📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 12시 방향을 0°로 두면 3시 정각의 시침은 90°, 분침은 0°에 있다. 시침은 1분에 0.5°, 분침은 1분에 6° 움직인다. 2단계: $m$분 후 시침의 위치 = $90 + 0.5m$, 분침의 위치 = $6m$. 3시 ~ 4시 사이에는 분침이 시침보다 앞서 있고 결국 180° 차이가 나야 한다. 즉 $6m - (90 + 0.5m) = 180$. 3단계: $5.5m = 270$, $m = \frac{270}{5.5} = \frac{540}{11} = 49\frac{1}{11}$. 따라서 3시 $49\frac{1}{11}$분.

📖 풀이:
1단계: 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분하므로 OB = OD. 2단계: △AOB와 △AOD를 비교한다. AO는 두 삼각형의 공통변, OB = OD (1단계), ∠AOB = ∠AOD = 90° (가정 AC ⊥ BD). 두 변과 그 끼인각이 같으므로 SAS 합동. 3단계: 합동에 의해 AB = AD. 평행사변형이면서 인접한 두 변의 길이가 같으면 모든 변의 길이가 같으므로 마름모이다.

📖 풀이:
1단계: 1m × 1m 정사각형을 가로·세로 모두 이등분하여 0.5m × 0.5m 작은 정사각형 4개로 나눈다. 2단계: 5마리의 비둘기를 4개의 영역에 배치하면 비둘기집 원리(서랍의 원리)에 의해 적어도 한 영역에는 2마리 이상이 들어간다. 3단계: 한 변이 0.5m인 정사각형 내부 두 점 사이의 가장 먼 거리는 대각선의 길이 $\sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$m. 따라서 같은 작은 정사각형 안의 두 비둘기 사이 거리는 $\frac{\sqrt{2}}{2}$m 이하.

📖 풀이:
1단계: 첫 자리에 따라 분류하면 첫 자리가 1, 2, 3, 4, 5인 수가 각각 $4! = 24$개씩 있다. 1로 시작: 1번째 ~ 24번째, 2로 시작: 25번째 ~ 48번째, 3으로 시작: 49번째 ~ 72번째. 70번째는 3으로 시작하는 22번째 수. 2단계: 3 다음 자리에 따라 분류. 31__: $3! = 6$개 (49 ~ 54), 32__: 6개 (55 ~ 60), 34__: 6개 (61 ~ 66), 35__: 6개 (67 ~ 72). 70번째는 35__ 그룹의 4번째. 3단계: 35__의 나머지 자리에는 1, 2, 4가 들어간다. 작은 순서로 35124, 35142, 35214, 35241, 35412, 35421. 4번째는 35241.

📖 풀이:
1단계: 자르는 평면은 원뿔의 밑면과 평행하므로, 위쪽 작은 원뿔과 원래의 큰 원뿔은 닮음 관계이다. 닮음비는 높이의 비와 같다. 작은 원뿔 높이가 1, 큰 원뿔 전체 높이가 1+2=3이므로 닮음비 1:3. 2단계: 닮음비가 1:3인 두 입체의 부피비는 $1^3 : 3^3 = 1 : 27$. 작은 원뿔의 부피를 1, 큰 원뿔 전체 부피를 27이라고 두자. 3단계: 원뿔대의 부피 = 큰 원뿔 부피 - 작은 원뿔 부피 = 27 - 1 = 26. 따라서 작은 원뿔 : 원뿔대 = 1 : 26.

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1단계: $120 = 2^3 \times 3 \times 5$로 소인수분해한다. 2단계: 분수 $\frac{n}{120}$이 유한소수가 되려면 기약분수로 만들었을 때 분모의 소인수가 2와 5뿐이어야 한다. 즉 분모에 있는 3을 약분으로 없애야 하므로 분자 n이 3의 배수여야 한다. 3단계: 100 이하의 3의 배수는 3, 6, 9, ..., 99로 총 $\lfloor 100/3 \rfloor = 33$개이다.

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1단계: 첫 부등식 $2x - 3 < x + 1$을 정리하면 $x < 4$. 2단계: 둘째 부등식 $3x + a \geq 2x$를 정리하면 $x \geq -a$. 따라서 연립의 해는 $-a \leq x < 4$. 3단계: 자연수 해는 1, 2, 3 중에서 나오므로 정확히 1개이려면 $x = 3$만 들어가야 한다. 즉 $2 < -a \leq 3$이고, 이를 풀면 $-3 \leq a < -2$. 정수는 $a = -3$.

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1단계: A의 분속을 $a$ m/분, B의 분속을 $b$ m/분이라 하자 ($a > b$). 같은 방향으로 한 바퀴 앞서려면 A가 B보다 600m를 더 가야 하므로 $(a-b) \times 50 = 600$, 즉 $a - b = 12$. 2단계: 반대 방향으로 만나려면 두 사람이 합쳐 둘레 600m를 가야 하므로 $(a+b) \times 6 = 600$, 즉 $a + b = 100$. 3단계: 두 식을 더하면 $2a = 112$이므로 $a = 56$, $b = 100 - 56 = 44$.

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1단계: 직선 $y = 3x + 6$의 $x$절편은 $y=0$일 때 $x = -2$이므로 A(-2, 0), $y$절편은 B(0, 6). 선분 AB 위의 점 P를 $P(p,\, 3p + 6)$이라 두면 $-2 \leq p \leq 0$이다. 2단계: P는 2사분면(또는 좌표축 위)에 있으므로 C는 $C(p, 0)$, D는 $D(0,\, 3p+6)$. 사각형 OCPD의 가로변 길이는 $|OC| = -p$ (∵ $p \leq 0$), 세로변 길이는 $|OD| = 3p + 6$. 3단계: 정사각형이 되려면 두 변이 같아야 하므로 $-p = 3p + 6$, $-4p = 6$, $p = -\frac{3}{2}$. 따라서 $P\left(-\frac{3}{2},\, \frac{3}{2}\right)$.

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1단계: 피타고라스 정리에 의해 $\overline{AB} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$. 2단계: 직각삼각형의 외심(세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점)은 빗변의 중점에 있다. 그 이유는 빗변을 지름으로 하는 원 위의 점은 모두 빗변에 대해 직각을 이루기 때문이다(탈레스의 정리). 따라서 직각꼭짓점 C도 그 원 위에 있고, M은 외심이 된다. 3단계: 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름과 같으므로 $\overline{CM} = \overline{AM} = \overline{BM} = \frac{1}{2}\overline{AB} = 5$.

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1단계: AB와 DC를 위쪽으로 연장하면 한 점 V에서 만나 사다리꼴이 큰 삼각형의 일부가 된다. 이 삼각형 안에서 AD, EF, BC는 모두 밑변에 평행하므로 V를 정점으로 하는 닮은 세 작은(중간/큰) 삼각형이 만들어진다. 정점 V에서 평행 변까지의 거리는 평행 변의 길이에 비례한다. 2단계: 닮음비가 변의 길이 비와 같으므로 정점에서 잘려진 삼각형들의 넓이는 평행 변 길이의 제곱에 비례한다. 즉 (V로부터 EF까지의 삼각형 넓이) − (V로부터 AD까지의 삼각형 넓이) = $k(EF^2 - 36)$, (V부터 BC까지) − (V부터 EF까지) = $k(100 - EF^2)$ (k는 같은 비례상수). 3단계: 두 사다리꼴 넓이가 같으려면 $EF^2 - 36 = 100 - EF^2$, 즉 $2 EF^2 = 136$, $EF^2 = 68$, $\overline{EF} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.

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1단계: 곡면(여기서는 꺾인 표면) 위의 최단경로는 면을 평면으로 펼쳐 A와 G를 직선으로 이은 거리이다. 직육면체에서는 어느 두 면을 거치느냐에 따라 펼치는 방법이 세 가지 있다. 2단계: 세 펼침에서 직사각형의 가로·세로는 (두 모서리의 합, 나머지 한 모서리)이므로, 빗변은 다음과 같다. (i) (8+6, 4) → $\sqrt{14^2 + 4^2} = \sqrt{212}$. (ii) (6+4, 8) → $\sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{164}$. (iii) (8+4, 6) → $\sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180}$. 3단계: $\sqrt{164} < \sqrt{180} < \sqrt{212}$이므로 최단거리는 $\sqrt{164} = 2\sqrt{41}$ cm이다.

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1단계: 두 분수를 통분하면 $\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab}$. 2단계: 곱셈공식으로 $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 \times 3 = 25 - 6 = 19$. 3단계: 따라서 $\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{19}{3}$.

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1단계: 세 분수를 통분하면 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{ab + bc + ca}{abc}$. 2단계: 곱셈공식 $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$를 이용하면 $6^2 = 14 + 2(ab+bc+ca)$, 즉 $ab + bc + ca = \dfrac{36 - 14}{2} = 11$. 3단계: 따라서 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{11}{6}$.

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1단계: 1년은 12개월이므로 학생들을 태어난 달에 따라 12개의 그룹(=비둘기집)으로 나눈다. 2단계: 만약 모든 달의 학생 수가 8명 이하라면 전체 학생 수는 최대 $12 \times 8 = 96$명이지만 실제로는 100명이므로 모순이다. 따라서 어떤 달에는 반드시 9명 이상의 학생이 태어났다 ($\lceil 100/12 \rceil = 9$). 3단계: 한편 11개의 달에 9명씩, 1개 달에 1명을 배치하면 합 100명이 되고 어느 달도 9명을 초과하지 않는다. 따라서 '항상 보장'할 수 있는 N의 최댓값은 9이다.

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1단계: 피타고라스 정리에 의해 $\overline{AB} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$. 2단계: △ABC의 넓이를 두 가지 방법으로 표현한다. (i) 두 직각변의 곱의 절반: $\frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$. (ii) 빗변과 빗변에 내린 수선의 곱의 절반: $\frac{1}{2} \times 13 \times \overline{CH}$. 3단계: 두 표현이 같은 넓이를 나타내므로 $\frac{1}{2} \times 13 \times \overline{CH} = 30$, 즉 $\overline{CH} = \dfrac{60}{13}$.

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1단계: 유한소수가 되려면 기약분수의 분모가 2와 5만으로 이루어져야 한다.
2단계: 분자 $21 = 3 \times 7$이므로 분모 $2^3 \times 5 \times n$에서 2,5가 아닌 소인수는 분자의 3과 7로만 약분된다. $21 = 3^1 \times 7^1$이라 약분 가능한 3과 7은 각각 1개뿐이므로, $n$은 소인수가 2,5,3,7로만 이루어지되 3과 7의 지수가 각각 1 이하인 수, 즉 $n = 2^a \times 5^c \times k$ ($k \in \{1, 3, 7, 21\}$) 꼴이어야 한다.
3단계: 두 자리 수($10 \le n \le 99$)를 $k$별로 센다.
- $k=1$: 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80 (9개)
- $k=3$: 12, 15, 24, 30, 48, 60, 75, 96 (8개)
- $k=7$: 14, 28, 35, 56, 70 (5개)
- $k=21$: 21, 42, 84 (3개)
4단계: $9 + 8 + 5 + 3 = 25$개. (18=2·3², 27=3³처럼 3 또는 7이 2제곱 이상이면 약분되지 않아 제외된다.)
5단계: 따라서 정답은 ④ 25개.

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1단계: 분수 $\frac{m}{37}$ 의 순환마디 길이는 $10^k - 1$ 이 37의 배수가 되는 최소 $k$ 와 같다. 즉 $10^k \equiv 1 \pmod{37}$. 2단계: $10^1 = 10, 10^2 = 100 = 2 \times 37 + 26, 10^3 = 1000 = 27 \times 37 + 1$. 따라서 $10^3 \equiv 1 \pmod{37}$. 3단계: $k=3$ 이 최소. 실제로 $\frac{1}{37} = 0.\overline{027}$ 로 순환마디 길이가 3이다. 4단계: 모든 $m$ 에 대해 동일한 길이 3을 가진다.

📖 풀이:
1단계: 곱셈공식 $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ 를 이용. $a=x, b=\frac{1}{x}$ 대입. 2단계: $\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$. 3단계: $4^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \times 4$. 따라서 $64 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 12$. 4단계: $x^3 + \frac{1}{x^3} = 64 - 12 = 52$.

📖 풀이:
1단계: 정가를 $x$ 원이라 하자. 할인 후 판매가는 $0.8x$ 원. 2단계: 이익 = 판매가 - 원가 = $0.8x - 4000$. 이 값이 원가의 15% 이상이어야 한다. 즉 $0.8x - 4000 \ge 4000 \times 0.15 = 600$. 3단계: $0.8x \ge 4600$, 양변에 5/4를 곱하면 $x \ge 5750$. 4단계: 따라서 정가는 최소 5750원이어야 한다.

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1단계: 갑, 을, 병의 하루 일률을 각각 $a, b, c$라 하면 $a+b+c = \frac{1}{6}$, $a+b = \frac{1}{9}$, $a+c = \frac{1}{12}$이다.
2단계: 을의 일률은 $b = (a+b+c) - (a+c) = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2-1}{12} = \frac{1}{12}$이다.
3단계: 을이 혼자 하면 걸리는 날수는 일률의 역수이므로 $\frac{1}{b} = 12$일이다.
4단계: (참고) $c = (a+b+c)-(a+b) = \frac{1}{6}-\frac{1}{9} = \frac{1}{18}$(병=18일), $a = \frac{1}{9}-\frac{1}{12} = \frac{1}{36}$(갑=36일)로 검산하면 $a+c = \frac{1}{36}+\frac{1}{18} = \frac{1}{12}$ ✓.
5단계: 따라서 을이 혼자 하면 12일이 걸린다. 정답은 ① 12일.

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1단계: 두 직선의 교점 P를 구한다. $-x+6 = 2x$ → $3x = 6$ → $x = 2$, $y = 4$. 따라서 P(2, 4). 2단계: $y = -x+6$ 의 x절편은 $0 = -x+6$ → A(6, 0). 원점 O(0, 0)이므로 OA는 x축 위 길이 6. 3단계: 점 P의 y좌표 4는 OA를 밑변으로 했을 때의 높이. 4단계: 삼각형 OAP의 넓이 = $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$.

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1단계: 평행 조건은 기울기가 같다. 따라서 $a = -2$. 2단계: 직선이 점 (1, 3)을 지나므로 $3 = -2 \times 1 + b$. 3단계: $3 = -2 + b$ → $b = 5$. 4단계: $a + b = -2 + 5 = 3$.

📖 풀이:
1단계: 두 직각삼각형 ABH와 ACH를 비교한다. ∠AHB = ∠AHC = 90° (AH가 수선). 2단계: AH는 공통변. 빗변 AB = AC (이등변삼각형 조건). 3단계: 두 직각삼각형에서 빗변과 다른 한 변이 각각 같으므로 RHS 합동. 따라서 △ABH ≡ △ACH. 4단계: 합동이므로 BH = CH, 즉 H는 BC의 중점.

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1단계: DE∥BC이므로 △ADE ∽ △ABC (AA 닮음). 닮음비는 $\overline{AD}:\overline{AB} = 2:(2+3) = 2:5$. 2단계: 닮음비 2:5이면 넓이비는 $2^2:5^2 = 4:25$. 3단계: △ADE = 8 cm² 이므로 △ABC = $8 \times \frac{25}{4} = 50$ cm². 4단계: 사다리꼴 DBCE = △ABC − △ADE = $50 - 8 = 42$ cm².