📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 표면 위의 최단경로는 두 면을 한 평면으로 펼쳤을 때의 직선거리이다. 문제의 조건대로 윗면(가로면)과 앞면을 펼친다. 2단계: 윗면은 가로 8 × 세로 6, 앞면은 가로 8 × 높이 4이며, 두 면은 길이가 8인 모서리에서 만난다. 두 면을 펼치면 한 변이 8이고 다른 변이 6 + 4 = 10인 직사각형이 되고, A와 B는 그 대각선의 양 끝에 놓인다. 3단계: 최단거리 $= \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164}$ cm. 따라서 답은 ③ $\sqrt{164}$ cm이다. (보기 ① $\sqrt{116} = 2\sqrt{29}$는 표면 경로가 아니라 직육면체 내부의 공간대각선 $\sqrt{8^2 + 6^2 + 4^2} = \sqrt{116}$ 값이므로 함정 오답이다.)

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1단계: 두 점 사이의 거리 공식 $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ 사용. 2단계: $x$ 차이 = $4-(-2) = 6$, $y$ 차이 = $9-1 = 8$. 3단계: $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100}$. 4단계: $d = 10$.

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1단계: 5의 배수가 되려면 일의 자리가 0 또는 5이어야 한다. 주어진 숫자에 0이 없으므로 일의 자리는 반드시 5. 2단계: 일의 자리 5 고정. 백의 자리는 1, 2, 3, 4 중 하나(4가지). 3단계: 십의 자리는 백의 자리와 5를 제외한 3가지. 4단계: 따라서 4 × 3 = 12개.

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1단계: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. 기약분수로 약분했을 때 분모의 소인수가 2와 5만 남아야 유한소수가 된다.
2단계: 분모 84의 소인수 3과 7을 모두 약분하여 없애야 하므로 분자 $n$은 $3 \times 7 = 21$의 배수여야 한다. ($n$이 3 또는 7 중 하나만의 배수이면 약분 후 분모에 다른 소인수가 남아 순환소수가 된다.)
3단계: $1 \le n \le 83$ 범위에서 21의 배수는 $21, 42, 63$의 3개이다. 실제로 $\frac{21}{84}=\frac{1}{4}=0.25$, $\frac{42}{84}=\frac{1}{2}=0.5$, $\frac{63}{84}=\frac{3}{4}=0.75$로 모두 유한소수이므로 답은 3개이다. (정답 ①)

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1단계: 세제곱 공식 $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ 활용. $b=\frac{1}{a}$로 두면 $ab=1$.
2단계: $\left(a+\frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3 \cdot 1 \cdot \left(a+\frac{1}{a}\right)$
$\Rightarrow 4^3 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3 \times 4$
3단계: $64 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 12$이므로 $a^3 + \frac{1}{a^3} = 64 - 12 = 52$.

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1단계: 정가를 $x$원이라 하자. 20% 할인한 판매가는 $0.8x$원.
2단계: 이익 = 판매가 - 원가 = $0.8x - 10000$. 이 이익이 원가의 25% 이상이어야 하므로
$0.8x - 10000 \ge 10000 \times 0.25 = 2500$
3단계: $0.8x \ge 12500 \Rightarrow x \ge \frac{12500}{0.8} = 15625$. 따라서 정가는 최소 15625원 이상.

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1단계: 식① $x+y+z=12$, 식② $2x-y+z=7$, 식③ $x+2y-z=6$.
2단계: 식①에서 $z=12-x-y$. 식②에 대입하면 $2x-y+(12-x-y)=7 \Rightarrow x-2y=-5$ ... (A). 식③에 대입하면 $x+2y-(12-x-y)=6 \Rightarrow 2x+3y=18$ ... (B).
3단계: (A)에서 $x=2y-5$를 (B)에 대입하면 $2(2y-5)+3y=18 \Rightarrow 7y=28 \Rightarrow y=4$. 따라서 $x=2 \times 4-5=3$, $z=12-3-4=5$.
4단계: 검산하면 $3+4+5=12$, $2 \times 3-4+5=7$, $3+2 \times 4-5=6$으로 모두 성립한다. 그러므로 $xyz=3 \times 4 \times 5=60$. (정답 ③)

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1단계: 두 직선의 교점 구하기. $-x+6 = 2x-3 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x=3, y=3$. 교점 P(3, 3).
2단계: 두 직선의 x절편 구하기. $y=-x+6$의 x절편: $x=6$. $y=2x-3$의 x절편: $x=\frac{3}{2}$. 따라서 x축 위의 밑변은 $6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$.
3단계: 삼각형의 높이는 교점의 y좌표인 3. 따라서 넓이 = $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$. 따라서 답은 ① $\frac{27}{4}$.

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1단계: 평행사변형이므로 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$. 따라서 $\angle DAE = \angle AEB$ (엇각).
2단계: AE는 $\angle A$의 이등분선이므로 $\angle BAE = \angle DAE$. 따라서 $\angle BAE = \angle AEB$. 즉 △ABE에서 두 밑각이 같으므로 △ABE는 이등변삼각형이고 $\overline{BE} = \overline{AB} = 5\text{cm}$.
3단계: $\overline{EC} = \overline{BC} - \overline{BE} = 8 - 5 = 3\text{cm}$.

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1단계: 직육면체의 표면을 펼쳐서 평면에서의 직선 거리를 구해야 함. 펼치는 방법은 3가지.
방법1: 옆면+윗면 → 직사각형 가로 (4+2)=6, 세로 3 → 거리 $\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$.
방법2: 앞면+윗면 → 직사각형 가로 4, 세로 (3+2)=5 → 거리 $\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$.
방법3: 옆면+뒷면 → 직사각형 가로 (4+3)=7, 세로 2 → 거리 $\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$.
2단계: 세 경로 비교: $\sqrt{41} \approx 6.40$, $\sqrt{45} \approx 6.71$, $\sqrt{53} \approx 7.28$.
3단계: 따라서 최단 경로의 길이는 $\sqrt{41}$cm.

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1단계: D의 진술을 분석. D가 참이라면 'A와 B 모두 거짓'. A가 거짓이면 'B는 진실'인데, 이는 D가 'B는 거짓'이라 한 것과 모순. 따라서 D는 거짓말쟁이.
2단계: D가 거짓이면, 'A 또는 B 중 적어도 한 명은 진실'.
경우(i): A가 진실 → B는 거짓 → C는 진실(B가 'C는 거짓'이라 했지만 B가 거짓이므로) → D는 거짓(C가 'D는 거짓'이라 했고 C가 진실). 검증: A진실, B거짓, C진실, D거짓 → A,C 진실 = 2명. 모순 없음.
3단계: 경우(ii): A가 거짓 → B는 진실 → C는 거짓 → D는 진실. 그러나 1단계에서 D는 반드시 거짓이므로 모순. 따라서 경우(i)만 성립. 진실을 말한 사람은 A와 C, 총 2명.

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1단계: $0.\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$ (분자, 분모 9로 약분).
2단계: $0.\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ (분자, 분모 9로 약분).
3단계: 합 = $\frac{4}{11} + \frac{3}{11} = \frac{7}{11}$. 이 분수는 분모 11이 소수이므로 더 이상 약분 불가능, 기약분수.

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1단계: 닮은 두 입체의 부피비는 닮음비의 세제곱. 닮음비 P:Q = 2:3이므로 부피비 = $2^3 : 3^3 = 8 : 27$.
2단계: 원뿔 P의 부피가 24cm³이므로 비례식: $8 : 27 = 24 : V_Q$.
3단계: $V_Q = \frac{27 \times 24}{8} = \frac{648}{8} = 81$cm³. 따라서 원뿔 Q의 부피는 81cm³.

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1) 분모 55 = 5 × 11에 11이 들어 있으므로 17/55는 순환소수가 된다. 2) 직접 나눗셈을 하면 17 ÷ 55 = 0.3090909... 즉 첫 자리에 3이 오고, 그 다음부터 0과 9가 번갈아 나타난다. 3) 소수점 아래 1번째 자리는 3, 2번째부터는 짝수 자리에는 0, 홀수 자리에는 9가 반복된다. 4) 100번째 자리는 짝수이므로 답은 0.

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1) 곱셈공식 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$를 이용한다. 2) $a = (2026+2025)(2026-2025) = 4051 \times 1 = 4051$. 3) $b = (2025+2024)(2025-2024) = 4049 \times 1 = 4049$. 4) $c = (2024+2023)(2024-2023) = 4047 \times 1 = 4047$. 5) 따라서 $a + b + c = 4051 + 4049 + 4047 = 12147$.

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1) y의 가능한 값을 작은 자연수부터 차례로 고정하고, 각 경우의 x 범위를 구한다. 2) y=1: 2x ≤ 9이므로 x ≤ 4.5, x = 1,2,3,4. (4개) 3) y=2: 2x ≤ 6이므로 x ≤ 3, x = 1,2,3. (3개) 4) y=3: 2x ≤ 3이므로 x ≤ 1.5, x = 1. (1개) 5) y=4: 2x ≤ 0이므로 자연수 x 없음. 6) 총합 4 + 3 + 1 = 8개.

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1) A의 농도를 a %, B의 농도를 b %로 두고, 각 경우 녹아 있는 소금의 양으로 식을 세운다. 2) 첫 번째 조건: 0.01a × 200 + 0.01b × 300 = 0.07 × 500. 정리하면 2a + 3b = 35. 3) 두 번째 조건: 0.01a × 300 + 0.01b × 200 = 0.08 × 500. 정리하면 3a + 2b = 40. 4) 두 식을 연립한다. 3 × (3a+2b) - 2 × (2a+3b) = 9a + 6b - 4a - 6b = 5a = 3 × 40 - 2 × 35 = 50. 따라서 a = 10. 5) A의 농도는 10 %.

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1) 평행사변형 ABCD에서 변 AB와 변 DC는 평행하고 길이가 같다. 즉 점 A에서 B로 가는 변화량과 점 D에서 C로 가는 변화량이 같다. 2) A(1,2)에서 B(5,2)로의 변화량은 (4, 0)이므로 D에서 C로의 변화량도 (4, 0). 따라서 D = (7-4, 6-0) = (3, 6). 3) 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 교점은 두 대각선의 중점에서 만난다. 4) 대각선 AC의 중점 = ((1+7)/2, (2+6)/2) = (4, 4). 5) 검증: BD의 중점 = ((5+3)/2, (2+6)/2) = (4, 4)로 일치한다.

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1) 이등변삼각형 ABC에서 AB = AC이므로 두 밑각이 같다. ∠ABC = ∠ACB = (180° - 108°)/2 = 36°. 2) 점 D는 변 BC 위에 있고 AD = DC이므로 △ADC도 이등변삼각형. 두 변 DA, DC에 마주보는 두 각이 같다. 즉 ∠DAC = ∠DCA = ∠ACB = 36°. 3) 따라서 ∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 108° - 36° = 72°.

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1) AD : DB = 1 : 2이므로 AD : AB = 1 : 3. 같은 방식으로 AE : AC = 1 : 3. 2) △ADE와 △ABC에서 ∠A는 공통이고 두 변이 같은 비(1:3)에 있으므로 SAS 닮음. 닮음비는 1 : 3. 3) 닮음비가 1 : 3이면 넓이비는 1² : 3² = 1 : 9. 4) △ADE의 넓이가 4 cm²이므로 △ABC의 넓이는 9 × 4 = 36 cm². 5) 사다리꼴 DBCE의 넓이 = △ABC - △ADE = 36 - 4 = 32 cm².

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1) 입체 표면 위 두 점을 잇는 최단 경로는 그 두 점이 지나는 면들을 평면으로 펼친 뒤의 직선거리이다. 2) A에서 G로 가는 경로는 거치는 두 면의 조합에 따라 세 가지 경우가 있다. 3) 윗면(6×4)과 큰 옆면(6×3)을 펼친 경우: 직사각형 6×(4+3) = 6×7, 대각선 = $\sqrt{6^2 + 7^2} = \sqrt{85}$. 4) 윗면(6×4)과 작은 옆면(4×3)을 펼친 경우: 직사각형 (6+3)×4 = 9×4, 대각선 = $\sqrt{9^2 + 4^2} = \sqrt{97}$. 5) 두 옆면(6×3)과 (4×3)을 펼친 경우: 직사각형 (6+4)×3 = 10×3, 대각선 = $\sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{109}$. 6) 세 값을 비교하면 √85 < √97 < √109이므로 최단 경로는 √85 cm.

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1) 1부터 20까지의 수 중 합이 21이 되는 짝을 모두 나열한다: (1,20), (2,19), (3,18), (4,17), (5,16), (6,15), (7,14), (8,13), (9,12), (10,11). 모두 10쌍이고, 1부터 20까지의 모든 수가 정확히 한 쌍에 속한다. 2) 만약 각 쌍에서 한 개씩만 골라 뽑으면 최대 10개를 뽑아도 합이 21인 짝이 만들어지지 않는다. 따라서 10개로는 보장할 수 없다. 3) 11개를 뽑으면 비둘기 11마리를 비둘기집 10개에 넣는 것과 같으므로, 어느 한 쌍에서 두 수가 모두 뽑힐 수밖에 없다. 4) 따라서 합이 21인 두 수가 반드시 나타나도록 하려면 최소 11개를 뽑아야 한다.

📖 풀이:
1) 두 직선의 교점 P를 구한다. 2x + 4 = -x + 7에서 3x = 3, x = 1, y = 6. 따라서 P(1, 6). 2) 점 A는 직선 y = 2x + 4가 x축(y = 0)과 만나는 점이므로 0 = 2x + 4에서 x = -2. A(-2, 0). 3) 점 B는 직선 y = -x + 7이 x축과 만나는 점이므로 0 = -x + 7에서 x = 7. B(7, 0). 4) 두 점 A, B는 모두 x축 위에 있으므로 선분 AB의 길이는 7 - (-2) = 9. 이 변을 밑변으로 보면, 삼각형의 높이는 P의 y좌표 = 6. 5) 삼각형 PAB의 넓이 = (1/2) × 9 × 6 = 27.

📖 풀이:
1) 평행사변형 ABCD에서 변 AD와 변 BC는 평행하므로, 변 AD와 선분 EC도 평행하다. 2) 직선 DE와 AC가 점 P에서 만나며 두 평행선 AD, EC를 가로지른다. △PAD와 △PCE에서 ∠APD = ∠CPE(맞꼭지각), ∠PAD = ∠PCE(평행선의 엇각). 3) 두 쌍의 각이 같으므로 △PAD ∼ △PCE (AA 닮음). 4) 닮음비는 대응변의 비. 평행사변형이므로 AD = BC이고 BE : EC = 2 : 1에서 EC = (1/3)BC = (1/3)AD. 따라서 AD : EC = 3 : 1. 5) 닮음에서 대응변의 비는 모두 같으므로 DP : PE = AD : EC = 3 : 1.

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1) 양팔저울 한 번의 측정에서 얻을 수 있는 결과는 '왼쪽이 가벼움', '평형', '오른쪽이 가벼움'의 세 가지뿐이다. n번 측정해서 구별할 수 있는 경우의 수는 최대 3ⁿ이며, 9개를 구별하려면 3ⁿ ≥ 9, 즉 n ≥ 2가 필요하다. 2) 실제로 2번이면 가능한 전략을 구성할 수 있다. 9개를 3개씩 세 그룹 A, B, C로 나눈다. 3) 1차 측정: A와 B를 양팔저울에 올린다. A가 가벼우면 가짜는 A 안에, B가 가벼우면 가짜는 B 안에, 평형이면 가짜는 C 안에 있다. 어느 경우든 가짜를 포함하는 3개짜리 그룹이 결정된다. 4) 2차 측정: 그 3개에서 두 개를 골라 양팔저울에 올린다. 한쪽이 가벼우면 그 동전이 가짜, 평형이면 올리지 않은 한 개가 가짜다. 5) 따라서 최악의 경우에도 2번이면 가짜를 확실히 찾을 수 있고, 1번으로는 불가능하므로 답은 2번.