📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 유한소수가 되려면 기약분수의 분모가 2와 5만의 곱으로 표현되어야 한다.
2단계: 분자 7은 3의 배수가 아니고, 7과 3은 서로소이므로 분모의 3과 약분되지 않는다.
3단계: 따라서 기약분수로 만들어도 분모에 3이 남아있으므로, a, b 값에 관계없이 유한소수가 될 수 없다. 정답은 ③.

📖 풀이:
1단계: $\frac{1}{7}$의 순환마디가 142857이고, $\frac{k}{7}$ ($k=1\sim 6$)의 순환마디는 142857의 회전된 형태다.
2단계: $\frac{4}{7}$ = 4 × $\frac{1}{7}$ = 0.571428571428... 을 직접 계산하면 4 ÷ 7 = 0.571428...
3단계: 또는 142857 × 4 = 571428 이므로 $\frac{4}{7}$의 순환마디는 571428이고 첫 자리는 5. 정답은 ③.

📖 풀이:
1단계: $(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$.
2단계: 따라서 $x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$.
3단계: 값을 대입하면 $4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52$. 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: 학생 수를 $n$이라 하면 사탕은 5개씩 주고 8개가 남으므로 모두 $5n+8$개이다.
2단계: 6개씩 주면 앞의 $n-1$명이 6개씩 받고 마지막 한 명이 나머지 $r$개를 받는다. $5n+8 = 6(n-1) + r$에서 $r = 14 - n$이다.
3단계: 마지막 한 명이 하나도 받지 못하거나($r=0$) 1개 이상 5개 이하를 받으므로 $0 \leq r \leq 5$, 즉 $0 \leq 14-n \leq 5$이다. 이를 풀면 $9 \leq n \leq 14$.
4단계: 가능한 학생 수는 $n = 9,10,11,12,13,14$이고 그 합은 $9+10+11+12+13+14 = 69$이다. (검산: 각 경우 마지막 학생이 $5,4,3,2,1,0$개를 받는다.) 정답 ③.

📖 풀이:
1단계: A를 $x$개, B를 $y$개라 하면 $2x+3y \le 18$, $x+4y \le 16$, $x, y \ge 0$ 정수. 이익 $P = 3x + 5y$ 최대.
2단계: 경계값 후보: 두 직선 교점 풀이. $2x+3y=18$, $x+4y=16$ 연립 → $x = 16-4y$ 대입 → $2(16-4y)+3y=18 \Rightarrow 32-8y+3y=18 \Rightarrow 5y=14 \Rightarrow y=2.8$. 정수가 아니므로 근방 정수해 검사.
3단계: $(x,y)=(6,2)$: 재료 18, 시간 14 ○, P=28. $(x,y)=(4,3)$: 재료 17, 시간 16 ○, P=27. $(x,y)=(8,0)$: P=24. $(x,y)=(0,4)$: P=20. $(x,y)=(7,1)$: 재료 17, 시간 11, P=26. 최대는 (6,2)일 때 28만원. 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: 강을 거슬러 올라갈 때(상류) 속력은 $v_b - v_w = 6$, 따라 내려올 때(하류) 속력은 $v_b + v_w = 14$.
2단계: 두 식을 더하면 $2v_b = 20 \Rightarrow v_b = 10$. 빼면 $2v_w = 8 \Rightarrow v_w = 4$.
3단계: 따라서 $v_b - v_w = 10 - 4 = 6$. 정답은 ②. (또한 거슬러 올라갈 때의 속력 자체가 $v_b - v_w$ 이므로 6km/h.)

📖 풀이:
1단계: 직선 $y=-2x+6$의 x절편은 $(3,0)$, 직선 $y=x+k$의 x절편은 $(-k,0)$이다. 두 x절편 사이의 거리가 삼각형의 밑변이므로 밑변 $=3-(-k)=3+k$.
2단계: 두 직선의 교점은 $-2x+6=x+k$에서 $x=\frac{6-k}{3}$, $y=\frac{6+2k}{3}$. 교점이 제1사분면에 있으려면 $0<k<6$. 삼각형의 높이는 교점의 y좌표 $\frac{6+2k}{3}$이다.
3단계: 넓이 $=\frac{1}{2}(3+k)\cdot\frac{6+2k}{3}=\frac{(3+k)\cdot 2(3+k)}{6}=\frac{(3+k)^2}{3}$.
4단계: $\frac{(3+k)^2}{3}=12$에서 $(3+k)^2=36$, $3+k=6$ ($k>0$), 따라서 $k=3$.
검산: $k=3$이면 교점 $(1,4)$, 밑변 $6$, 높이 $4$, 넓이 $\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$. ✓

📖 풀이:
1단계: 두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 $-1$. $y = 3x - 1$의 기울기는 3이므로 수직 직선의 기울기는 $-\frac{1}{3}$.
2단계: 점 A(2, 5)를 지나므로 $y - 5 = -\frac{1}{3}(x - 2)$.
3단계: 정리하면 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} + 5 = -\frac{1}{3}x + \frac{17}{3}$. 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: 두 삼각형 ABM과 ACM에서 AB = AC (이등변삼각형 조건), BM = CM (M이 BC의 중점), AM = AM (공통변).
2단계: 따라서 세 변의 길이가 모두 같으므로 SSS 합동.
3단계: △ABM ≡ △ACM이므로 ∠AMB = ∠AMC. 두 각의 합이 180°(평각)이므로 각각 90°. 따라서 AM ⊥ BC. 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: DE ∥ BC이고 AD:AB = 2:5이므로 △ADE ∽ △ABC (AA 닮음), 닮음비 = 2:5.
2단계: 닮음비가 2:5이면 넓이비는 $2^2 : 5^2 = 4 : 25$. 즉 △ABC의 넓이를 25라 하면 △ADE의 넓이는 4.
3단계: 사다리꼴 DBCE의 넓이 = △ABC의 넓이 - △ADE의 넓이 = 25 - 4 = 21. 따라서 △ADE : 사다리꼴 DBCE = 4 : 21. 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 정육면체 한 변이 6cm. 밑면 정사각형 ABCD의 대각선 AC = $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}$ cm (피타고라스).
2단계: 공간대각선 AG는 직각삼각형 ACG (C에서 직각, AC와 CG 수직)에서, CG = 6cm (높이).
3단계: $AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ cm. 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: 5명을 자유롭게 줄 세우는 방법은 5! = 120가지.
2단계: A와 B의 순서는 (A 앞 / B 앞) 두 가지가 정확히 절반씩이므로, 'A가 B보다 앞에' 조건을 만족하는 비율은 1/2. 마찬가지로 C, D 조건도 1/2.
3단계: 두 조건은 서로 독립이므로 (서로 다른 인물 쌍), 가능한 방법 수 = $120 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 30$. 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$이다. 유한소수가 되려면 약분한 기약분수의 분모가 2와 5만으로 이루어져야 하므로, 분모의 인수 3과 7이 모두 약분되어야 한다. 즉 분자 $n$이 3과 7을 모두 인수로 가져야 하므로 $n$은 $21$의 배수이다.
2단계: 두 자리 자연수 중 $21$의 배수는 $21, 42, 63, 84$이다($105$는 세 자리). 따라서 개수는 4개이다.
3단계: 검산하면 $\frac{21}{420}=\frac{1}{20}=0.05$, $\frac{42}{420}=\frac{1}{10}=0.1$, $\frac{63}{420}=\frac{3}{20}=0.15$, $\frac{84}{420}=\frac{1}{5}=0.2$로 모두 유한소수이다. 정답 ① 4개.

📖 풀이:
1단계: 세제곱의 합 공식 $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$를 이용한다. $a = x$, $b = \frac{1}{x}$로 놓으면 $ab = 1$. 2단계: $\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot 1 \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right)$이므로, $4^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot 4$. 3단계: $64 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 12$이므로 $x^3 + \frac{1}{x^3} = 64 - 12 = 52$.

📖 풀이:
1단계: 정가는 $800\left(1 + \frac{x}{100}\right) = 800 + 8x$ (원)이다. 할인된 판매가는 $800 + 8x - 200 = 600 + 8x$ (원). 2단계: 한 개당 이익은 판매가 - 원가 = $(600 + 8x) - 800 = 8x - 200$ (원). 이 값이 100 이상이어야 하므로 $8x - 200 \geq 100$. 3단계: $8x \geq 300$이므로 $x \geq 37.5$. $x$는 정수이므로 최솟값은 38.

📖 풀이:
1단계: 전체 소금물 양에 대한 식 $x + y = 400$. 2단계: 소금의 양에 대한 식 $\frac{6}{100}x + \frac{10}{100}y = \frac{8}{100} \times 400$. 양변에 100을 곱하면 $6x + 10y = 3200$, 즉 $3x + 5y = 1600$. 3단계: $x + y = 400$에서 $x = 400 - y$를 대입하면 $3(400-y) + 5y = 1600$ → $1200 + 2y = 1600$ → $y = 200$, $x = 200$. 따라서 $x - y = 0$.

📖 풀이:
1단계: 두 직선의 $y$절편을 구한다. $y = 2x+6$에서 $x=0$이면 $y=6$. $y=-x+6$에서 $x=0$이면 $y=6$. 두 직선은 모두 점 (0,6)에서 $y$축과 만난다. 이 점을 P라 하자. 2단계: $x$축과의 교점을 구한다. $y=0$일 때 $2x+6=0$이므로 $x=-3$, 즉 C(-3,0). $-x+6=0$이므로 $x=6$, 즉 D(6,0). 3단계: 삼각형 PCD의 밑변 CD = $6 - (-3) = 9$, 높이는 P의 $y$좌표인 6. 넓이 = $\frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$.

📖 풀이:
1단계: 평행사변형 ABCD에서 $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이고 $\overline{AB} = \overline{DC}$이다. M은 AB의 중점이므로 $\overline{AM} = \frac{1}{2}\overline{AB}$, N은 DC의 중점이므로 $\overline{NC} = \frac{1}{2}\overline{DC}$. 2단계: 따라서 $\overline{AM} = \overline{NC}$이고, $\overline{AM}$은 $\overline{AB}$의 일부, $\overline{NC}$는 $\overline{DC}$의 일부이므로 $\overline{AM} \parallel \overline{NC}$. 3단계: 사각형 AMCN에서 한 쌍의 대변(AM과 NC)이 평행하고 길이가 같으므로 평행사변형이다. 일반적인 평행사변형 ABCD에서는 AM과 MC, CN과 NA의 길이가 같다는 보장이 없으므로 마름모나 직사각형이 되지는 않는다.

📖 풀이:
1단계: 두 원기둥이 닮은꼴이므로 닮음비는 높이의 비와 같다. 닮음비 = 6 : 9 = 2 : 3. 2단계: 닮은 입체도형의 부피비는 닮음비의 세제곱과 같다. 따라서 부피비 = $2^3 : 3^3 = 8 : 27$. 3단계: 원기둥 A의 부피를 $V_A = 48\pi$, 원기둥 B의 부피를 $V_B$라 하면 $48\pi : V_B = 8 : 27$이므로 $V_B = \frac{48\pi \times 27}{8} = 6\pi \times 27 = 162\pi$ cm³.

📖 풀이:
1단계: 직육면체 표면 최단경로는 두 면을 펼친 전개도에서의 직선거리이다. A에서 G까지 두 면을 지나는 전개는 세 가지다.
2단계:
- 가로 4와 세로 3을 이어 붙이고 높이 12를 다른 변으로: $\sqrt{(4+3)^2+12^2}=\sqrt{49+144}=\sqrt{193}$
- 세로 3과 높이 12를 이어 붙이고 가로 4를 다른 변으로: $\sqrt{(3+12)^2+4^2}=\sqrt{225+16}=\sqrt{241}$
- 가로 4와 높이 12를 이어 붙이고 세로 3을 다른 변으로: $\sqrt{(4+12)^2+3^2}=\sqrt{256+9}=\sqrt{265}$
3단계: 세 값 중 최솟값은 $\sqrt{193}\approx13.9$ cm이다. 따라서 최단거리는 $\sqrt{193}$ cm.
(참고: $13$ cm는 표면이 아니라 내부를 가로지르는 공간대각선 $\sqrt{4^2+3^2+12^2}=\sqrt{169}=13$이므로 표면경로가 아니다.)

📖 풀이:
1단계: 5명을 일렬로 세우는 전체 경우의 수는 $5! = 120$이다. 2단계: A와 B의 순서만 보면 (A가 앞, B가 뒤) 또는 (B가 앞, A가 뒤) 두 가지가 동등하게 가능하므로, A가 B보다 앞에 설 확률은 $\frac{1}{2}$. 마찬가지로 C가 D보다 앞에 설 확률도 $\frac{1}{2}$. 3단계: 두 조건은 서로 독립이므로(A,B의 순서와 C,D의 순서는 서로 영향을 주지 않는다), 두 조건을 모두 만족하는 경우의 수는 $120 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 30$.

📖 풀이:
1단계: 삼각형 ABD와 ACD에서 다음을 살펴본다. (i) $\overline{AB} = \overline{AC}$ (이등변삼각형의 정의). (ii) $\angle BAD = \angle CAD$ (AD는 각 A의 이등분선). (iii) $\overline{AD}$는 공통변. 2단계: 두 삼각형에서 두 변($\overline{AB}=\overline{AC}$, $\overline{AD}$ 공통)의 길이가 같고, 그 끼인각($\angle BAD = \angle CAD$)이 같다. 이는 SAS 합동조건이다. 3단계: SAS 합동에 의해 $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$이므로 $\overline{BD} = \overline{CD}$, 즉 D는 BC의 중점이다. 동시에 $\angle ADB = \angle ADC = 90°$도 성립해 AD는 BC의 수직이등분선이다.

📖 풀이:
1단계: 가로등 높이를 $h$ m라 하자. 가로등의 끝과 그림자 끝, 그리고 가로등의 밑이 큰 직각삼각형을 이룬다. 이 큰 삼각형의 밑변은 (가로등에서 사람까지 거리) + (그림자 길이) = $6 + 2 = 8$ m, 높이는 $h$ m. 2단계: 사람의 키와 그림자가 작은 직각삼각형을 이룬다. 작은 삼각형의 밑변 = 2 m, 높이 = 1.6 m. 빛이 직선이므로 두 삼각형은 닮음(AA 닮음, 공통각과 직각). 3단계: 닮음비에서 $\frac{h}{8} = \frac{1.6}{2}$. 따라서 $h = 8 \times \frac{1.6}{2} = 8 \times 0.8 = 6.4$ m.

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 부등식 $2x - 3 \leq 5$를 풀면 $2x \leq 8$, 즉 $x \leq 4$. 2단계: 두 번째 부등식 $x + a > 1$을 풀면 $x > 1 - a$. 두 부등식의 공통 범위가 연립부등식의 해 $-2 < x \leq 4$이므로 $x > 1-a$에서 $1 - a = -2$가 되어야 한다. 3단계: $1 - a = -2$이므로 $a = 3$. 검산: $a=3$이면 $x + 3 > 1$, 즉 $x > -2$. 첫 번째 부등식 $x \leq 4$와 합치면 $-2 < x \leq 4$로 일치한다.

📖 풀이:
1단계: 순환마디 '142857'의 길이는 6이다. 즉, 소수점 아래 1, 7, 13, 19번째 자리 등은 모두 같은 숫자가 반복된다.
2단계: 100번째 자리가 순환마디 안에서 몇 번째에 해당하는지 보려면 100을 6으로 나누어야 한다. 100 ÷ 6 = 16 나머지 4.
3단계: 나머지 4는 17번째 순환마디의 4번째 자리에 해당한다. 순환마디 '1, 4, 2, 8, 5, 7'의 4번째 숫자는 8.
4단계: 따라서 소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 8.