = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35
3단계: 자료의 개수 = 5
4단계: 평균 = 35 / 5 = 7

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 자리에 꽂을 수 있는 책: 4가지
2단계: 두 번째 자리에 꽂을 수 있는 책: 남은 3가지
3단계: 세 번째 자리: 남은 2가지, 네 번째 자리: 남은 1가지
4단계: 총 방법의 수 = 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24

📖 풀이:
1단계: 45°의 삼각비 기본값 확인
sin45° = √2/2, cos45° = √2/2
2단계: 두 값을 더한다
sin45° + cos45° = √2/2 + √2/2 = 2 × (√2/2) = √2

📖 풀이:
1단계: 접선은 접점에서 그 원의 반지름과 수직이다.
따라서 ∠OTP = 90° (직각삼각형 OTP)
2단계: 직각삼각형 OTP에서 빗변은 OP이다.
OP² = OT² + PT²
3단계: 값을 대입한다.
13² = 5² + PT²
169 = 25 + PT²
PT² = 144
4단계: PT = 12

📖 풀이:
1단계: 자료를 작은 값부터 정렬한다.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
2단계: 자료의 개수는 7개(홀수)이므로 중앙값은 (7+1)/2 = 4번째 값이다.
3단계: 정렬된 자료의 4번째 값은 5이다.
따라서 중앙값 = 5

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수 = 6 (1,2,3,4,5,6)
2단계: A = '2의 배수가 나오는 사건' = {2, 4, 6}, 3가지
3단계: B = '5의 배수가 나오는 사건' = {5}, 1가지
4단계: A와 B는 공통 원소가 없으므로 서로 배반사건이다.
5단계: 확률의 덧셈정리를 쓴다.
P(A 또는 B) = P(A) + P(B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

📖 풀이:
1단계: 건물, 지면, 시선으로 직각삼각형이 만들어진다.
건물의 높이 h, 밑변 = 20m, 관측각 = 60°
2단계: 탄젠트의 정의를 적용한다.
tan60° = (높이) / (밑변) = h / 20
3단계: tan60° = √3이므로
√3 = h / 20
4단계: 양변에 20을 곱한다.
h = 20√3 (m)

📖 풀이:
1단계: 원에 내접하는 사각형은 마주 보는 두 각(대각)의 합이 180°라는 성질이 있다.
2단계: ∠A와 ∠C는 대각이므로
∠A + ∠C = 180°
3단계: ∠A = 75°를 대입한다.
75° + ∠C = 180°
∠C = 180° - 75° = 105°
(주의: ∠B = 110°은 ∠D를 구할 때 쓰는 정보이며, ∠C와는 직접 관련 없다.)

📖 풀이:
1단계: 평균을 구한다.
평균 = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6
2단계: 각 값의 편차(값 - 평균)를 구한다.
-4, -2, 0, 2, 4
3단계: 편차를 제곱한 값의 합을 구한다.
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
4단계: 분산 = (편차 제곱의 합) / (자료 개수) = 40 / 5 = 8
5단계: 표준편차 = √분산 = √8 = 2√2

📖 풀이:
1단계: 순서가 상관없는 선택이므로 조합의 수를 구한다.
2단계: 6개 중 2개를 뽑는 조합은 6C2로 표기한다.
6C2 = (6×5) / (2×1)
3단계: 계산한다.
6C2 = 30 / 2 = 15

📖 풀이:
1단계: 곱셈을 전개한다 (합차꼴).
(1+cosA)(1-cosA) = 1² - cos²A = 1 - cos²A
2단계: 삼각비의 기본 관계식을 이용한다.
sin²A + cos²A = 1 이므로 1 - cos²A = sin²A
3단계: sinA = 3/5을 제곱해 대입한다.
sin²A = (3/5)² = 9/25
4단계: 따라서 (1+cosA)(1-cosA) = 9/25