📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 피타고라스 정리로 빗변 길이 계산. $BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm.
2단계: 핵심 보조선 사용. AM을 연장하여 AM=MA'인 점 A'를 잡으면, 사각형 ABA'C에서 두 대각선 AA'과 BC가 서로 이등분되므로 평행사변형이다. 그런데 ∠A=90°이므로 이는 직사각형이 된다.
3단계: 직사각형의 두 대각선은 길이가 같으므로 AA' = BC = 10. 따라서 AM = AA'/2 = 5 cm. 동시에 BM = MC = 5이므로 AM = BM = CM이 성립한다.
4단계: 즉, M은 △ABC의 외접원의 중심이며, 반지름은 빗변의 절반이다.

📖 풀이:
1단계: 분자 변형. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. 조건 $a^2+b^2 = 7ab$를 대입하면 $(a+b)^2 = 7ab + 2ab = 9ab$.
2단계: 분모 변형. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 7ab - 2ab = 5ab$.
3단계: 분자/분모. $\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \dfrac{9ab}{5ab} = \dfrac{9}{5}$ (a>0, b>0이므로 ab≠0이라 약분 가능).

📖 풀이:
1단계: 첫째 부등식 풀이. $3x - 2 < x + 6$에서 $2x < 8$, 즉 $x < 4$.
2단계: 둘째 부등식 풀이. $2x + 1 \geq 5 - x$에서 $3x \geq 4$, 즉 $x \geq \dfrac{4}{3}$.
3단계: 두 범위의 공통부분. $\dfrac{4}{3} \leq x < 4$.
4단계: 이 범위의 자연수는 x = 2, 3 (1은 4/3보다 작아서 제외, 4는 미만이라 제외).
5단계: 합 = 2 + 3 = 5.

📖 풀이:
1단계: 미지수 설정. 8% 소금물 x g, 12% 소금물 y g이라 한다.
2단계: 양에 대한 식. $x + y = 500$ ... ㉠
3단계: 소금의 양에 대한 식. 8% 소금물 속 소금 = 0.08x, 12% 소금물 속 소금 = 0.12y. 섞은 결과 10% 500 g 속 소금 = 50 g. 따라서 $0.08x + 0.12y = 50$, 양변에 100을 곱해 $8x + 12y = 5000$, 4로 약분하면 $2x + 3y = 1250$ ... ㉡
4단계: 연립 풀이. ㉠에서 $y = 500 - x$를 ㉡에 대입: $2x + 3(500-x) = 1250$ → $2x + 1500 - 3x = 1250$ → $-x = -250$ → $x = 250$.
5단계: 검산. y = 250. 0.08·250 + 0.12·250 = 20 + 30 = 50 ✓ (10% 500 g의 소금량과 일치).

📖 풀이:
1단계: 한 점에서 직선까지의 최단거리는 그 점에서 직선에 내린 '수선의 발'까지의 거리이다. 즉, P는 원점에서 ℓ에 내린 수선과 ℓ의 교점이다.
2단계: ℓ의 기울기는 2이므로, ℓ에 수직인 직선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$ (두 직선이 수직 ⇔ 기울기의 곱이 -1).
3단계: 원점을 지나고 기울기 $-\dfrac{1}{2}$인 직선은 $y = -\dfrac{1}{2}x$.
4단계: 두 직선의 교점. $2x + 4 = -\dfrac{1}{2}x$ → 양변에 2를 곱하면 $4x + 8 = -x$ → $5x = -8$ → $x = -\dfrac{8}{5}$.
5단계: $y = -\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{8}{5}\right) = \dfrac{4}{5}$. 따라서 P$\left(-\dfrac{8}{5}, \dfrac{4}{5}\right)$.

📖 풀이:
1단계: 가정 정리. AB = AC (이등변), AD는 ∠A의 이등분선 → ∠BAD = ∠CAD, AD = AD (공통변).
2단계: △ABD와 △ACD에서 두 변(AB=AC, AD공통)과 그 끼인각(∠BAD=∠CAD)이 각각 같다. 따라서 SAS합동이 성립한다.
3단계: 합동의 결과로 대응변 BD = CD (∴ D는 BC의 중점), 대응각 ∠ADB = ∠ADC.
4단계: 그런데 ∠ADB와 ∠ADC는 일직선 BC 위의 인접각이므로 ∠ADB + ∠ADC = 180°. 따라서 ∠ADB = ∠ADC = 90°. 즉 AD ⊥ BC.
5단계: 결론. AD는 BC의 수직이등분선이다.

함정 보기 분석: ④번처럼 BD=CD를 가정해 ASA를 쓰면 '결론을 가정으로 쓰는 순환논증'이 된다. ②는 BD=CD를 따로 보여야 하는데, 이는 합동의 결과지 가정이 아니다.

📖 풀이:
1단계: DE ∥ BC이므로 ∠ADE = ∠ABC, ∠AED = ∠ACB (평행선의 동위각). ∠A는 공통각. 따라서 △ADE ∽ △ABC.
2단계: 닮음비 결정. AD : AB = AD : (AD + DB) = 2 : (2+3) = 2 : 5.
3단계: 닮음비가 m : n인 두 도형의 넓이비는 m² : n² 이다. 따라서 △ADE : △ABC = 2² : 5² = 4 : 25.
4단계: △ADE = 8 cm²이므로 비례식 $\dfrac{8}{△ABC} = \dfrac{4}{25}$에서 △ABC = $\dfrac{8 \times 25}{4}$ = 50 cm².
5단계: 사다리꼴 DBCE = △ABC - △ADE = 50 - 8 = 42 cm².

함정 분석: ① 12는 넓이비(4:25) 대신 변의 길이비를 그대로 써서 사다리꼴:△ADE = DB:AD = 3:2로 보고 $8 \times \frac{3}{2} = 12$로 계산한 오답이다. ④ 50은 큰 삼각형 △ABC의 넓이(50)까지만 구하고 △ADE를 빼는 것을 잊은 오답이다. 닮음비 2:5의 제곱인 넓이비 4:25를 적용한 뒤 사다리꼴 = △ABC - △ADE로 마무리하는 것이 핵심이다.

📖 풀이:
1단계: 분모를 소인수분해. $45 = 3^2 \times 5$.
2단계: 분수가 유한소수가 되려면 기약분수의 분모가 2와 5 이외의 소인수를 갖지 않아야 한다. 즉, 분모의 $3^2$ 부분이 약분되어 사라져야 한다.
3단계: 분모의 $3^2 = 9$가 약분되려면 분자 n이 9의 배수여야 한다.
4단계: 100 이하의 9의 배수: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 → 총 11개.
5단계: 검증. 예) n = 9 → $\dfrac{9}{45} = \dfrac{1}{5} = 0.2$ (유한). n = 6 → $\dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$인데 분모에 3이 남아 있어 무한소수.

함정: ②번 9개는 9, 18, ..., 81까지만 센 경우(90, 99 빠뜨림). ④번 20개는 5의 배수까지 잘못 포함한 오답.

📖 풀이:
1단계: 바닥면 대각선 AF부터 구한다. 바닥면은 한 변 6 cm인 정사각형 ABFE(꼭짓점 순서: A-B-F-E). 직각삼각형 ABF (∠B = 90°)에서 피타고라스 정리: $AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm.
2단계: 이제 직각삼각형 AFG를 본다. AF는 바닥면 위에 있고 FG는 모서리(연직 방향)이므로 AF ⊥ FG, 즉 ∠AFG = 90°. FG = 6.
3단계: 직각삼각형 AFG에서 다시 피타고라스: $AG^2 = AF^2 + FG^2 = (6\sqrt{2})^2 + 6^2 = 72 + 36 = 108$.
4단계: $AG = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ cm.
5단계: 일반화. 한 변이 a인 정육면체의 공간대각선은 $a\sqrt{3}$이다.

📖 풀이:
1단계: 1부터 10까지의 수를 합이 11이 되는 짝(쌍)으로 묶는다. {1,10}, {2,9}, {3,8}, {4,7}, {5,6}. 정확히 5개의 쌍이며, 각 수는 정확히 한 쌍에 속한다.
2단계: 각 쌍을 '비둘기집(상자)'으로, 뽑힌 수 6개를 '비둘기'로 비유한다. 6개의 비둘기를 5개의 상자에 넣으면, 비둘기집 원리에 의해 적어도 한 상자에 비둘기가 2마리 이상 들어간다.
3단계: 그 상자(쌍)에서 두 수가 모두 뽑혔다는 뜻이고, 그 두 수의 합은 정확히 11이다.
4단계: 따라서 어떤 6개를 뽑더라도 합이 11인 두 수가 반드시 포함된다 (증명 종료).

함정 ④ 분석: 만약 합이 11이 되지 않는 6개 부분집합이 존재한다면 그 6개는 5개의 쌍에서 각각 1개씩만 골라야 하는데, 5개의 쌍에서 각각 1개씩이면 5개밖에 못 뽑는다. 모순이므로 ④는 거짓.

📖 풀이:
1단계: 식을 통분한다. $\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{b^2 + a^2}{a^2 b^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{(ab)^2}$.
2단계: 분자 $a^2 + b^2$ 변형. 항등식 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$에서 $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 \cdot 3 = 25 - 6 = 19$.
3단계: 분모 $(ab)^2$ 계산. $(ab)^2 = 3^2 = 9$.
4단계: 따라서 $\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{19}{9}$.
5단계: 검산. a, b는 $t^2 - 5t + 3 = 0$의 두 근(이차방정식 근과 계수의 관계). $t = \dfrac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$. 직접 대입해도 같은 값이 나오지만 이렇게 풀지 않는 게 핵심.

📖 풀이:
1단계: 미지수 설정. 사과 x개, 배 (12 - x)개. (단, x는 0 이상의 정수, 배도 1개 이상이므로 12 - x ≥ 1, 즉 x ≤ 11.)
2단계: 비용 부등식 세우기. $800x + 1200(12 - x) \leq 12000$.
3단계: 전개와 정리. $800x + 14400 - 1200x \leq 12000$ → $-400x \leq -2400$.
4단계: 양변을 음수 -400으로 나눈다. 이때 부등호 방향이 바뀐다. $x \geq 6$.
5단계: 결합 조건 6 ≤ x ≤ 11. '적어도 몇 개'를 묻고 있으므로 최솟값 6.
6단계: 검산. x=6일 때 비용 = 800·6 + 1200·6 = 4800 + 7200 = 12000 ≤ 12000 ✓ (등호 성립). x=5라면 비용 = 4000 + 8400 = 12400 > 12000으로 조건 위반.

함정 ②(5개) 분석: 부등호의 방향을 바꾸지 않아 $x \leq 6$으로 잘못 결론을 내거나, 등호를 빼고 6보다 큰 자연수를 잡으면 7이 나오는 식의 실수.

📖 풀이:
1단계: 180 = 2²×3²×5로 소인수분해된다. 유한소수가 되려면 기약분수의 분모에 2,5 외의 소인수가 없어야 하므로, 분자 n이 3²=9의 배수여야 한다.
2단계: 두 자리 자연수 중 9의 배수는 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99로 총 10개이다.
3단계: 이들 각각에 대해 n/180을 약분하면 분모에 3이 사라지고 2와 5만 남으므로 모두 유한소수가 된다. 따라서 답은 10개.

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 부등식 $3x-5<2x+4$에서 $x<9$.
2단계: 두 번째 부등식 $\frac{x+2}{3} \geq \frac{x-1}{2}$의 양변에 6을 곱하면 $2(x+2) \geq 3(x-1)$, 즉 $2x+4 \geq 3x-3$이므로 $x \leq 7$.
3단계: 두 부등식을 동시에 만족하려면 $x<9$이면서 $x \leq 7$이어야 하므로 교집합은 $x \leq 7$이다. 자연수 해는 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$이고 그 합은 $1+2+3+4+5+6+7=28$이다. 따라서 정답은 ① 28.

📖 풀이:
1단계: 직선 $y=-\frac{1}{2}x+3$이 x축과 만나는 점은 A(6, 0). 점 P를 $\left(p,\ -\frac{1}{2}p+3\right)$ ($p>0$)이라 하자.
2단계: 삼각형 OAP의 밑변을 $\overline{OA}=6$으로 보면 높이는 점 P의 y좌표 $\left(-\frac{1}{2}p+3\right)$이다(P는 x축 위쪽). 넓이 = $\frac{1}{2} \times 6 \times \left(-\frac{1}{2}p+3\right) = 6$.
3단계: $3\left(-\frac{1}{2}p+3\right) = 6 \Rightarrow -\frac{1}{2}p+3 = 2 \Rightarrow p = 2$. 따라서 P = (2, 2).
4단계: 검산. O(0,0), A(6,0), P(2,2)이면 넓이 = $\frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$ ✓. 따라서 답은 ① (2, 2).

📖 풀이:
1단계: 삼각형 ABD와 ACD에서 $\overline{AB}=\overline{AC}$ (이등변), $\angle BAD = \angle CAD$ (각이등분선), $\overline{AD}$ 공통이므로 SAS 합동.
2단계: 합동이므로 대응변 $\overline{BD}=\overline{CD}$ (①). 또한 대응각 $\angle ADB = \angle ADC$.
3단계: $\angle ADB + \angle ADC = 180°$ (평각)이고 두 각이 같으므로 각각 $90°$. 따라서 $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ (②, ③). 모두 옳다.

📖 풀이:
1단계: $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이므로 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 AA 닮음(공통각 ∠A, 동위각 ∠ADE=∠ABC).
2단계: 닮음비를 $k:1$이라 하면 넓이비는 $k^2 : 1$. $k^2 = \frac{4}{9}$이므로 $k = \frac{2}{3}$.
3단계: 따라서 $\overline{AD} : \overline{AB} = 2:3$. $\overline{AD} = 12 \times \frac{2}{3} = 8$.

📖 풀이:
1단계: 표면을 펼친 전개도에서 A에서 B까지의 직선거리가 최단경로다. 펼치는 방법은 세 가지.
경우1: 앞면(4×2)+윗면(4×3) 펼치기 → 거리 $\sqrt{4^2 + (2+3)^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}$.
경우2: 앞면(4×2)+오른쪽면(2×3) 펼치기 → 거리 $\sqrt{(4+3)^2 + 2^2} = \sqrt{49+4} = \sqrt{53}$.
경우3: 옆면(3×2)+윗면(3×4) 펼치기 → 거리 $\sqrt{3^2 + (2+4)^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45}$.
2단계: 세 경우 중 최솟값은 $\sqrt{41}$.
3단계: 따라서 표면 최단경로는 $\sqrt{41}$ cm.

📖 풀이:
1단계: 5장에서 3장을 뽑아 일렬로 놓는 모든 경우의 수: $5 \times 4 \times 3 = 60$가지.
2단계: 4의 배수 판별법: 끝 두 자리가 4의 배수. 1~5의 서로 다른 두 숫자로 만든 두 자리 수 중 4의 배수인 것을 찾는다. 12, 24, 32, 52가 4의 배수 (16은 6없음, 20은 0없음, 28은 8없음, 36은 6없음, 40,44는 불가, 48은 8없음). 즉 12, 24, 32, 52 → 4가지.
3단계: 각 경우 백의 자리에는 남은 3개 중 1개 → $4 \times 3 = 12$가지. 확률 $= \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$.

📖 풀이:
1단계: 세 식을 모두 더한다. $(x+y)+(y+z)+(z+x) = 11+14+13 = 38$.
2단계: 좌변은 $2(x+y+z)$이므로 $2(x+y+z) = 38$.
3단계: 따라서 $x+y+z = 19$. (참고: 각각 $x = 19-14=5$, $y=19-13=6$, $z=19-11=8$로 세 자연수도 구할 수 있다.)

📖 풀이:
1단계: 닮은 두 입체에서 겉넓이의 비는 닮음비의 제곱이다. $\frac{54}{96} = \frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$이므로 닮음비는 $3:4$.
2단계: 부피의 비는 닮음비의 세제곱이므로 $3^3 : 4^3 = 27 : 64$.
3단계: A의 부피가 27이므로 B의 부피는 64 cm³.

📖 풀이:
1단계: 정가를 $x$원이라 하자. 20% 할인된 판매가 = $0.8x$원.
2단계: 원가 5000원에 대한 12%의 이익 = $5000 \times 0.12 = 600$원. 따라서 판매로 얻는 이익은 $0.8x - 5000 \geq 600$ 이상이어야 한다.
3단계: $0.8x \geq 5600$이므로 $x \geq 7000$. 따라서 정가는 최소 7000원 이상.

📖 풀이:
1단계: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$를 전개하면 $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca = 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$로 정리된다.
2단계: 곱셈공식 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$에서 $36 = 14 + 2(ab+bc+ca)$이므로 $ab+bc+ca = 11$.
3단계: 1단계 식에 대입하면 $2 \times 14 - 2 \times 11 = 28 - 22 = 6$.
검산: 예를 들어 $(a,b,c)=(1,2,3)$이면 $a+b+c=6$, $a^2+b^2+c^2=14$를 만족하고, $(1-2)^2+(2-3)^2+(3-1)^2 = 1+1+4 = 6$이다.

📖 풀이:
1단계: 소금물 A의 농도를 $a$%, B의 농도를 $b$%라 하자. '소금량 = 농도 × 전체질량'이고 섞을 때 소금량은 보존된다.
2단계: 첫 혼합. A 200g 속 소금 = $2a$ g, B 100g 속 소금 = $b$ g. 합 300g이 7%이므로 소금이 21g. 따라서 $2a + b = 21$.
3단계: 두 번째 혼합. A 100g 속 소금 = $a$ g, B 200g 속 소금 = $2b$ g. 합 300g이 8%이므로 소금이 24g. 따라서 $a + 2b = 24$.
4단계: 연립 풀이. 첫 식에서 $b = 21 - 2a$. 둘째 식에 대입: $a + 2(21-2a) = 24 \Rightarrow -3a = -18 \Rightarrow a = 6$. 그러면 $b = 21 - 12 = 9$.
검산: 6%×200 + 9%×100 = 12 + 9 = 21g, 21/300 = 7%. ✓ 6%×100 + 9%×200 = 6 + 18 = 24g, 24/300 = 8%. ✓

📖 풀이:
1단계: 각 직선의 x절편을 구한다. $\ell_1$: $0 = x+2 \Rightarrow A=(-2, 0)$. $\ell_2$: $0 = -x+6 \Rightarrow B=(6, 0)$.
2단계: 두 직선의 교점 P. $x+2 = -x+6 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$, $y = 4$. 따라서 $P=(2, 4)$.
3단계: 두 직선의 기울기 곱이 $1 \times (-1) = -1$이므로 두 직선은 서로 수직. 즉 ∠APB = 90°.
4단계: 거리 계산. $AP = \sqrt{(2-(-2))^2 + (4-0)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. $BP = \sqrt{(2-6)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. AP = BP이므로 이등변, 또한 ∠P = 90°이므로 이등변직각삼각형이다. (피타고라스 역정리 검증: $AP^2+BP^2 = 32+32 = 64 = 8^2 = AB^2$. ✓)
5단계: 넓이 = $\frac{1}{2} \times AP \times BP = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 16$. (또는 밑변 AB=8, 높이는 P의 y좌표 4: $\frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$.)