📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 각 부등식을 정리한다. 첫째 $2x-1 < 3x+a \Rightarrow -1-a < x$, 즉 $x > -1-a$. 둘째 $4x-5 \leq 2x+3 \Rightarrow 2x \leq 8 \Rightarrow x \leq 4$.
2단계: 공통해는 $-1-a < x \leq 4$이다. 이 구간에 속하는 정수가 정확히 5개가 되려면 가장 큰 정수가 4이므로 그 5개는 $0,1,2,3,4$이어야 한다.
3단계: 정수 0은 포함되고 $-1$은 제외되어야 하므로 경계 $-1-a$가 $-1 \leq -1-a < 0$을 만족해야 한다. $-1-a < 0$에서 $a > -1$이고, $-1-a \geq -1$에서 $a \leq 0$이다. 따라서 $-1 < a \leq 0$, 정답 ③.

📖 풀이:
1단계: 두 직선의 교점 P를 구한다. $2x+3 = -x+6$에서 $3x = 3$, $x=1$이고 $y = 2 \times 1 + 3 = 5$이므로 P$(1,5)$이다.
2단계: 기울기가 $-2$인 직선은 $y = -2x + b$ 꼴이다.
3단계: P$(1,5)$를 대입하면 $5 = -2 \times 1 + b$에서 $b = 7$이다. 따라서 직선의 방정식은 $y = -2x + 7$, 정답 ①이다.

📖 풀이:
1단계: 두 점 사이 거리 공식 $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$로 각 변의 길이를 구한다.
2단계: $AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. $BC = \sqrt{(8-4)^2+(3-6)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$. $CA = \sqrt{(8-1)^2+(3-2)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
3단계: 둘레 $= 5 + 5 + 5\sqrt{2} = 10 + 5\sqrt{2}$ (약 $17.07$). 따라서 정답은 $10+5\sqrt{2}$이다.
(참고: B에서 두 변이 수직이라 B가 직각인 직각이등변삼각형이며, 빗변 $CA=5\sqrt{2}$이다.)

📖 풀이:
1단계: 닮음인 입체도형에서 길이비가 m:n이면 넓이비는 $m^2:n^2$, 부피비는 $m^3:n^3$이다.
2단계: 겉넓이 비가 $49\pi : 100\pi = 49:100 = 7^2:10^2$이므로 길이비는 7:10이다.
3단계: 부피비는 길이비의 세제곱인 $7^3:10^3 = 343:1000$이다.

📖 풀이:
1단계: 두 분수를 통분하면 $\frac{1}{12}+\frac{n}{30}=\frac{5}{60}+\frac{2n}{60}=\frac{5+2n}{60}$.
2단계: 60 = 2²·3·5이므로, 유한소수가 되려면 분자 (5+2n)이 분모의 인수 3을 포함하여 약분으로 제거해야 한다. 즉 5+2n이 3의 배수여야 한다.
3단계: 5+2n ≡ 0 (mod 3) ⟺ 2+2n ≡ 0 (mod 3) ⟺ n ≡ 2 (mod 3).
4단계: 1 ≤ n ≤ 30에서 n = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29의 총 10개.

📖 풀이:
1단계: a는 $x^2-3x+1=0$의 근이므로 $a^2-3a+1=0$. 양변을 a로 나누면 $a-3+\frac{1}{a}=0$, 즉 $a+\frac{1}{a}=3$.
2단계: 세제곱 전개식 이용. $(a+\frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a^2\cdot\frac{1}{a} + 3a\cdot\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = a^3+\frac{1}{a^3} + 3(a+\frac{1}{a})$.
3단계: $3^3 = a^3+\frac{1}{a^3} + 3\cdot 3$, 27 = $a^3+\frac{1}{a^3}$ + 9.
4단계: 따라서 $a^3+\frac{1}{a^3} = 18$.

📖 풀이:
1단계: 분자에서 $4^n$을 공통인수로 묶는다. $4^{n+1}-4^n = 4^n(4-1) = 3\cdot 4^n$.
2단계: 분모에서 $4^{n-1}$을 공통인수로 묶는다. $4^n+4^{n-1} = 4^{n-1}(4+1) = 5\cdot 4^{n-1}$.
3단계: $\frac{3\cdot 4^n}{5\cdot 4^{n-1}} = \frac{3}{5}\cdot 4 = \frac{12}{5}$.

📖 풀이:
1단계: A, B의 개수를 각각 a, b로 놓으면 조건은 $a+b \le 50$, $a \ge 2b$, a,b는 0 이상의 정수. 이익 $P = 1500a+2000b$.
2단계: B 1개당 이익이 더 크므로 b를 최대한 키우는 것이 유리. 그러나 $a \ge 2b$ 제약이 있으므로 무한정 키울 수 없다. 또 총개수 제한 때문에 a+b=50 경계에서 최적을 찾는다(a 줄이고 b를 늘릴수록 유리).
3단계: a = 50 - b를 $a \ge 2b$에 대입: $50 - b \ge 2b$, $b \le \frac{50}{3}$. 정수이므로 b ≤ 16.
4단계: b = 16일 때 a = 34, 이익 = 1500·34 + 2000·16 = 51000 + 32000 = 83000원. (a = 2b = 32 조건 34 ≥ 32 만족.)

📖 풀이:
1단계: 세 식을 모두 더하면 $(x+y)+(y+z)+(x+z) = 2(x+y+z) = 9+11+10 = 30$, 즉 $x+y+z=15$.
2단계: 전체합에서 한 식씩 빼서 개별값을 분리.
z = 15 - (x+y) = 15 - 9 = 6.
x = 15 - (y+z) = 15 - 11 = 4.
y = 15 - (x+z) = 15 - 10 = 5.
3단계: 곱 $xyz = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$.

📖 풀이:
1단계: 직선 $y=ax+2$는 a 값과 무관하게 항상 고정점 (0, 2)를 지난다(y절편 2로 일정).
2단계: 따라서 이 직선은 (0, 2)를 축으로 회전하는 직선군이다. 선분 AB와 만나려면, 회전 범위가 A에서 B를 쓸고 지나가는 구간에 있어야 한다.
3단계: A(1, 5) 대입: $5 = a \cdot 1 + 2$, $a = 3$. B(6, 0) 대입: $0 = 6a + 2$, $a = -\frac{1}{3}$.
4단계: 고정점 (0, 2)에서 본 선분 AB를 회전으로 쓸려면 a는 두 경계 사이 값. $-\frac{1}{3} \le a \le 3$.

📖 풀이:
1단계: 좌표 설정. 일반성을 잃지 않고 A(0, 0), B(b, 0), D(d, h), C(b+d, h)로 두자(b, h > 0).
2단계: M은 BD를 1 : 2로 내분. $M = \frac{2B + D}{3} = \left(\frac{2b+d}{3}, \frac{h}{3}\right)$.
3단계: 직선 AM은 원점에서 M을 지나므로 매개변수 t로 $(x, y) = \left(t\cdot\frac{2b+d}{3}, t\cdot\frac{h}{3}\right)$. 변 BC 위의 점은 $(b+sd, sh)$, $0 \le s \le 1$.
4단계: y좌표 비교 $t \cdot \frac{h}{3} = sh$ → $s = \frac{t}{3}$. x좌표 비교 $t\cdot\frac{2b+d}{3} = b + sd = b + \frac{t}{3}d$ → $\frac{2tb}{3} = b$ → $t = \frac{3}{2}$.
5단계: $s = \frac{1}{2}$이므로 P는 BC의 중점. 따라서 $BP : PC = 1 : 1$.

📖 풀이:
1단계: 각의 이등분선 정리: 삼각형 ABC에서 각 A의 이등분선이 대변 BC와 만나는 점을 D라 하면, $BD : DC = AB : AC$.
2단계: 증명 개요(닮음으로): 점 C에서 선분 AD와 평행한 직선이 변 AB의 연장선과 만나는 점을 E라 하자. $\angle BAD = \angle AEC$(동위각), $\angle DAC = \angle ACE$(엇각)이고 $\angle BAD = \angle DAC$이므로 $\angle AEC = \angle ACE$, 삼각형 AEC는 이등변이 되어 $AE = AC$. 그리고 $\triangle BAD$ ~ $\triangle BEC$에서 $BD : DC = AB : AE = AB : AC$.
3단계: 비 대입. $BD : DC = 12 : 18 = 2 : 3$.
4단계: $BD = BC \cdot \frac{2}{2+3} = 21 \cdot \frac{2}{5} = \frac{42}{5}$.

📖 풀이:
1단계: '영국국기 정리(British Flag Theorem)'에 의해, 정사각형 ABCD 내부(또는 위)의 임의의 점 P에 대하여 $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$가 성립한다. (대각으로 마주보는 두 꼭짓점까지의 거리 제곱합이 서로 같다.)
2단계: 증명 개요: 점 P에서 네 변에 수선의 발을 내리면, 정사각형은 P를 중심으로 4개의 작은 직사각형으로 분할되고, 피타고라스 정리를 네 꼭짓점 각각에 적용해 양변 비교로 위 식이 얻어진다.
3단계: 대입. $3^2 + 6^2 = 4^2 + PD^2$, 즉 $9 + 36 = 16 + PD^2$.
4단계: $PD^2 = 45 - 16 = 29$, $PD = \sqrt{29}$.

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수는 10개 중 서로 다른 2개를 고르는 조합 $\binom{10}{2} = 45$.
2단계: '곱이 짝수'의 여사건은 '곱이 홀수'이고, 두 수의 곱이 홀수가 되려면 두 수 모두 홀수여야 한다.
3단계: 1~10 중 홀수는 {1, 3, 5, 7, 9}로 5개. 여기서 2개를 뽑는 경우의 수는 $\binom{5}{2} = 10$.
4단계: 여사건 확률 $\frac{10}{45} = \frac{2}{9}$, 따라서 구하는 확률은 $1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

📖 풀이:
1단계: 진술 간 구조 파악. D는 'B가 참'이라 했으므로 B와 D는 항상 같은 진리값을 가진다(둘 다 참 또는 둘 다 거짓). C는 'A는 거짓'이라 했으므로 A와 C는 항상 반대 진리값(정확히 한쪽만 참).
2단계: 참이 정확히 1명이려면 (A, C) 조에서 1명 참 + (B, D) 조에서 0명 참 이어야 한다(다른 배분은 총 개수가 2 이상). 즉 B와 D는 모두 거짓.
3단계: B가 거짓 ⟺ 'B는 만점을 받지 않았다'가 거짓 ⟺ B가 만점.
4단계: B가 만점인지 확인. A('만점자는 C')는 거짓 ✓. C('A는 거짓')는 참 ✓. D('B는 참')은 거짓 ✓. 참은 C 한 명뿐이므로 조건 만족. 답은 B.

📖 풀이:
1단계: $10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7$ 로 소인수 분해.
2단계: 식에 대입하면 $\dfrac{5^{10} \cdot 2^7}{2^7 \cdot 5^7 \cdot 5^3} = \dfrac{5^{10} \cdot 2^7}{2^7 \cdot 5^{10}}$.
3단계: 같은 밑수끼리 약분하면 $2^7$과 $5^{10}$이 모두 완전히 소거되어 값은 1.

📖 풀이:
1단계: 0.4̇ = 4/9로 나타낸다. (순환마디 1자리이므로 분모는 9)
2단계: 0.1̇2̇ = 12/99로 나타낸 후 약분하면 4/33. (순환마디 2자리이므로 분모는 99)
3단계: 4/9와 4/33을 통분한다. 9=3², 33=3·11이므로 최소공배수는 99. 4/9 = 44/99, 4/33 = 12/99.
4단계: 합은 44/99 + 12/99 = 56/99.
5단계: 56=2³·7, 99=3²·11이므로 공통 소인수가 없어 기약분수이다. 따라서 a=56, b=99이고 a+b = 155.

📖 풀이:
1단계: 주어진 식의 양변을 제곱한다. $(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.
2단계: 좌변을 전개하면 $x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$.
3단계: 따라서 $x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 5$.
4단계: 양변에 2를 더하면 $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$.
5단계: 함정: 묻는 식은 $x^2+\frac{1}{x^2}$이지 $x+\frac{1}{x}$가 아님에 주의. 부호가 달라도 제곱이 같아 결과가 같은 구조이다.

📖 풀이:
1단계: 절댓값 부등식 |A| < k (k>0)는 -k < A < k와 동치이다. 따라서 -7 < 2x - 1 < 7.
2단계: 세 변에 1을 더하면 -6 < 2x < 8.
3단계: 세 변을 2로 나누면 -3 < x < 4.
4단계: 부등호가 모두 <(등호 없음)이므로 -3과 4는 포함하지 않는다. 범위를 만족하는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2, 3 (총 6개).
5단계: 합은 (-2)+(-1)+0+1+2+3 = 3.

📖 풀이:
1단계: 원래 수의 십의 자리 숫자를 a, 일의 자리 숫자를 b라 하면 원래 수 = 10a+b, 자리를 바꾼 수 = 10b+a.
2단계: 조건 '자릿수 합이 11'에서 a+b = 11 ... (식1).
3단계: 조건 '바꾼 수가 27 큼'에서 (10b+a) - (10a+b) = 27, 정리하면 9b - 9a = 27, 즉 b - a = 3 ... (식2).
4단계: (식1)과 (식2)를 더하면 2b = 14, b = 7. (식1)에서 a = 4.
5단계: 원래 수 = 10×4 + 7 = 47. 검산: 4+7=11 (O), 74-47=27 (O).

📖 풀이:
1단계: 각 직선의 y축과의 교점을 구한다. y=x+2에 x=0 대입: y=2, A(0, 2). y=-2x+8에 x=0 대입: y=8, B(0, 8).
2단계: 두 직선의 교점 P를 구한다. x + 2 = -2x + 8, 3x = 6, x = 2. y = 2+2 = 4. 따라서 P(2, 4).
3단계: 밑변 AB는 y축 위의 선분이므로 그 길이는 |8 - 2| = 6.
4단계: 밑변이 y축 위에 있을 때 높이는 남은 꼭짓점의 x좌표의 절댓값이다. 점 P의 x좌표가 2이므로 높이 = 2.
5단계: 삼각형의 넓이 = $\frac{1}{2} \times 밑변 \times 높이 = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$.

📖 풀이:
1단계: 원주각 정리에 따르면 '반원에 대한 원주각은 90°'이다. 그 역도 성립하므로 한 각이 90°인 삼각형의 그 각에 대한 대변(빗변)은 외접원의 지름이 된다.
2단계: 따라서 직각삼각형 ABC에서 빗변 AB는 외접원의 지름이며, 그 중점이 외심 O이다.
3단계: 피타고라스 정리로 빗변 AB의 길이를 구한다. $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, 따라서 AB = 10cm.
4단계: O는 AB의 중점이므로 AO = AB ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5cm.
5단계: 확인: OA = OB = OC = 5cm (외심은 세 꼭짓점에서 거리가 같으므로 이것이 외심의 정의와 일치).

📖 풀이:
1단계: 대각선 AC를 긋고 그 중점을 P라 하자.
2단계: 삼각형 ABC에서 M은 AB의 중점, P는 AC의 중점이다. 중점연결정리에 의해 $MP \parallel BC$이고 $MP = \frac{1}{2} BC = \frac{14}{2} = 7$cm.
3단계: 삼각형 ACD에서 P는 AC의 중점, N은 CD의 중점이다. 중점연결정리에 의해 $PN \parallel AD$이고 $PN = \frac{1}{2} AD = \frac{6}{2} = 3$cm.
4단계: $AD \parallel BC$이므로 MP와 PN은 모두 같은 방향의 평행선이다. 따라서 세 점 M, P, N은 같은 직선 위에 있다.
5단계: MN = MP + PN = 7 + 3 = 10cm. 일반화: 사다리꼴 중점선 공식 $MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{6+14}{2} = 10$.

📖 풀이:
1단계: 직육면체 표면 위의 최단경로는 입체를 두 면으로 펼친 전개도 위의 '직선 거리'와 같다.
2단계: A와 G를 잇는 경로는 서로 다른 세 쌍의 면 조합으로 펼칠 수 있다.
경우(가) 앞면(2×6)+오른쪽면(4×6)을 펼침: 전체 가로 2+4=6, 세로 6. 대각선 = $\sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
경우(나) 앞면(2×6)+윗면(2×4)을 펼침: 가로 2, 세로 6+4=10. 대각선 = $\sqrt{2^2+10^2} = \sqrt{104}$.
경우(다) 바닥면(2×4)+오른쪽면(4×6)을 펼침: 가로 2+6=8, 세로 4. 대각선 = $\sqrt{8^2+4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
3단계: 세 값의 대소를 비교한다. $6\sqrt{2}=\sqrt{72}$, $4\sqrt{5}=\sqrt{80}$, $\sqrt{104}$. 72 < 80 < 104이므로 가장 짧은 것은 $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.
4단계: 따라서 실의 최소 길이는 $6\sqrt{2}$ cm (≈ 8.49cm).

📖 풀이:
1단계: '반드시'라는 조건은 가장 운이 나쁜(최악의) 경우에도 성립해야 한다는 뜻이다.
2단계: 최악의 경우는 꺼낸 양말들이 되도록 서로 다른 색이 되는 경우이다. 색이 3가지(빨, 파, 노)이므로 3짝까지는 모두 다른 색일 수 있다(예: 빨 1, 파 1, 노 1).
3단계: 이때는 어느 색도 2짝이 아니므로 같은 색 한 켤레가 없다.
4단계: 그러나 4번째 양말을 꺼내는 순간, 색이 3가지뿐이므로 그 양말의 색은 반드시 이미 꺼낸 3가지 색 중 하나와 같다(비둘기집 원리).
5단계: 그 순간 같은 색이 2짝이 되어 한 켤레가 완성된다. 따라서 최소 4짝을 꺼내야 한다.