📝 중2 수학 심화 (7/10)

Q151일차함수 응용★★★

두 직선

y = 2x + 4

와

y = -x + 7

이 x축과 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 두 직선의 교점을 P라 하자. 삼각형 ABP의 넓이는?

① 24

② 27

③ 30

④ 36

🎯 정답: ② 27

🧠 풀이 전략: x축 위의 두 점을 밑변으로 잡으면 높이는 교점의 y좌표가 된다는 것이 핵심 통찰. 따로 거리 공식을 쓸 필요 없이 좌표 차이만 계산하면 된다.

📖 풀이:
1단계: 점 A는

y=2x+4

가 x축과 만나는 점.

0 = 2x+4 \Rightarrow x = -2

. 따라서 A(-2, 0).
2단계: 점 B는

y=-x+7

이 x축과 만나는 점.

0 = -x+7 \Rightarrow x = 7

. 따라서 B(7, 0).
3단계: 교점 P는 두 식을 연립.

2x+4 = -x+7 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1, y = 6

. 따라서 P(1, 6).
4단계: 밑변 AB = 7-(-2) = 9, 높이 = P의 y좌표 = 6. 넓이 =

\frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27

.

💡 이런 삼각형 넓이 계산은 좌표기하의 신발끈 공식의 특수한 경우이다.

Q152도형 성질 증명★★★

삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 하자. AB = 8, AC = 6, BC = 7일 때, BD의 길이는? (각의 이등분선의 성질: BD:DC = AB:AC)

① 3

②

\frac{7}{2}

③ 4

④

\frac{14}{3}

🎯 정답: ③ 4

🧠 풀이 전략: 각의 이등분선 정리는 변의 비가 분할되는 비와 같다는 강력한 도구. 비례식을 BD =

\frac{AB}{AB+AC} \times BC

로 변환하면 직접 계산 가능.

📖 풀이:
1단계: 각의 이등분선 정리에 의해 BD:DC = AB:AC = 8:6 = 4:3이다.
2단계: BD + DC = BC = 7이므로, BD =

\frac{4}{4+3} \times 7 = \frac{4}{7} \times 7 = 4

.
3단계: 따라서 DC = 7 - 4 = 3. 비율 확인: 4:3 = 8:6 ✓.
4단계: 답은 BD = 4.

💡 각의 이등분선 정리는 유클리드 원론 6권 명제 3에 등장한다.

Q153피타고라스 활용★★★

가로 4 cm, 세로 3 cm, 높이 2 cm인 직육면체의 한 꼭짓점 A에서 대각선으로 마주 보는 꼭짓점 B까지 표면을 따라 가는 최단거리는?

①

\sqrt{45}

cm

②

\sqrt{41}

cm

③

\sqrt{61}

cm

④

\sqrt{74}

cm

🎯 정답: ②

\sqrt{41}

cm

🧠 풀이 전략: 3차원 공간 문제를 2차원으로 변환하는 핵심 기법. 직육면체 표면을 어느 면을 따라 펼치느냐에 따라 길이가 달라지므로 모든 경우를 비교해야 한다.

📖 풀이:
1단계: 표면 최단경로는 두 면을 펼친 전개도에서의 직선거리이다. 세 가지 전개를 비교한다.
2단계:
- 세로 3과 높이 2를 이어 붙이고 가로 4를 다른 변으로:

\sqrt{(3+2)^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}

- 가로 4와 높이 2를 이어 붙이고 세로 3을 다른 변으로:

\sqrt{(4+2)^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}

- 가로 4와 세로 3을 이어 붙이고 높이 2를 다른 변으로:

\sqrt{(4+3)^2+2^2}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}

3단계: 세 값 중 최솟값은

\sqrt{41}\approx6.40

cm이다. 따라서 최단거리는

\sqrt{41}

cm.

💡 개미가 직육면체 표면을 따라 이동하는 문제로 유명하다. '개미와 설탕' 문제라고도 한다.

Q154경시 확률·퍼즐★★★

5명의 학생 A, B, C, D, E가 일렬로 서려고 한다. A와 B가 서로 이웃하지 않으면서, C는 항상 D보다 앞에 서야 하는 경우의 수는?

① 24

② 36

③ 48

④ 60

Q155유리수·순환소수 추론★★

0.\overline{3} + 0.1\overline{6}

를 기약분수로 나타내면?

①

\frac{1}{2}

②

\frac{3}{7}

③

\frac{2}{3}

④

\frac{5}{6}

🎯 정답: ①

\frac{1}{2}

🧠 풀이 전략: 순수 순환소수와 혼순환소수 둘 다 분수 변환 공식을 쓴다. 혼순환의 경우 '소수점 첫째 자리부터 순환이 시작되도록' 10배 후 빼기 기법을 적용한다.

📖 풀이:
1단계:

0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

.
2단계:

0.1\overline{6}

를 분수로 변환. x = 0.1666...로 놓으면 10x = 1.666..., 100x = 16.666.... 100x - 10x = 90x = 15. 따라서 x =

\frac{15}{90} = \frac{1}{6}

.
3단계:

\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

.
4단계: 따라서 답은

\frac{1}{2}

.

💡 순환소수의 분수 변환은 무한등비급수의 합 공식과 본질적으로 같다.

Q156연립방정식 심화 활용★★★

세 수 x, y, z가 x + y + z = 12, x + 2y + 3z = 20, 2x + y + z = 15를 만족할 때, xyz의 값은?

① -30

② 36

③ 42

④ 60

🎯 정답: ① -30

🧠 풀이 전략: 3변수 연립방정식은 두 식의 차로 한 변수를 먼저 구하는 것이 핵심. 식들 간의 계수 차이를 관찰해 효과적인 소거법을 선택한다.

📖 풀이:
1단계: 세 식을 식①, 식②, 식③이라 하자. 식③ - 식①

= (2x+y+z)-(x+y+z) = x = 15-12 = 3

이므로

x = 3

.
2단계: 식①에

x=3

대입:

y + z = 9

. 식②에

x=3

대입:

2y + 3z = 17

.
3단계:

y = 9 - z

를

2y + 3z = 17

에 대입하면

2(9-z) + 3z = 17

, 즉

18 + z = 17

이므로

z = -1

,

y = 10

.
4단계: 검산하면 식①

3+10+(-1)=12

✓, 식②

3+20+(-3)=20

✓, 식③

6+10+(-1)=15

✓.
5단계:

xyz = 3 \times 10 \times (-1) = -30

. 따라서 정답은 ① -30.

💡 3변수 연립은 행렬과 가우스 소거법으로 일반화되며, 컴퓨터 그래픽스에 필수적이다.

Q157부등식 활용 심화★★

|2x - 5| < 7을 만족하는 정수 x의 개수는?

① 5

② 6

③ 7

④ 8

🎯 정답: ② 6

🧠 풀이 전략: 절댓값 부등식 |A| < B는 -B < A < B로 풀어쓴다. 부등호가 strict인지 등호 포함인지 정확히 따져 정수해 개수를 센다.

📖 풀이:
1단계: 절댓값 부등식

|2x-5| < 7

은

-7 < 2x-5 < 7

과 동치이다.
2단계: 각 변에 5를 더하면

-2 < 2x < 12

이고, 양변을 2로 나누면

-1 < x < 6

이다.
3단계:

-1 < x < 6

을 만족하는 정수

x

는

0, 1, 2, 3, 4, 5

의 6개이다.
4단계: 따라서 정답은 ② 6.

💡 절댓값 부등식은 거리 개념으로 해석할 수 있다. |x-a|<r은 a로부터 거리 r 이내의 점들이다.

Q158닮음 심화★★★

사다리꼴 ABCD에서 AB∥CD이고 AB=6, CD=10이다. 두 대각선 AC와 BD가 만나는 점을 P라 할 때, △ABP와 △CDP의 넓이의 비를 구하시오. (왜 그런 비가 나오는지 닮음을 이용해 설명할 수 있어야 한다.)

① 9 : 25

② 3 : 5

③ 6 : 10

④ 18 : 50

Q159지수·식 계산 심화★★★

a - \frac{1}{a} = 3

(단,

a > 0

)일 때,

a^3 - \frac{1}{a^3}

의 값을 구하시오.

① 27

② 30

③ 36

④ 45

🎯 정답: ③ 36

🧠 풀이 전략:

a

자체를 구하지 않고 식 변형만으로 푼다. (1) 제곱해서

a^2+\frac{1}{a^2}

를 얻고, (2) 세제곱 차의 인수분해 공식

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

를 떠올린다.

AB = a \cdot \frac{1}{a} = 1

이라는 점이 핵심.

📖 풀이:
1단계: 양변을 제곱하면

\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 9

이므로

a^2 + \frac{1}{a^2} = 11

. 2단계: 곱셈공식

A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)

를

A=a, B=\frac{1}{a}

에 적용하면

a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right)\left(a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}\right)

. 3단계: 1단계 결과를 대입,

3 \times (11+1) = 3 \times 12 = 36

.

💡

a

가 양수일 때

a-\frac{1}{a}=3

의 해는

a = \frac{3+\sqrt{13}}{2}

로 무리수지만,

a^3-\frac{1}{a^3}

의 값은 정수 36이 된다. 식 자체의 대칭성이 무리수 부분을 깔끔히 상쇄한다.

Q160일차함수 응용★★★

직선

y = mx + 4

가 x축, y축과 만나서 만드는 삼각형의 넓이가 8이 되도록 하는 모든 m의 값의 곱을 구하시오. (단,

m \neq 0

)

① 1

② -1

③ 2

④ -2

🎯 정답: ② -1

🧠 풀이 전략: x절편이 음수일 수도 있으므로 절댓값 처리가 필수. m의 부호에 따라 직선이 좌우 대칭 위치에 그려져 두 답이 동시에 나오는 함정. '넓이가 같아지는 두 직선'을 동시에 머릿속으로 그려 보자.

📖 풀이:
1단계: 직선의 y절편은 4, x절편은

-\frac{4}{m}

. 좌표축과 이루는 삼각형은 두 절편을 직각변으로 갖는 직각삼각형. 2단계: 넓이 =

\frac{1}{2} \times \left|-\frac{4}{m}\right| \times 4 = \frac{8}{|m|}

. 이 값이 8이 되려면

|m|=1

, 즉

m=1

또는

m=-1

. 3단계: 두 값의 곱 =

1 \times (-1) = -1

.

Q161도형 성질 증명★★★

한 변의 길이가 6인 정사각형 ABCD에서 변 BC 위의 점 E와 변 CD 위의 점 F가 ∠EAF=45°를 만족한다. 'BE + DF = EF가 항상 성립한다'를 증명할 때, 핵심이 되는 보조선(또는 보조 도형)은 무엇인가?

① △ADF를 점 A 중심으로 반시계방향 90° 회전시켜 △ABF'를 만든다

② 점 E와 점 F를 잇고 그 중점을 표시한다

③ 점 A에서 EF에 수선의 발을 내린다

④ 정사각형의 두 대각선을 그어 교점을 표시한다

Q162유리수·순환소수 추론★★★

다음 세 순환소수의 합

0.\overline{1} + 0.\overline{12} + 0.\overline{123}

을 기약분수로 나타냈을 때, 그 분모를 구하시오.

① 1221

② 333

③ 999

④ 3663

🎯 정답: ① 1221

🧠 풀이 전략: 순환소수 → 분수 변환 후 통분 → 덧셈 → 약분의 순서. 각 분모(9, 99, 999, ...)를 소인수분해하고 LCM을 정확히 구한다. 마지막 약분에서 분자/분모 모두 소인수분해해 공약수를 빠짐없이 찾는 것이 핵심.

📖 풀이:
1단계: 각 순환소수를 분수로 변환.

0.\overline{1}=\frac{1}{9}

,

0.\overline{12}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}

,

0.\overline{123}=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}

. 2단계: 9, 33, 333의 최소공배수를 구한다.

9=3^2

,

33=3 \cdot 11

,

333=3^2 \cdot 37

이므로 LCM =

3^2 \cdot 11 \cdot 37 = 3663

. 통분 후 합 =

\frac{407}{3663} + \frac{444}{3663} + \frac{451}{3663} = \frac{1302}{3663}

. 3단계: 약분.

1302 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 31

,

3663 = 3^2 \cdot 11 \cdot 37

, 공약수는 3.

\frac{1302}{3663} = \frac{434}{1221}

. 분자 434와 1221의 공약수를 다시 확인하면 1뿐. 따라서 기약분수의 분모는 1221.

💡 분모가 9, 99, 999처럼 9의 반복일 때, 분자의 자릿수가 곧 순환마디의 길이가 된다. 이게 '

0.\overline{abc} = \frac{abc}{999}

' 공식의 본질이다.

Q163부등식 활용 심화★★★

세 변의 길이가 모두 자연수이고 둘레가 18인 삼각형은 모두 몇 가지인가? (단, 합동인 삼각형은 같은 것으로 본다.)

① 5가지

② 6가지

③ 7가지

④ 8가지

🎯 정답: ③ 7가지

🧠 풀이 전략: 삼각형 가능 조건은 '가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합'. 한 변(가장 긴 변)을 고정한 뒤 나머지를 자연수로 나열하는 체계적 탐색. 정렬(

a \le b \le c

)로 중복(합동)을 자동으로 막는다.

📖 풀이:
1단계: 세 변을

a \le b \le c

(자연수)라 하고

a+b+c=18

. 삼각부등식

a+b > c

필요. 2단계:

a+b > c

이고

a+b = 18-c

이므로

18-c > c

, 즉

c < 9

. 또 c가 가장 큰 변이므로

3c \ge 18

,

c \ge 6

. 따라서

c = 6, 7, 8

. 3단계:

c=6

이면

a+b=12

,

a \le b \le 6

이라

a=b=6

(1가지).

c=7

이면

a+b=11

,

a \le b \le 7

이라

(a,b)=(4,7),(5,6)

(2가지).

c=8

이면

a+b=10

,

a \le b \le 8

이라

(a,b)=(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)

(4가지). 합계 1+2+4 = 7가지.

💡 삼각부등식이 등호 a+b=c를 허용하지 않는 이유는 그러면 세 점이 일직선 위에 놓여 '뭉개진 삼각형(degenerate triangle)'이 되기 때문이다.

Q164연립방정식 심화 활용★★★

어떤 자연수 N을 3으로 나누면 1이 남고, 5로 나누면 2가 남고, 7로 나누면 3이 남는다. 이런 자연수 중 가장 작은 N을 구하시오.

① 52

② 47

③ 38

④ 67

🎯 정답: ① 52

🧠 풀이 전략: 세 조건을 한꺼번에 풀려 하지 말고, 한 조건씩 차례로 대입하며 미지수를 줄여나간다. '

N = 5a+2 \to 15b+7 \to 105c+52

'처럼 매 단계에서 새 변수로 표현하면 마지막에 가장 작은 정수만 대입하면 된다.

📖 풀이:
1단계: 5로 나누면 2가 남으므로

N = 5a + 2

(a는 0 이상의 정수). 2단계: 이 식이 3으로 나누면 1 남아야 함.

5a+2

를 3으로 나누면

5a+2 \equiv 2a+2 \pmod 3

이고 이것이 1이 되려면

2a \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3

, 즉

a \equiv 1 \pmod 3

.

a = 3b+1

로 두면

N = 5(3b+1)+2 = 15b+7

. 3단계: 이 식이 7로 나누면 3 남아야 함.

15b+7

을 7로 나누면

15b+7 \equiv b+0 \equiv b \pmod 7

이고 이것이 3이 되려면

b \equiv 3 \pmod 7

. 가장 작은 자연수 N은

b=3

일 때,

N = 15 \cdot 3 + 7 = 52

. 검산: 52 = 17·3+1 ✓, 52 = 10·5+2 ✓, 52 = 7·7+3 ✓.

💡 이 유형은 약 1700년 전 중국 수학책 '손자산경(孫子算經)'에 처음 등장했고, 오늘날 '중국인의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem, CRT)'로 일반화되어 RSA 암호 등에 사용된다.

Q165피타고라스 활용★★★

가로 6, 세로 4, 높이 3인 직육면체의 한 꼭짓점에서 공간에서 가장 멀리 떨어진 꼭짓점까지 표면을 따라가는 최단 거리를 구하시오. (단, 곤충처럼 표면 위로만 이동할 수 있다.)

①

\sqrt{97}

②

\sqrt{85}

③

\sqrt{61}

④

\sqrt{109}

🎯 정답: ②

\sqrt{85}

🧠 풀이 전략: 공간 표면 위의 최단 경로 문제는 '면을 펼쳐 평면에 깔면 직선이 최단'이라는 원리. 어떤 두 면을 펼치느냐에 따라 답이 달라지므로 세 경우를 모두 따져 가장 짧은 것을 골라야 한다.

📖 풀이:
1단계: 곡면 위 최단 경로는 전개도에서 직선 거리로 나타난다. A에서 G까지 가는 표면 경로는 어느 두 면을 지나느냐에 따라 세 가지가 있다. 2단계: (i) 앞면(6×3)과 윗면(6×4)은 길이 6인 변을 공유하므로 펼치면 변이 6과 3+4=7 →

\sqrt{6^2+7^2} = \sqrt{85}

. (ii) 앞면(6×3)과 옆면(4×3)은 길이 3인 변을 공유하므로 펼치면 변이 6+4=10과 3 →

\sqrt{10^2+3^2} = \sqrt{109}

. (iii) 윗면(6×4)과 옆면(4×3)은 길이 4인 변을 공유하므로 펼치면 변이 6+3=9와 4 →

\sqrt{9^2+4^2} = \sqrt{97}

. 3단계: 세 값 중 최솟값.

\sqrt{85} \approx 9.22 < \sqrt{97} \approx 9.85 < \sqrt{109} \approx 10.44

. 답은

\sqrt{85}

.

💡 이 문제 유형은 '거미와 파리 문제(spider and fly problem)'로 알려져 있다. 직관적으로 떠오르는 경로보다 '돌아가는 듯 보이는' 경로가 더 짧을 수 있어서 오답을 유발하는 대표적 함정 문제.

Q166경시 확률·퍼즐★★

1부터 20까지의 자연수 중에서 11개를 임의로 골랐을 때, 그 중에 합이 21이 되는 두 수가 반드시 들어 있음을 보이려고 한다. 어떤 '비둘기집'을 설정하는 것이 가장 적절한가?

① 10개의 비둘기집: {1,2}, {3,4}, ..., {19,20}

② 4개의 비둘기집: 1 - 5, 6 - 10, 11 - 15, 16 - 20

③ 11개의 비둘기집: {1}, {2}, ..., {10}, {11 - 20}

④ 10개의 비둘기집: {1,20}, {2,19}, {3,18}, ..., {10,11}

Q167닮음 심화★★★

직각삼각형 ABC에서 ∠A=90°, AB=6, AC=8이다. 점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 H라 할 때, AH의 길이를 구하시오. (닮음을 이용해 두 가지 방법으로 검증할 수 있다.)

①

\frac{18}{5}

②

\frac{12}{5}

③

\frac{24}{5}

④

\frac{48}{5}

🎯 정답: ③

\frac{24}{5}

🧠 풀이 전략: 직각삼각형의 빗변에 내린 수선은 항상 두 작은 삼각형을 만들고, 그 둘은 원래 삼각형과 모두 닮음(AA, 공통각+직각). 가장 빠른 길은 '같은 삼각형 넓이를 두 가지 밑변 기준으로 표현'. 닮음으로 검산할 수 있어 안전.

📖 풀이:
1단계: 피타고라스 정리로

BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10

. 2단계: △ABC의 넓이를 두 가지 방법으로 표현. 직각변 기준:

S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24

. 빗변 기준:

S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = 5 \cdot AH

. 3단계: 두 표현이 같으므로

5 \cdot AH = 24

, 따라서

AH = \frac{24}{5}

. (닮음 검증: △ABC ∽ △HBA (공통각 ∠B, 직각). 대응변비

\frac{AB}{BC} = \frac{AH}{AC}

에서

\frac{6}{10} = \frac{AH}{8}

,

AH = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}

. 같은 답.)

💡 이 'AH·BC = AB·AC' 공식은 직각삼각형의 빗변 위 수선에서 항상 성립하는 관계식이다. 또한

AH^2 = BH \cdot HC

가 성립하는데, 이게 바로 '평균비례(기하평균)' 관계의 시작이다.

Q168도형 성질 증명★★★

평행사변형 ABCD에서 AB=5, AD=8이고, ∠B의 이등분선이 변 AD와 만나는 점을 E라 한다. ED의 길이를 구하시오. (왜 그렇게 되는지 이등변삼각형의 성질로 설명할 수 있어야 한다.)

① 2

② 5

③ 4

④ 3

Q169지수·식 계산 심화★★

세 수

A = 2^{40}

,

B = 3^{30}

,

C = 5^{20}

의 크기를 비교하여 작은 것부터 큰 순서로 올바르게 나열한 것은?

① A < B < C

② A < C < B

③ B < A < C

④ C < A < B

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략: 지수와 밑이 모두 다른 거듭제곱을 비교할 때는 지수의 최대공약수를 찾아 같은 지수로 묶는다. 같은 지수로 통일하면 결국 밑끼리만 비교하면 되므로 단순한 자연수 대소 비교 문제로 환원된다.

📖 풀이:
1단계: 세 지수 40, 30, 20의 최대공약수는 10이므로 모든 식을 지수가 10인 형태로 변형한다. 2단계:

A = 2^{40} = (2^4)^{10} = 16^{10}

,

B = 3^{30} = (3^3)^{10} = 27^{10}

,

C = 5^{20} = (5^2)^{10} = 25^{10}

. 3단계: 지수가 모두 10으로 같으므로 밑의 크기로 비교하면 16 < 25 < 27. 따라서 A < C < B.

💡 이 방법은 로그를 사용하지 않고도 거대한 수의 대소를 정확히 비교할 수 있게 해주는 고전적 기법이다.

Q170지수·식 계산 심화★★

이차방정식

x^2 - 3x + 1 = 0

의 한 근

x

에 대하여

x^2 + \frac{1}{x^2}

의 값은?

① 5

② 7

③ 9

④ 11

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략:

x

의 정확한 값을 구하지 않고도 식의 값을 구할 수 있는지 살펴보자. 방정식 양변을

x

로 나누어

x + \frac{1}{x}

의 형태를 만들면, 곱셈공식에 의해 자동으로

x^2 + \frac{1}{x^2}

이 표현된다.

📖 풀이:
1단계:

x = 0

이면 식이 성립하지 않으므로

x \neq 0

. 양변을

x

로 나누면

x - 3 + \frac{1}{x} = 0

, 즉

x + \frac{1}{x} = 3

. 2단계: 양변을 제곱하면

\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9

. 3단계: 따라서

x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7

.

💡

x

를 직접 구하면

x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

로 무리수이지만, 식의 값은 깔끔하게 자연수 7이 된다.

Q171닮음 심화★★★

직각삼각형 ABC에서 ∠C = 90°이고 AC = 6cm, BC = 8cm이다. 점 C에서 빗변 AB에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 선분 CH의 길이는?

① 4 cm

② 4.5 cm

③ 4.8 cm

④ 5 cm

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 직각삼각형의 넓이는 어느 변을 밑변으로 하느냐에 관계없이 같은 값이어야 한다. 두 직각변을 활용한 표현과 빗변·수선 표현을 등식으로 놓으면 수선의 길이가 즉시 나온다. 닮음을 이용해도 같은 답을 얻을 수 있다.

📖 풀이:
1단계: 피타고라스 정리에 의해

AB^2 = AC^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100

이므로 AB = 10cm. 2단계: △ABC의 넓이를 두 가지로 표현한다. 직각변을 밑변·높이로 보면

\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24

. 빗변 AB를 밑변, CH를 높이로 보면

\frac{1}{2} \times 10 \times CH = 5 \cdot CH

. 3단계: 두 표현은 같은 넓이이므로

5 \cdot CH = 24

, 따라서

CH = \frac{24}{5} = 4.8

cm.

💡 빗변에 내린 수선은 빗변을 두 부분으로 나누는데, 이 두 부분의 길이의 곱은 수선 길이의 제곱과 같다. 이를 '직각삼각형의 평균관계'라 부른다.

Q172피타고라스 활용★★★

밑면의 반지름이 3cm이고 모선의 길이가 12cm인 원뿔이 있다. 밑면 위의 한 점 P에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 다시 P로 돌아오는 가장 짧은 경로의 길이는?

① 12 cm

② 12√2 cm

③ 18 cm

④ 24 cm

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략: 곡면 위의 최단경로 문제는 곡면을 평평하게 펼쳐서 평면 위 두 점 사이 거리로 환원한다. 원뿔의 경우 부채꼴이 되며, 부채꼴의 중심각은 (밑면 둘레)/(모선이 그리는 큰 원의 둘레)로 계산한다.

📖 풀이:
1단계: 곡면 위의 최단경로는 곡면을 평면으로 펼쳤을 때의 직선이다. 원뿔 옆면을 펼치면 반지름 12cm인 부채꼴이 나온다. 2단계: 부채꼴 호의 길이는 원래 밑면의 둘레인

2\pi \times 3 = 6\pi

cm. 부채꼴 중심각을

\theta

라 하면

\frac{\theta}{360°} = \frac{6\pi}{2\pi \times 12} = \frac{1}{4}

, 따라서

\theta = 90°

. 3단계: 점 P가 부채꼴에서 두 반지름의 끝점 P, P'로 나타나고, 두 점 사이 직선 거리가 최단경로. ∠POP' = 90°이고 OP = OP' = 12이므로 피타고라스 정리에 의해

PP' = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2}

cm.

💡 원뿔의 옆면을 펼쳤을 때 중심각이 360°에 도달하면 그것은 더 이상 원뿔이 아니라 평면이며, 0°에 가까워지면 무한히 뾰족한 원뿔이 된다.

Q173일차함수 응용★★★

직선

y = \frac{1}{2}x + 3

이

x

축,

y

축과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 점 A를 지나면서 △OAB의 넓이를 정확히 이등분하는 직선의 기울기는? (단, O는 원점)

①

\frac{1}{6}

②

\frac{1}{4}

③

\frac{1}{3}

④

\frac{1}{2}

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략: 한 꼭짓점을 지나면서 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선은 그 꼭짓점의 대변 위 어느 점을 지난다. 이등분 조건을 부분 삼각형의 넓이 식으로 옮기면 미지의 점 좌표를 결정할 수 있고, 그로부터 직선 기울기가 구해진다.

📖 풀이:
1단계: 직선이

x

축과 만나는 점은

0 = \frac{1}{2}x + 3

에서

x = -6

, A(-6, 0).

y

축과 만나는 점은 B(0, 3). △OAB의 넓이는

\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9

. 2단계: 점 A를 지나며 △OAB를 이등분하는 직선은 변 OB(

y

축의 일부) 위의 점 P(0,

p

)를 지난다. △OAP의 넓이는

\frac{1}{2} \times 6 \times p = 3p

. 이등분 조건:

3p = \frac{9}{2}

, 따라서

p = \frac{3}{2}

. 3단계: 직선 AP의 기울기는

\frac{\frac{3}{2} - 0}{0 - (-6)} = \frac{1}{4}

.

💡 한 꼭짓점에서 대변의 중점을 잇는 선분(중선)은 항상 삼각형의 넓이를 정확히 이등분하는 특별한 선이다.

Q174닮음 심화★★★

평행사변형 ABCD에서 변 AB 위의 점 E가 AE:EB = 1:2를 만족한다. 대각선 AC와 선분 DE가 점 P에서 만날 때, AP:PC를 구하시오.

① 1:2

② 1:3

③ 1:4

④ 2:5

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략: 평행사변형의 대향변은 평행이고 길이가 같다. 대향변 위의 점들을 잇는 두 직선이 교차하면 엇각과 맞꼭지각이 자동으로 생기므로 AA 닮음이 성립한다. 닮음비는 두 평행한 변에 속한 선분의 길이비로 결정된다.

📖 풀이:
1단계: 평행사변형이므로 AB ∥ DC이고 AB = DC. △AEP와 △CDP에서 ∠AEP = ∠CDP (AB와 DC가 평행이므로 엇각), ∠APE = ∠CPD (맞꼭지각). 두 쌍의 각이 같으므로 △AEP ∼ △CDP (AA 닮음). 2단계: AE =

\frac{1}{3}

AB, DC = AB이므로 AE:DC = AE:AB = 1:3. 3단계: 닮음 두 삼각형의 대응변 비는 모두 같으므로 AP:CP = AE:CD = 1:3.

💡 이 기법을 일반화하면 '평행한 두 변을 가진 도형에서 두 변을 잇는 직선들의 교점이 만드는 비'는 항상 두 변 위 부분 길이의 비로 결정된다.

Q175부등식 활용 심화★★★

가로의 길이가 세로의 길이보다 3cm 긴 직사각형이 있다. 이 직사각형의 둘레가 50cm 이상 70cm 이하일 때, 가로의 길이가 될 수 있는 자연수는 모두 몇 개인가?

① 4개

② 5개

③ 6개

④ 7개

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 미지수를 한 개로 정하고(세로) 다른 변량을 식으로 표현한 뒤(가로 = 세로 + 3), 조건을 부등식으로 옮긴다. 부등식의 양쪽을 동시에 정리하는 연립부등식 형태로 푸는 것이 핵심. 자연수 조건은 마지막 단계에서 적용한다.

📖 풀이:
1단계: 세로의 길이를

x

cm라 하면 가로는

(x+3)

cm. 둘레 =

2(x + (x+3)) = 4x + 6

cm. 2단계: 둘레 조건

50 \leq 4x + 6 \leq 70

. 모든 변에서 6을 빼면

44 \leq 4x \leq 64

, 4로 나누면

11 \leq x \leq 16

. 3단계:

x

가 자연수이므로

x \in \{11, 12, 13, 14, 15, 16\}

. 가로 =

x + 3 \in \{14, 15, 16, 17, 18, 19\}

이므로 모두 6개.

💡 둘레의 길이가 같은 직사각형 중에서는 정사각형일 때 넓이가 가장 크다. 등주부등식이라 불리는 이 성질은 모든 도형으로 일반화된다.