📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 곱셈공식 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$을 반복 적용한다. 먼저 $(3-1)(3+1) = 3^2-1 = 8$.
2단계: $(3^2-1)(3^2+1) = 3^4-1$.
3단계: $(3^4-1)(3^4+1) = 3^8-1$, 이어서 $(3^8-1)(3^8+1) = 3^{16}-1$.
4단계: 결과적으로 $(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1) = 3^{16}-1$.
5단계: 마지막에 $+1$을 더하면 $3^{16}-1+1 = 3^{16}$.

📖 풀이:
1단계: 정답을 $x$개라 하면 오답은 $(15-x)$개이다.
2단계: 점수를 식으로 정리하면, 점수 $= 5x - 2(15-x) = 5x - 30 + 2x = 7x - 30$.
3단계: 60점 이상 조건은 $7x - 30 \geq 60$, 즉 $7x \geq 90$이므로 $x \geq \frac{90}{7} \approx 12.857$.
4단계: $x$는 자연수이므로 $x$의 최솟값은 13.
5단계: 검산: $x=13$이면 점수 $= 7 \cdot 13 - 30 = 61 \geq 60$ ✓. $x=12$이면 $7 \cdot 12 - 30 = 54 < 60$ ✗.

📖 풀이:
1단계: 1시간당 A, B, C 각각의 작업률을 $a, b, c$라 하고, 전체 일량을 1로 둔다. 다음 연립방정식을 세운다.
① $a+b+c = \frac{1}{4}$
② $a+b = \frac{1}{6}$
③ $b+c = \frac{1}{8}$
2단계: ①에서 ②를 빼면 $c = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$.
3단계: 즉, C는 1시간에 전체의 $\frac{1}{12}$만큼을 한다. 따라서 C 혼자서 끝내는 시간은 $\frac{1}{1/12} = 12$시간.
4단계: 검증: ②와 ③에서 $a = \frac{1}{8}$, $b = \frac{1}{24}$가 나오고 $a+b+c = \frac{3+1+2}{24} = \frac{1}{4}$ ✓.

📖 풀이:
1단계: 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 $-1$. 주어진 직선의 기울기는 $\frac{1}{2}$이므로 수직인 직선의 기울기는 $\frac{1}{2} \cdot m = -1$에서 $m = -2$.
2단계: 점 $(4, -1)$을 지나고 기울기가 $-2$인 직선: $y - (-1) = -2(x - 4)$, 즉 $y = -2x + 7$.
3단계: $x$절편은 $y=0$일 때 $x = \frac{7}{2}$, $y$절편은 $x=0$일 때 $y = 7$.
4단계: 두 절편과 원점을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형의 두 변 길이는 $\frac{7}{2}$와 $7$.
5단계: 삼각형 넓이 $= \frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times 7 = \frac{49}{4}$.

📖 풀이:
1단계: 평행사변형에서 한 변과 그 이웃하는 두 내각은 동측내각이므로 합이 $180°$이다. 즉 $\angle DAB + \angle ABC = 180°$.
2단계: $AE$가 $\angle A$의 이등분선이므로 $\angle PAB = \frac{1}{2}\angle DAB$. 마찬가지로 $BF$가 $\angle B$의 이등분선이므로 $\angle PBA = \frac{1}{2}\angle ABC$.
3단계: 두 각의 합은 $\angle PAB + \angle PBA = \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$.
4단계: 삼각형 $APB$의 내각의 합 $180°$에서 $\angle APB = 180° - 90° = 90°$.

📖 풀이:
1단계: $DE \parallel BC$이므로 동위각에 의해 $\angle ADE = \angle ABC$, $\angle AED = \angle ACB$. 따라서 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA 닮음).
2단계: 닮음비는 $\overline{AD} : \overline{AB} = 2 : (2+3) = 2 : 5$.
3단계: 닮음인 두 도형의 넓이비는 닮음비의 제곱과 같으므로 $\triangle ADE : \triangle ABC = 2^2 : 5^2 = 4 : 25$.
4단계: 사다리꼴 $DBCE$의 넓이 $= \triangle ABC - \triangle ADE$, 즉 비율로는 $25 - 4 = 21$.
5단계: 따라서 $\triangle ADE :$ 사다리꼴 $DBCE = 4 : 21$.

📖 풀이:
1단계: 피타고라스 정리로 빗변의 길이를 구한다. $\overline{AB} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm.
2단계: 삼각형 $ABC$의 넓이를 두 가지 방식으로 표현.
방법 ①: 두 직각변을 밑변과 높이로: 넓이 $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm$^2$.
방법 ②: 빗변 $AB$를 밑변, 수선 $CH$를 높이로: 넓이 $= \frac{1}{2} \times 10 \times \overline{CH} = 5\overline{CH}$.
3단계: 두 식이 같은 넓이를 나타내므로 $5\overline{CH} = 24$, 즉 $\overline{CH} = \frac{24}{5}$ cm.
4단계: 수선의 길이 $\overline{CH} = \frac{24}{5}$ cm $= 4.8$ cm.

📖 풀이:
1단계: 짝수가 되려면 일의 자리 숫자가 $2$ 또는 $4$여야 한다. 두 경우로 나눈다.
2단계: [경우 1] 일의 자리 = $2$.
- 백의 자리는 $2$보다 커야 하므로 $\{3, 4, 5\}$ 중 하나, 즉 $3$가지.
- 십의 자리는 백·일에 사용한 두 숫자를 제외한 나머지 $3$개 중 하나.
- 합: $3 \times 3 = 9$가지.
3단계: [경우 2] 일의 자리 = $4$.
- 백의 자리는 $4$보다 커야 하므로 $5$만 가능, 즉 $1$가지.
- 십의 자리는 $\{1, 2, 3\}$ 중 하나, 즉 $3$가지.
- 합: $1 \times 3 = 3$가지.
4단계: 두 경우의 합: $9 + 3 = 12$.

📖 풀이:
1단계: $\frac{1}{n}$이 (유한소수가 아닌) 순환소수가 되는 조건은 분모 $n$이 $2$와 $5$ 이외의 소인수를 갖는 것이다. ($n$이 $2^a \times 5^b$ 꼴이면 유한소수가 되어 순환마디가 없다.)
2단계: $\gcd(n,10)=1$일 때 순환마디의 길이는 $10^k \equiv 1 \pmod{n}$을 만족하는 가장 작은 자연수 $k$와 같다. 작은 $n$부터 직접 계산해 본다.
3단계: $n=2,4,5$는 유한소수이다. $n = 3$: $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$, 순환마디 길이 $1$. $n = 6$: $\frac{1}{6} = 0.1\overline{6}$, 순환마디 길이 $1$. $n = 7$: $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$, 순환마디 길이 $6$. ✓
4단계: $7$보다 작은 자연수는 모두 유한소수이거나 순환마디 길이가 $1$이므로, 순환마디 길이가 정확히 $6$인 가장 작은 자연수는 $n = 7$이다. (참고로 $n=11$은 길이 $2$, $n=13$은 길이 $6$.)
5단계: 따라서 답은 $n = 7$이다.

📖 풀이:
1단계: 점 $A(-3, 0)$과 $P(p, 0)$은 모두 $x$축 위에 있으므로, 선분 $\overline{AP}$를 삼각형의 밑변으로 잡으면 길이는 $\overline{AP} = p - (-3) = p + 3$ ($p > 0$이므로 양수).
2단계: 점 $B(0, 4)$의 $y$좌표가 $4$이므로, 점 $B$에서 $x$축 (밑변이 놓인 직선)까지의 수직 거리, 즉 높이는 $4$이다.
3단계: 삼각형 넓이 공식에 대입: $\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \overline{AP} \times \text{높이} = \frac{1}{2}(p+3)(4) = 2(p+3)$.
4단계: 조건 $2(p+3) = 14$을 풀면 $p + 3 = 7$, 따라서 $p = 4$.

📖 풀이:
1단계: 직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 $a, b, c$라 하자. 한 면의 한 변은 $a = 4$, 그 면의 대각선 길이가 $5$이므로 면에 피타고라스 정리를 적용.
2단계: $a^2 + b^2 = 5^2$, 즉 $16 + b^2 = 25$이므로 $b^2 = 9$, $b = 3$.
3단계: 공간 대각선은 3차원 피타고라스 정리에 의해 $a^2 + b^2 + c^2 = 13^2 = 169$. 위에서 $a^2 + b^2 = 25$이므로 $c^2 = 169 - 25 = 144$, $c = 12$.
4단계: 부피 $= a \times b \times c = 4 \times 3 \times 12 = 144$.

📖 풀이:
1단계: D의 진술 "A와 B는 모두 거짓말쟁이다"를 분석한다. D가 참말쟁이라면 A, B가 모두 거짓말쟁이여야 한다. 그런데 A가 거짓말쟁이면 A의 진술 "B는 거짓말쟁이다"가 거짓이 되어 B는 참말쟁이가 되므로, B도 거짓말쟁이라는 것과 모순이다. 따라서 D는 거짓말쟁이다.
2단계: D가 거짓말쟁이이므로 C의 진술 "D는 거짓말쟁이다"는 참이다. 따라서 C는 참말쟁이다.
3단계: C가 참말쟁이이므로 B의 진술 "C는 거짓말쟁이다"는 거짓이다. 따라서 B는 거짓말쟁이다.
4단계: B가 거짓말쟁이이므로 A의 진술 "B는 거짓말쟁이다"는 참이다. 따라서 A는 참말쟁이다.
5단계: (검증) D의 진술 "A와 B는 모두 거짓말쟁이"는 실제로 A가 참말쟁이이므로 거짓이며, D가 거짓말쟁이라는 결론과 일관된다.
결론: 참말쟁이는 A, C이고 거짓말쟁이는 B, D로 거짓말쟁이는 정확히 2명이다. 정답 ② 2명.

📖 풀이:
1단계: 배의 정지수면 속력을 시속 v km, A-B 거리를 d km라 하자. 내려갈 때 속력 = v+4, 올라갈 때 속력 = v-4.
2단계: 거리 = 속력×시간이므로 $d = 2(v+4)$ ... ①, $d = 3(v-4)$ ... ②
3단계: ①=② → $2(v+4) = 3(v-4)$ → $2v+8 = 3v-12$ → $v=20$ (km/h)
4단계: $d = 2(20+4) = 48$ km

📖 풀이:
1단계: 두 직선의 교점 구하기. $-\frac{1}{2}x+3 = 2x-2$ → $\frac{5}{2}x = 5$ → $x=2$, $y=2$. 교점 P(2, 2).
2단계: 각 직선의 x절편 구하기. $y=-\frac{1}{2}x+3$에서 $y=0$이면 $x=6$ → A(6,0). $y=2x-2$에서 $y=0$이면 $x=1$ → B(1,0).
3단계: 삼각형 ABP의 밑변 AB = 6-1 = 5, 높이 = 점 P의 y좌표 = 2.
4단계: 넓이 = $\frac{1}{2}\times 5\times 2 = 5$

📖 풀이:
1단계: 상품 B를 x개 사면 상품 A는 (20-x)개. (단, 0≤x≤20)
2단계: 가격 조건: $800(20-x) + 1200x \leq 20000$
3단계: $16000 - 800x + 1200x \leq 20000$ → $400x \leq 4000$ → $x \leq 10$
4단계: x는 자연수(또는 0 이상의 정수)이므로 최대 10개.

📖 풀이:
1단계: 직육면체 표면 최단경로는 전개도 위의 직선거리. 전개 방법은 3가지가 있고 각각 비교해야 한다.
2단계: ① 앞면+윗면 펼침: 직선거리 = $\sqrt{(6+3)^2+4^2} = \sqrt{81+16} = \sqrt{97}$
3단계: ② 앞면+오른쪽면 펼침: 직선거리 = $\sqrt{(6+4)^2+3^2} = \sqrt{100+9} = \sqrt{109}$
4단계: ③ 옆면+윗면 펼침(다른 경로): 직선거리 = $\sqrt{6^2+(4+3)^2} = \sqrt{36+49} = \sqrt{85}$
5단계: 가장 작은 값은 $\sqrt{85}$.

📖 풀이:
1단계: AD∥BC(평행사변형 성질)이므로 ∠DAE = ∠AEB(엇각).
2단계: AE가 ∠A의 이등분선이므로 ∠BAE = ∠DAE.
3단계: 따라서 ∠BAE = ∠AEB. 즉, △ABE는 두 밑각이 같은 이등변삼각형이므로 BE = AB = 5cm.
4단계: EC = BC - BE = 8 - 5 = 3cm.

📖 풀이:
1단계: 분수가 유한소수가 되려면 기약분수의 분모가 2와 5만의 곱이어야 한다.
2단계: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$이므로, $\frac{a}{60}$이 유한소수가 되려면 a가 3의 배수여서 분모의 3을 약분으로 없애야 한다.
3단계: 한 자리 자연수 중 3의 배수: 3, 6, 9.
4단계: 검증. $\frac{3}{60}=\frac{1}{20}=0.05$(유한), $\frac{6}{60}=\frac{1}{10}=0.1$(유한), $\frac{9}{60}=\frac{3}{20}=0.15$(유한).
5단계: 답은 3개.

📖 풀이:
1단계: 일의 자리는 짝수여야 하므로 {2, 4, 6, 8} 중 하나. 일의 자리를 d라 하자.
2단계: 100의 자리 h는 d보다 커야 하고, d≠h.
- d=2: h ∈ {3,4,5,6,7,8,9} → 7가지
- d=4: h ∈ {5,6,7,8,9} → 5가지
- d=6: h ∈ {7,8,9} → 3가지
- d=8: h ∈ {9} → 1가지
3단계: h, d가 정해지면 10의 자리 t는 1~9 중 h, d를 제외한 7개에서 선택.
4단계: 경우의 수 합 = (7+5+3+1)×7 = 16×7 = 112.

📖 풀이:
1단계: 지수의 짝을 맞추기 위해 변형한다. $2^{12} \times 5^{10} = 2^{2} \times 2^{10} \times 5^{10} = 2^{2} \times (2 \times 5)^{10} = 4 \times 10^{10}$
2단계: $4 \times 10^{10} = 40000000000$ 이다.
3단계: 이 수는 맨 앞의 4 뒤에 0이 10개 있으므로 $1 + 10 = 11$자리 수이다.
4단계: 따라서 정답은 ① 11자리.

📖 풀이:
1단계: 세 식을 모두 더한다. $(x+y)+(y+z)+(z+x) = 7+10+9$
2단계: $2(x+y+z) = 26$ → $x+y+z = 13$
3단계: 각 변수 구하기. $z = 13 - (x+y) = 13-7 = 6$, $x = 13-(y+z) = 13-10 = 3$, $y = 13-(z+x) = 13-9 = 4$
4단계: $xyz = 3 \times 4 \times 6 = 72$
5단계: 재검토. $x=3, y=4, z=6$이면 $x+y=7$ ✓, $y+z=10$ ✓, $z+x=9$ ✓. $xyz = 72$. 정답은 ④ 72.

📖 풀이:
1단계: $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$로 소인수분해한다.
2단계: $\frac{n}{420}$이 유한소수가 되려면 약분 후 분모의 소인수가 2와 5뿐이어야 한다. 따라서 분모의 3과 7이 약분되어 사라지도록 분자 $n$이 $3 \times 7 = 21$의 배수여야 한다.
3단계: $1 \le n \le 100$에서 21의 배수는 $21, 42, 63, 84$로 4개이다.
4단계: 따라서 정답은 ① 4개.

📖 풀이:
1단계: 세제곱 공식 $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$를 이용한다. $a=x$, $b=\frac{1}{x}$로 놓으면 $ab = 1$.
2단계: $\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot 1 \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right)$이다.
3단계: $4^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot 4$이므로 $64 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 12$.
4단계: 따라서 $x^3 + \frac{1}{x^3} = 64 - 12 = 52$.

📖 풀이:
1단계: 정가를 x원이라 하면, 20% 할인한 판매가는 0.8x원이다.
2단계: 이익은 (판매가 - 원가) = 0.8x - 800 (원). 원가의 10% 이상의 이익을 남기려면 0.8x - 800 ≥ 800 × 0.1 = 80이어야 한다.
3단계: 0.8x ≥ 880, 양변을 0.8로 나누면 x ≥ 1100.
4단계: 따라서 정가는 최소 1100원 이상이어야 한다.

📖 풀이:
1단계: 정지된 물에서의 배의 속력을 $x$ km/h, 강물의 속력을 $y$ km/h라 하자. 상류로 거슬러 올라갈 때 실제 속력은 $(x-y)$, 하류로 내려올 때 실제 속력은 $(x+y)$이다.
2단계: 상류는 $12 = (x-y) \times 3$이므로 $x-y = 4$. 하류는 $12 = (x+y) \times 2$이므로 $x+y = 6$.
3단계: 두 식을 더하면 $2x = 10$, 즉 $x = 5$이고 $y = 6 - 5 = 1$이다.
4단계: 묻는 값은 배의 속력과 강물의 속력의 합 $x + y = 5 + 1 = 6$이다. 따라서 정답은 ② 6 km/h.