📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: A의 생산량을 $a$, B의 생산량을 $b$라 하자. 조건: $a+b \leq 100$, $b \leq 2a$ (즉 $a \geq \frac{b}{2}$), $a,b \geq 0$. 이익 $P=3000a+5000b$. 2단계: B가 이익이 더 크므로 $b$를 최대화하는 것이 유리. $b$를 크게 하려면 $a$는 조건 $a \geq \frac{b}{2}$의 경계에서 최소로 잡고, 총량 $a+b=100$의 경계를 쓴다. 3단계: $a=\frac{b}{2}$와 $a+b=100$을 연립하면 $\frac{b}{2}+b=100$, $\frac{3b}{2}=100$, $b=\frac{200}{3} \approx 66.67$. 정수 조건하에 $b=66$, $a=34$로 검증: $b \leq 2a = 68$ ✓, 이익 $=3000\cdot 34+5000\cdot 66 = 102000+330000=432000$원. 4단계: $b=67$이면 $a=33$, $2a=66 < 67$로 조건 위반. 따라서 $b=66$개.

📖 풀이:
1단계: 세 식을 모두 더하면 $2(x+y+z)=5+8+7=20$, 즉 $x+y+z=10$.
2단계: $x+y+z=10$에서 각 식을 빼서 변수를 구한다. $y+z=8$을 빼면 $x=2$, $z+x=7$을 빼면 $y=3$, $x+y=5$를 빼면 $z=5$.
3단계: 검산: $x+y=2+3=5$ ✓, $y+z=3+5=8$ ✓, $z+x=5+2=7$ ✓.
4단계: $x^2+y^2+z^2 = 2^2+3^2+5^2 = 4+9+25 = 38$. 따라서 정답은 ④ 38.

📖 풀이:
1단계: 두 직선의 교점을 구한다. $2x+4=-x+7$에서 $3x=3$, $x=1$, $y=6$. 교점 $P(1, 6)$. 2단계: 두 직선이 $x$축과 만나는 점을 구한다. $y=2x+4$의 $x$절편: $0=2x+4$, $x=-2$. $y=-x+7$의 $x$절편: $0=-x+7$, $x=7$. 3단계: 삼각형의 세 꼭짓점은 $(-2,0)$, $(7,0)$, $(1,6)$. 밑변(x축 위)의 길이$=7-(-2)=9$, 높이는 교점의 $y$좌표$=6$. 4단계: 넓이$=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 6 = 27$.

📖 풀이:
1단계: 두 삼각형 ABH와 ACH를 비교한다. 수선의 발이므로 $\angle AHB = \angle AHC = 90°$이고 $\overline{AH}$는 공통변이며, 가정에서 $\angle B = \angle C$(즉 $\angle ABH = \angle ACH$)이다.
2단계: 이때 $\overline{AH}$는 직각을 낀 변(leg)이고, 빗변 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$가 같은지는 지금 증명하려는 결론이므로 아직 쓸 수 없다. 따라서 빗변이 같아야 성립하는 RHA(빗변과 한 예각)나 두 변 이상을 알아야 하는 SSS·SAS는 사용할 수 없다.
3단계: 두 직각삼각형에서 $\angle AHB=\angle AHC=90°$와 $\angle B=\angle C$이므로 내각의 합에서 $\angle BAH = \angle CAH$가 유도된다. 그러면 공통변 $\overline{AH}$를 사이에 둔 두 각 $\angle BAH=\angle CAH$, $\angle AHB=\angle AHC$가 대응하므로 ASA 합동이다(가정 $\angle B=\angle C$를 그대로 쓰면 AAS이며 ASA와 동치).
4단계: $\triangle ABH \equiv \triangle ACH$이므로 대응하는 빗변 $\overline{AB}=\overline{AC}$가 유도된다.

📖 풀이:
1단계: $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$이므로 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA 닮음). 닮음비$=\overline{AD}:\overline{AB}=2:(2+3)=2:5$. 2단계: 닮음 도형의 넓이비는 닮음비의 제곱이므로 $\triangle ADE : \triangle ABC = 2^2 : 5^2 = 4:25$. 3단계: $\triangle ADE=8\text{cm}^2$이므로 비례식 $4:25=8:S$에서 $\triangle ABC = \frac{25\cdot 8}{4}=50\text{cm}^2$. 4단계: 사다리꼴 DBCE$=\triangle ABC - \triangle ADE = 50-8=42\text{cm}^2$.

📖 풀이:
1단계: 표면 최단 경로는 직육면체를 '펼쳐서' 두 점을 잇는 직선으로 구한다. 경로 경우에 따라 세 가지 전개도가 가능하다. 2단계: 경우 1 - 앞면+윗면 펼치면 직사각형 $(6+3)\times 4 = 9\times 4$, 대각선 $=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$. 3단계: 경우 2 - 앞면+옆면 펼치면 직사각형 $(6+4)\times 3=10\times 3$, 대각선 $=\sqrt{100+9}=\sqrt{109}$. 경우 3 - 옆면+윗면 펼치면 직사각형 $(4+3)\times 6=7\times 6$, 대각선 $=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}$. 4단계: 세 경우 중 최솟값은 $\sqrt{85}$ cm.

📖 풀이:
1단계: $\overline{AB}$는 수평선이므로 길이$=|5-1|=4$. $\overline{BC}$는 수직선이므로 길이$=|5-2|=3$. 2단계: $\angle B=90°$이므로 삼각형 ABC는 직각삼각형. 피타고라스 정리에 의해 $\overline{AC}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$. 3단계: 둘레$=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=4+3+5=12$.

📖 풀이:
1단계: 서로 다른 5개의 카드 $1,2,3,4,5$에서 3장을 뽑아 만드는 세 자리 수는 모두 $5 \times 4 \times 3 = 60$개이다.
2단계: 작은 수부터 나열하면 백의 자리가 같은 수가 각각 $4 \times 3 = 12$개씩이다. 백의 자리가 1이면 1 - 12번째, 2이면 13 - 24번째, 3이면 25 - 36번째, 4이면 37 - 48번째, 5이면 49 - 60번째이다.
3단계: 55번째 수는 백의 자리가 5인 구간(49 - 60번째)에 있다. 이 구간에서 십의 자리가 같은 수는 3개씩이며, 51△는 49 - 51번째, 52△는 52 - 54번째, 53△는 55 - 57번째이다.
4단계: 따라서 55번째 수는 백의 자리 5, 십의 자리 3인 구간의 첫 번째 수이다. 남은 숫자 $\{1,2,4\}$ 중 가장 작은 1이 일의 자리이므로 531이다. 따라서 정답은 ① 531.

📖 풀이:
1단계: '최악의 경우 같은 색 4개를 반드시 얻는 최소 개수'는 비둘기집 원리의 응용이다. 각 색에서 최대 3개씩 꺼냈을 때(즉 아직 4개 모인 색이 없을 때)가 최악. 2단계: 세 가지 색에서 각각 3개씩 꺼내면 $3+3+3=9$개까지는 어떤 색도 4개에 도달하지 않을 수 있다(각 색 개수 5,7,9 모두 3 이상이므로 가능). 3단계: 9개 뽑은 다음 한 개를 더 뽑으면(10개째) 그 공은 반드시 기존 세 색 중 하나이므로 어떤 색이 4개가 된다. 4단계: 따라서 최소 $3\times 3+1=10$개.

📖 풀이:
1단계: $\frac{1}{7}=0.\overline{142857}$로 순환마디는 '142857'이고 길이는 6이다.
2단계: 소수점 아래 $n$번째 자리는 $n$을 6으로 나눈 나머지로 정해진다. $100 = 6 \times 16 + 4$이므로 나머지는 4이다.
3단계: 나머지가 4이므로 순환마디 '142857'의 4번째 숫자를 찾는다. 순서대로 1, 4, 2, 8, 5, 7이므로 4번째 숫자는 8이다.
4단계: 따라서 소수점 아래 100번째 자리 숫자는 8이고, 정답은 ④ 8이다.

📖 풀이:
1단계: 지수법칙 $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$, $a^{mn}=(a^m)^n$을 적용한다.
2단계: $2^{2x+y-1} = 2^{2x} \cdot 2^y \cdot 2^{-1} = (2^x)^2 \cdot 2^y \cdot \frac{1}{2}$.
3단계: 값 대입: $3^2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 9 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$.

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 부등식: $3x-x \geq 4+2$, $2x \geq 6$, $x \geq 3$.
2단계: 두 번째 부등식: $2x-5x < 11+1$, $-3x < 12$, $x > -4$.
3단계: 공통 범위는 $x \geq 3$ (∵ $x \geq 3$이면 자동으로 $x > -4$).
4단계: $x \geq 3$인 정수는 3, 4, 5, 6, ... 무수히 많다.

📖 풀이:
1단계: 20%가 상했으므로 팔 수 있는 사과는 $100 \times 0.8 = 80$개이다.
2단계: 사과 한 개의 판매가는 (원가)+(이윤)$=500+x$원이므로 총수입은 $80(500+x)$원이다.
3단계: 사과 100개를 모두 사들였으므로 총원가는 $100 \times 500 = 50000$원이다.
4단계: 총이익 $=80(500+x)-50000=80x-10000$.
5단계: $80x-10000 \geq 20000$에서 $80x \geq 30000$, 즉 $x \geq 375$. 따라서 $x$의 최솟값은 375원이고 정답은 ① 375원이다.

📖 풀이:
1단계: $|A|<k$ ($k>0$)는 $-k<A<k$와 동치이므로 $-5 < 2x-3 < 5$이다.
2단계: 각 변에 3을 더하면 $-2 < 2x < 8$, 2로 나누면 $-1 < x < 4$.
3단계: 이 범위의 정수는 $0, 1, 2, 3$으로 모두 4개이다. (엄격한 부등호이므로 경계 $-1, 4$는 포함되지 않는다.)
4단계: 따라서 정답은 ② 4개이다.

📖 풀이:
1단계: 배의 속력을 x km/h, 강물의 속력을 y km/h라 하자.
2단계: 내려올 때 속력은 (x+y), 올라갈 때는 (x-y)이며 거리는 60km로 같다.
3단계: 시간 × 속력 = 거리에서: $2(x+y) = 60$, $3(x-y) = 60$.
4단계: 정리: $x+y=30$, $x-y=20$. 두 식을 더하면 $2x=50$, $x=25$. 따라서 배의 속력은 25 km/h.

📖 풀이:
1단계: (2식)에서 (1식)을 빼면 $(x+2y+3z)-(x+y+z)=17-10$에서 $y+2z=7$ ... (*)
2단계: (3식)에서 (2식)을 빼면 $(x+4y+9z)-(x+2y+3z)=37-17$에서 $2y+6z=20$, 즉 $y+3z=10$ ... (**)
3단계: (**)에서 (*)를 빼면 $z=3$. 이를 (*)에 대입하면 $y+6=7$, $y=1$.
4단계: (1식)에 대입하면 $x+1+3=10$, $x=6$.
5단계: 검산: $6+1+3=10$ ✓, $6+2(1)+3(3)=17$ ✓, $6+4(1)+9(3)=37$ ✓. 따라서 정답은 ④ 6이다.

📖 풀이:
1단계: 핵심 정리: '선분의 수직이등분선 위의 임의의 점은 선분의 양 끝점으로부터 거리가 같다.'
2단계: O는 BC의 수직이등분선 위에 있으므로 OB = OC.
3단계: O는 AC의 수직이등분선 위에도 있으므로 OA = OC.
4단계: 따라서 OA = OB = OC. O는 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있고, 이 점을 '외심'이라 한다. 외심은 삼각형에 외접하는 원의 중심이다.

📖 풀이:
1단계: 태양광선이 평행하므로 막대기-그림자 삼각형과 나무-그림자 삼각형은 AA닮음(두 각이 같음)이다. 하나는 직각, 다른 하나는 같은 태양광선 각도.
2단계: 대응변 비례 관계: (막대기 높이):(막대기 그림자) = (나무 높이):(나무 그림자).
3단계: $1.5 : 2 = h : 14$.
4단계: $2h = 1.5 \times 14 = 21$, $h = 10.5$ m.

📖 풀이:
1단계: AB는 수평선분: $|5-1|=4$. BC는 수직선분: $|5-2|=3$. 두 선분은 B에서 수직으로 만나므로 각 B가 직각.
2단계: 피타고라스 정리 적용: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
3단계: $AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
4단계: $AC = \sqrt{25} = 5$. 이는 유명한 3-4-5 직각삼각형의 예이다.

📖 풀이:
1단계: $0.\dot{1}\dot{2} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$ (순환마디 2자리이므로 분모는 99).
2단계: $0.\dot{2}\dot{1} = \frac{21}{99} = \frac{7}{33}$.
3단계: $\frac{4}{33} + \frac{7}{33} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}$. 기약분수로 약분해야 한다.

📖 풀이:
1단계: $(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$.
2단계: 이를 정리하면 $x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$.
3단계: $x + \frac{1}{x} = 4$를 대입하면 $4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52$.

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 부등식 $-3 < 2x - 1 \leq 5$에서 $-2 < 2x \leq 6$, 즉 $-1 < x \leq 3$.
2단계: 두 번째 부등식 $x + 2 > 3$에서 $x > 1$.
3단계: 두 범위의 공통 부분은 $1 < x \leq 3$이고, 조건을 만족하는 정수는 2, 3으로 모두 2개.

📖 풀이:
1단계: 구하는 자연수를 $N$이라 하면 $N = 5a + 3 = 7b + 4$ ($a, b$는 0 이상 정수).
2단계: $5a + 3 = 7b + 4$에서 $5a - 7b = 1$. $a$에 1, 2, 3, ...을 대입해 자연수 $b$를 찾으면, $a=3$일 때 $b=2$가 되어 $N = 5 \times 3 + 3 = 18$.
3단계: 검증 - $18 \div 5 = 3 \cdots 3$, $18 \div 7 = 2 \cdots 4$로 두 조건을 모두 만족하며, 두 자리 수 중 최솟값이다.

📖 풀이:
1단계: 평행 조건에서 기울기는 같으므로 2. 점 $(1, -2)$를 지나는 직선은 $y - (-2) = 2(x - 1)$, 즉 $y = 2x - 4$.
2단계: x절편은 $y = 0$ 대입하면 $x = 2$, y절편은 $x = 0$ 대입하면 $y = -4$.
3단계: 원점과 두 절편이 이루는 직각삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times |2| \times |-4| = 4$.

📖 풀이:
1단계: 평행사변형에서 한 변을 공유하는 두 이웃각(동측내각)의 합은 180°이므로 $\angle A + \angle B = 180°$.
2단계: 이등분선이므로 $\angle PAB = \frac{1}{2}\angle A$이고 $\angle PBA = \frac{1}{2}\angle B$. 두 각의 합은 $\frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 90°$.
3단계: 삼각형 APB의 내각의 합은 180°이므로 $\angle APB = 180° - 90° = 90°$. 즉 구체적인 각도 없이도 항상 직각이다.