📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 가로등 꼭대기, 막대 꼭대기, 그림자 끝이 한 빛 줄기 위에 있으므로 두 개의 직각삼각형이 만들어지며, 공통각(그림자 끝의 각)을 가지므로 AA 닮음이다.
2단계: 큰 삼각형의 밑변 = 가로등에서 그림자 끝까지 = $5 + 2 = 7$m, 높이 = $H$. 작은 삼각형의 밑변 = 2m, 높이 = 1.6m.
3단계: 닮음비에 의해 $\frac{H}{7} = \frac{1.6}{2}$이므로 $H = 7 \times 0.8 = 5.6$m.

📖 풀이:
1단계: 원뿔 옆면을 펼치면 반지름 12인 부채꼴이 된다. 부채꼴의 호 길이 = 원뿔 밑면 둘레 = $2\pi \times 3 = 6\pi$.
2단계: 반지름 12인 원 전체의 둘레는 $2\pi \times 12 = 24\pi$이므로 부채꼴 중심각은 $\frac{6\pi}{24\pi} \times 360° = 90°$.
3단계: 전개도에서 A와 A'는 O에서 거리 12이고 사잇각 90°인 두 점이다. 피타고라스 정리에 의해 $AA' = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: 조건 (나) - 1, 2, 3 중 짝수는 2뿐이므로 $C = 2$.
2단계: A, B는 남은 수 1과 3을 나눠 갖는다. 이때 $A + B = 1 + 3 = 4$이므로 조건 (다)가 자동으로 만족된다.
3단계: 조건 (가) $A < B$에서 $A = 1, B = 3$. 따라서 A가 가진 수는 1.

📖 풀이:
1단계: $0.\dot{3}\dot{6} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$ (11과 4는 서로소이므로 기약분수).
2단계: $\frac{4}{11} \times k$가 자연수가 되려면, $k$는 분모의 11을 소거하고 분자의 4와 곱해 자연수를 만들어야 한다. 즉 $k = \frac{11m}{4}$ ($m$은 자연수) 꼴. 가장 작은 양의 값은 $m = 1$일 때 $k = \frac{11}{4}$.
3단계: 검증 - $\frac{4}{11} \times \frac{11}{4} = 1$ (자연수). $\frac{11}{4}$은 이미 기약분수이므로 분자 + 분모 = $11 + 4 = 15$.

📖 풀이:
1단계: 곱셈공식 $(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$을 생각한다.
2단계: 이 식을 변형하면 $a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2$.
3단계: 주어진 값을 대입하면 $5^2 - 2 \times 2^2 = 25 - 8 = 17$.

📖 풀이:
1단계: 전체 6개 공에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 $_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
2단계: 여사건 '같은 색 2개'의 경우의 수 - 빨간끼리 $_3C_2 = 3$, 파란끼리 $_2C_2 = 1$, 노란은 1개뿐이므로 0. 합계 $3 + 1 + 0 = 4$.
3단계: 서로 다른 색일 확률 = $1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$.

📖 풀이:
1단계: 유한소수가 되는 조건은 기약분수의 분모가 2와 5만의 곱으로 이루어져야 한다.
2단계: 분모 $2^a \times 5^b \times 3$에는 3이 포함되어 있으므로, 이 3을 없애야 한다.
3단계: 분자 7에 3을 곱하면 분자는 21=3×7이 되고, 분모의 3과 약분되어 분모가 $2^a \times 5^b$만 남아 유한소수가 된다. 따라서 곱해야 할 최소 자연수는 3이다.

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 부등식 $3x-2 \geq x+4$에서 $2x \geq 6$이므로 $x \geq 3$. 이것이 해 $3 \leq x < 5$의 왼쪽 조건과 일치한다.
2단계: 두 번째 부등식 $2x - a < 10$에서 $2x < 10+a$이므로 $x < \frac{10+a}{2}$.
3단계: 이 값이 5와 같아야 하므로 $\frac{10+a}{2} = 5$, 즉 $10+a = 10$, 따라서 $a = 0$.

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1단계: 배의 정지 속력을 $x$ km/h, 강물의 속력을 $y$ km/h라 하면, 내려갈 때 속력은 $x+y$, 올라갈 때 속력은 $x-y$이다.
2단계: 내려갈 때 $(x+y) \times 2 = 24$이므로 $x+y = 12$. 올라갈 때 $(x-y) \times 3 = 24$이므로 $x-y = 8$.
3단계: 두 식을 더하면 $2x = 20$이므로 $x = 10$, $y = 2$. 따라서 배의 정지 속력은 10 km/h, 강물의 속력은 2 km/h.

📖 풀이:
1단계: y=0을 대입하면 $0 = -\frac{1}{2}x + 3$, $x = 6$이므로 x축 절편 A(6, 0).
2단계: x=0을 대입하면 $y = 3$이므로 y축 절편 B(0, 3).
3단계: 삼각형 OAB는 직각삼각형이며 밑변 OA=6, 높이 OB=3이다. 따라서 넓이는 $\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$.

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1단계: 평행사변형의 성질에서 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 따라서 AO=CO, BO=DO (대응하는 두 변).
2단계: 각 AOB와 각 COD는 맞꼭지각이므로 서로 같다 (끼인각이 같음).
3단계: 두 변의 길이가 같고 그 끼인각이 같으므로 SAS 합동 조건을 만족한다.

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1단계: 닮은 도형에서 길이의 비(닮음비)가 $m:n$이면, 넓이의 비는 $m^2:n^2$이다.
2단계: 닮음비가 2:3이므로 넓이의 비는 $2^2:3^2 = 4:9$.
3단계: 참고로 부피의 비는 $m^3:n^3 = 8:27$이 된다. 이 문제에서는 넓이이므로 4:9가 답이다.

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1단계: 피타고라스의 정리로 각 변 길이 계산. $AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
2단계: $BC = \sqrt{(7-4)^2+(2-6)^2} = \sqrt{9+16} = 5$. $AC = \sqrt{(7-1)^2+(2-2)^2} = 6$.
3단계: AB=BC=5, AC=6이므로 두 변의 길이가 같은 이등변삼각형. 직각 여부는 $5^2+5^2=50 \neq 36=6^2$이므로 직각이 아니다. 따라서 이등변삼각형.

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수는 9장에서 3장을 순서대로 뽑으므로 $9 \times 8 \times 7 = 504$이다.
2단계: 3의 배수 조건은 세 숫자의 합이 3의 배수인 것이다. 1부터 9까지를 3으로 나눈 나머지로 분류하면 나머지 0: $\{3,6,9\}$, 나머지 1: $\{1,4,7\}$, 나머지 2: $\{2,5,8\}$이다.
3단계: 세 수의 합이 3의 배수가 되는 (순서 무시) 조합은 모두 같은 나머지인 $(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2)$ 각 1가지와 세 나머지를 하나씩 고르는 $(0,1,2)$의 $3 \times 3 \times 3 = 27$가지로, 합 $1+1+1+27 = 30$가지이다.
4단계: 각 조합에서 홀수(일의 자리가 홀수)인 배열의 수는 (조합 속 홀수의 개수) $\times 2!$이다. 홀수는 $1,3,5,7,9$이므로 $\{3,6,9\}$에 2개, $\{1,4,7\}$에 2개, $\{2,5,8\}$에 1개가 들어 있어 같은 나머지 세 조합의 홀수 배열 수는 $2 \times 2 + 2 \times 2 + 1 \times 2 = 10$이다.
5단계: $(0,1,2)$형 27개 조합에서 홀수 개수의 총합은 나머지 0칸 $2 \times 9$, 나머지 1칸 $2 \times 9$, 나머지 2칸 $1 \times 9$로 $18+18+9 = 45$이고, 홀수 배열 수는 $45 \times 2 = 90$이다.
6단계: 홀수이면서 3의 배수인 경우의 수는 $10+90 = 100$이다. 따라서 확률은 $\frac{100}{504} = \frac{25}{126}$이다.

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1단계: $2^{10} \times 5^{13} = 5^3 \times (2^{10} \times 5^{10}) = 125 \times 10^{10}$이다.
2단계: $125 \times 10^{10}$은 $125$ 뒤에 0이 10개 붙은 수 $1250000000000$이므로 자릿수는 $3 + 10 = 13$자리이다.
3단계: 지수로도 확인하면 $125 \times 10^{10} = 1.25 \times 10^{12}$인데, $10^{12}$이 13자리수이고 $1.25 \times 10^{12}$은 $10^{12}$과 $10^{13}$ 사이의 수이므로 13자리이다. 따라서 정답은 ① 13자리이다.

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1단계: 3% 소금물을 $x$g, 8% 소금물을 $y$g이라 하면, 총량 조건: $x+y=500$.
2단계: 소금의 양 조건: $\frac{3}{100}x + \frac{8}{100}y = \frac{5}{100} \times 500$, 즉 $3x+8y = 2500$.
3단계: 첫 식에서 $x=500-y$. 이를 두 번째 식에 대입: $3(500-y)+8y=2500$, $1500+5y=2500$, $5y=1000$, $y=200$. 따라서 $x=300$. 즉 3% 소금물 300g, 8% 소금물 200g.

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1단계: ∠A의 이등분선 AD를 그으면 ∠BAD=∠CAD (이등분선의 정의).
2단계: 삼각형 ABD와 ACD에서 AD는 공통, ∠BAD=∠CAD, 그리고 가정에서 ∠B=∠C이다. 따라서 나머지 각 ∠ADB=∠ADC(삼각형 내각의 합=180°).
3단계: ASA 합동 조건(∠BAD, AD, ∠ADB = ∠CAD, AD, ∠ADC)에 의해 삼각형 ABD ≡ ACD. 대응변으로 AB=AC이다.

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1단계: 직선의 x절편과 y절편을 구한다. y=0일 때 x=-4이므로 A(-4,0), x=0일 때 y=3이므로 B(0,3). 삼각형 OAB의 넓이는 $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.
2단계: 삼각형 OAP의 넓이는 6의 $\frac{2}{3}$인 4가 되어야 한다. 점 P의 좌표를 (p, q)라 하면, 밑변을 OA(길이 4)로 보았을 때 높이는 P의 y좌표 q이다. 따라서 $\frac{1}{2} \times 4 \times q = 4$, q=2.
3단계: P는 직선 위의 점이므로 $2 = \frac{3}{4}p + 3$에서 $\frac{3}{4}p = -1$, $p = -\frac{4}{3}$. 따라서 $P(-\frac{4}{3}, 2)$.

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1단계: $x^2 - 3x + 1 = 0$의 양변을 x로 나눈다(x≠0). $x - 3 + \frac{1}{x} = 0$이므로 $x + \frac{1}{x} = 3$.
2단계: $(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$에서 $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$.
3단계: $x^3 + \frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}) = 3 \times (7-1) = 3 \times 6 = 18$.

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1단계: 삼각형 ABD와 삼각형 CBA를 비교한다. ∠B는 공통이고, ∠BAD = ∠BCA(조건)이므로 AA 닮음에 의해 △ABD ∽ △CBA이다.
2단계: 대응변의 비를 세운다. AB:CB = BD:BA이므로 $\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA}$, 즉 $\frac{6}{9} = \frac{BD}{6}$.
3단계: BD = $\frac{6 \times 6}{9} = 4$.

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1단계: 직육면체 표면을 따라가는 최단경로는 두 면을 펼친 전개도 위에서의 직선거리와 같다. A는 앞면 왼쪽 아래, G는 뒷면 오른쪽 위 꼭짓점이며, 바닥면을 지나지 않는 전개를 찾는다.
2단계: 바닥을 지나지 않는 전개는 다음 세 가지다.
- 앞면+윗면 펼치기: 가로 $6$, 세로 $(3+4)=7$인 직사각형의 대각선 $=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85}$.
- 윗면+옆면 펼치기: $\sqrt{(6+3)^2+4^2}=\sqrt{97}$.
- 앞면+옆면 펼치기: $\sqrt{(6+4)^2+3^2}=\sqrt{109}$.
3단계: 세 값 중 최솟값은 $\sqrt{85}$이고, 이 앞면+윗면 경로의 직선은 바닥면을 전혀 지나지 않는다. 따라서 최단거리는 $\sqrt{85}$ cm이다.

📖 풀이:
1단계: 배의 정지수 속력을 x, 강물 속력을 y라 하자. 내려갈 때 속력은 x+y, 올라갈 때는 x-y이다.
2단계: 거리=속력×시간 관계에서 $24 = 3(x+y)$, $24 = 4(x-y)$. 정리하면 $x+y=8$, $x-y=6$.
3단계: 두 식을 더하면 $2x=14$, x=7. 따라서 배의 정지수 속력은 7 km/시.

📖 풀이:
1단계: 삼각형 ABC의 넓이를 두 가지 방법으로 표현한다. 방법1은 밑변 AC와 높이 BH를 이용: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.
2단계: 방법2로 점 D에서 두 등변을 분할. 삼각형 ABD의 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE$, 삼각형 ACD의 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot DF$. 합은 $S = \frac{1}{2}(AB \cdot DE + AC \cdot DF)$.
3단계: AB=AC이므로 $S = \frac{1}{2} AC (DE+DF)$. 1단계와 등치하면 $AC \cdot BH = AC(DE+DF)$, 따라서 $DE+DF = BH$. 이는 D의 위치와 무관한 상수이다.

📖 풀이:
1단계: 비둘기집 원리의 '최악의 경우'를 생각한다. 같은 색 4개가 확보되지 않는 최악의 경우는 각 색마다 최대 3개씩만 뽑힌 상태이다.
2단계: 각 색에서 3개씩 뽑히면 총 $3 \times 4 = 12$개까지는 같은 색 4개가 없을 수 있다.
3단계: 12개까지 뽑아 각 색이 정확히 3개씩인 상태에서, 13번째 공을 뽑으면 이는 어떤 색이든 그 색의 4번째 공이 된다. 따라서 최소 13개를 꺼내야 한다.

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1단계: 분모를 소인수분해한다. $120 = 2^3 \times 3 \times 5$. 유한소수 조건은 기약분수의 분모가 2와 5만의 곱이어야 한다. 따라서 분모에서 3이 약분되어 사라져야 한다.
2단계: 3을 약분해 없애려면 분자 n이 3의 배수여야 한다. 즉 n=3k이면 $\frac{3k}{120} = \frac{k}{40}$이고, $40 = 2^3 \times 5$는 2와 5만의 곱이다.
3단계: n이 3의 배수일 때만 유한소수가 된다. (15의 배수면 충분조건이지만 필요조건이 아님: n=3,6,9도 유한소수.)