📝 중2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 140을 소인수분해하면 140 = 2² × 5 × 7이다.
2단계: 유한소수가 되려면 기약분수의 분모가 2와 5만을 소인수로 가져야 하므로, 분모의 7이 반드시 약분되어 없어져야 한다.
3단계: 따라서 분자 $n$은 7의 배수여야 한다. $n>1$인 7의 배수 중 최솟값은 7이다. 확인: $\frac{7}{140}=\frac{1}{20}=0.05$ (유한소수).

📖 풀이:
1단계: 양변을 제곱하면 $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9$이므로 $a^2+\frac{1}{a^2}=7$.
2단계: 곱셈 공식 $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$을 $x=a, y=\frac{1}{a}$에 적용하면 $a^3+\frac{1}{a^3}=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^2-1+\frac{1}{a^2}\right)$.
3단계: 대입하면 $3 \times (7-1) = 3 \times 6 = 18$.

📖 풀이:
1단계: 첫째 부등식 $3x-1>x+5$에서 $2x>6$, 즉 $x>3$.
2단계: 둘째 부등식 $2x-a \leq 10$에서 $x \leq \frac{10+a}{2}$.
3단계: 따라서 해는 $3<x \leq \frac{10+a}{2}$이고, 이를 만족하는 정수는 $4, 5, 6, \ldots$ 꼴이다.
4단계: 정수해가 정확히 3개($4, 5, 6$)이려면 $6 \leq \frac{10+a}{2} < 7$이어야 한다. 각 변에 2를 곱하면 $12 \leq 10+a < 14$, 즉 $2 \leq a < 4$이다.
따라서 상수 $a$의 값의 범위는 $2 \leq a < 4$이다.

📖 풀이:
1단계: 정지한 물에서 배의 속력을 $x$ km/h, 강물의 속력을 $y$ km/h라 하자. 내려올 때 속력은 $x+y$, 올라갈 때 속력은 $x-y$.
2단계: 거리=속력×시간이므로 $\begin{cases}(x+y) \times 2 = 24 \\ (x-y) \times 3 = 24\end{cases}$, 즉 $\begin{cases}x+y=12 \\ x-y=8\end{cases}$.
3단계: 두 식을 더하면 $2x=20$, $x=10$. 따라서 배의 속력은 10 km/h, 강물의 속력은 2 km/h.

📖 풀이:
1단계: 교점 P를 구하자. $-x+6=2x+3$에서 $3x=3$, $x=1$. $y=-1+6=5$. 따라서 P(1, 5).
2단계: 두 직선의 x절편을 구하자. $y=-x+6$의 x절편: $0=-x+6$에서 $x=6$. $y=2x+3$의 x절편: $0=2x+3$에서 $x=-\frac{3}{2}$.
3단계: 삼각형의 밑변은 x축 위의 두 x절편 사이 거리 $= 6-(-\frac{3}{2}) = \frac{15}{2}$이고, 높이는 P의 y좌표 5이다. 넓이 $= \frac{1}{2} \times \frac{15}{2} \times 5 = \frac{75}{4} = 18.75$.

📖 풀이:
1단계: 이등변삼각형에서 꼭짓각의 이등분선, 밑변의 수직이등분선, 밑변의 중선은 모두 일치한다(이등변삼각형의 성질).
2단계: 따라서 H는 BC의 중점이므로 BH=HC이고(①), ∠BAH=∠CAH이며(②), △ABH와 △ACH는 RHS 또는 SAS 합동이다(③).
3단계: 그러나 AH와 BH는 직각삼각형 ABH의 두 다리이므로 길이가 반드시 같을 이유가 없다. 예: AB=5, BH=3이면 AH=4로 서로 다르다.

📖 풀이:
1단계: DE∥BC이므로 ∠ADE=∠ABC(동위각), ∠AED=∠ACB(동위각)이어서 △ADE ∽ △ABC (AA 닮음).
2단계: AD:AB = 2:(2+3) = 2:5이므로 닮음비는 2:5, 넓이비는 닮음비의 제곱인 4:25이다. 즉 △ADE의 넓이를 4k라 하면 △ABC의 넓이는 25k.
3단계: 사각형 DBCE의 넓이 = △ABC - △ADE = 25k - 4k = 21k. 따라서 △ADE : 사각형 DBCE = 4k : 21k = 4:21.

📖 풀이:
1단계: 직육면체 겉면 최단경로는 전개도에서 직선 거리이다. 경로는 3가지 경우를 생각할 수 있다.
(i) 앞면+오른쪽 옆면: 펼치면 가로 4+2=6, 세로 3. 거리 $=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$.
(ii) 앞면+윗면: 펼치면 가로 4, 세로 3+2=5. 거리 $=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$.
(iii) 왼쪽 옆면+윗면: 펼치면 가로 3+4=7, 세로 2. 거리 $=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$.
2단계: 세 경우를 비교하면 $\sqrt{41}<\sqrt{45}<\sqrt{53}$.
3단계: 따라서 최단경로는 $\sqrt{41}$ cm이다.

📖 풀이:
1단계: 만의 자리가 4 또는 5인 경우, 수는 40000 이상이므로 항상 34000보다 크다. 만의 자리 2가지, 나머지 네 자리 배열 $4!=24$가지로 $2 \times 24 = 48$개.
2단계: 만의 자리가 3인 경우, 34000보다 크려면 천의 자리가 4 또는 5여야 한다. 천의 자리가 4이면 34×××꼴(최솟값 34125)로 모두 34000보다 크고, 천의 자리가 5이면 35×××꼴로 모두 크다. 각 경우 나머지 세 자리 배열은 $3!=6$가지이므로 $2 \times 6 = 12$개. (천의 자리가 1 또는 2이면 31×××, 32×××로 34000보다 작아 제외.)
3단계: 전체는 $48+12=60$개. 따라서 정답은 ④ 60.

📖 풀이:
1단계: $\frac{1}{7}=0.\overline{142857}$이다. 즉 순환마디는 142857로 길이가 6.
2단계: $a$가 1~6이면 $\frac{a}{7}$의 소수 표현은 모두 142857의 순환 배열이다. 예: $\frac{2}{7}=0.\overline{285714}$, $\frac{3}{7}=0.\overline{428571}$, ….
3단계: 따라서 순환마디의 길이는 모두 6이다. 이는 10의 7에 대한 위수(order)가 6이기 때문이다: $10^6 \equiv 1 \pmod{7}$.

📖 풀이:
1단계: $2^x=6^z$에서 양변에 $\log$를 취하면 $x\log 2 = z\log 6$, 즉 $\frac{1}{x}=\frac{\log 2}{z\log 6}$.
2단계: 마찬가지로 $3^y=6^z$에서 $\frac{1}{y}=\frac{\log 3}{z\log 6}$.
3단계: 더하면 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\log 2 + \log 3}{z\log 6}=\frac{\log(2 \times 3)}{z \log 6}=\frac{\log 6}{z\log 6}=\frac{1}{z}$.

📖 풀이:
1단계: 농도 15%인 소금물을 $x$ g 섞는다고 하자. 섞기 전 소금의 양: 8%×200 + 15%×$x$ = 16 + 0.15$x$ (g).
2단계: 섞은 후 소금물의 총량은 $(200+x)$ g이고 농도가 12%이므로 소금의 양은 $0.12(200+x)=24+0.12x$ (g).
3단계: 소금의 양이 보존되므로 $16+0.15x=24+0.12x$, $0.03x=8$, $x=\frac{8}{0.03}=\frac{800}{3}≈266.67$. 따라서 약 267g.

📖 풀이:
1단계: |x-1|은 수직선 위에서 x와 1 사이의 거리, |x-5|는 x와 5 사이의 거리를 나타낸다.
2단계: 따라서 |x-1| + |x-5|는 'x에서 1까지 거리와 x에서 5까지 거리의 합'이며, 이는 x가 1과 5 사이(1 ≤ x ≤ 5)에 있을 때 최소가 된다.
3단계: 1 ≤ x ≤ 5 구간에서 |x-1| + |x-5| = (x-1) + (5-x) = 4. 이때 값은 x와 무관하게 일정한 4이므로 최솟값은 4.

📖 풀이:
1단계: 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 -1이다. 주어진 직선 y = 2x + 1의 기울기는 2이므로, 수직인 직선의 기울기는 $-\frac{1}{2}$ 이다.
2단계: 기울기가 $-\frac{1}{2}$ 이고 점 (4, 2)를 지나는 직선의 식은 $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 4)$.
3단계: 우변을 전개하면 $y = -\frac{x}{2} + 2 + 2 = -\frac{x}{2} + 4$. 점 (4, 2) 대입 시 $-2 + 4 = 2$로 성립.

📖 풀이:
1단계: 수직이등분선의 기본 성질에 의해, 선분의 수직이등분선 위의 모든 점은 그 선분의 양 끝점으로부터 거리가 같다.
2단계: 점 O가 변 AB의 수직이등분선 위에 있으므로 OA = OB. 동시에 O가 변 BC의 수직이등분선 위에 있으므로 OB = OC. 따라서 OA = OB = OC가 자동으로 성립한다.
3단계: OA = OC이므로 O는 변 CA의 수직이등분선 위에도 있어야 한다. 결국 세 수직이등분선은 반드시 한 점 O에서 만나며, O를 중심으로 하는 원이 세 꼭짓점을 모두 지나므로 O를 외심, 그 원을 외접원이라 한다.

📖 풀이:
1단계: 닮음비 k : 1인 두 입체도형은 대응하는 모든 길이의 비가 k : 1이다. 따라서 닮음비 2 : 3이면 대응 길이가 2 : 3.
2단계: 직육면체의 부피는 (가로) × (세로) × (높이)이므로 세 개의 길이가 곱해진다. 각 길이가 2 : 3이면 부피의 비는 $2 \times 2 \times 2 : 3 \times 3 \times 3$.
3단계: 따라서 부피의 비는 $2^3 : 3^3 = 8 : 27$.

📖 풀이:
1단계: $x = 1.2222\cdots$ 라 두자. 소수점 아래에서 반복되는 부분의 길이가 한 자리이므로 양변에 10을 곱해 $10x = 12.2222\cdots$ 를 만든다.
2단계: 두 식을 빼면 $10x - x = 12.222\cdots - 1.222\cdots = 11$. 즉 $9x = 11$.
3단계: $x = \frac{11}{9}$. 11과 9는 서로소이므로 기약분수이고, $a = 11$, $b = 9$. 따라서 $a + b = 20$.

📖 풀이:
1단계: $x \neq 0$ 이므로 주어진 식 양변을 $x$ 로 나누면 $x - 3 + \frac{1}{x} = 0$, 즉 $x + \frac{1}{x} = 3$.
2단계: 양변을 제곱하면 $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$.
3단계: 따라서 $x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$.

📖 풀이:
1단계: 각 변수를 하나씩 구하는 대신, 세 식을 모두 더하는 전략을 취한다.
2단계: $(x + y) + (y + z) + (z + x) = 5 + 8 + 7 = 20$. 좌변을 정리하면 각 변수가 정확히 두 번씩 등장하므로 $2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)$.
3단계: 따라서 $2(x + y + z) = 20$ 이고 $x + y + z = 10$. (참고로 이를 이용해 $x=2, y=3, z=5$ 도 얻을 수 있지만 문제에서 요구한 것은 합이다.)

📖 풀이:
1단계: 기울기 $a = \frac{y\text{ 증가량}}{x\text{ 증가량}} = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.
2단계: 점 (1, 3)을 식 $y = 2x + b$ 에 대입하면 $3 = 2 \times 1 + b$ 이므로 $b = 1$.
3단계: 따라서 $a + b = 2 + 1 = 3$. (검산: 점 (3, 7)을 대입하면 $2 \times 3 + 1 = 7$ 로 일치.)

📖 풀이:
1단계: 두 점을 잇는 선분 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형을 만들기 위해 보조점 C(7, 2)를 잡는다. 그러면 AC는 x축에 평행, BC는 y축에 평행이고 AC ⊥ BC.
2단계: $AC = |7 - 1| = 6$, $BC = |10 - 2| = 8$. 피타고라스 정리에 의해 $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100$.
3단계: 따라서 $AB = \sqrt{100} = 10$.

📖 풀이:
1단계: 2짝만 꺼내면 최악의 경우 '빨강 1 + 파랑 1' 조합이 나올 수 있어 같은 색 쌍을 '반드시'는 보장할 수 없다.
2단계: 3짝을 꺼내는 경우를 생각하자. 색은 빨강, 파랑 두 종류뿐이므로 3짝을 두 색에 나누어 넣으면 반드시 어느 한 색이 최소 2짝은 들어간다(비둘기집 원리).
3단계: 따라서 3짝이면 같은 색 한 쌍이 확실히 확보된다. 총 양말 개수(5와 7)는 이 최솟값에 영향을 주지 않는다. 최소 필요 개수는 3짝.

📖 풀이:
1단계: 가로등 꼭대기에서 나온 광선이 사람의 머리 끝을 지나 그림자 끝에 도달한다. 이 광선과 지면은 '가로등~그림자 끝'의 큰 직각삼각형과 '사람~그림자 끝'의 작은 직각삼각형을 만든다. 두 삼각형은 같은 예각(광선이 지면과 이루는 각)과 직각을 공유하므로 AA 닮음이다.
2단계: 큰 삼각형의 밑변 = 가로등에서 그림자 끝까지 거리 = 4 + 2 = 6 m, 높이 = h. 작은 삼각형의 밑변 = 2 m, 높이 = 1.6 m. 대응변의 비율이 같으므로 $h : 1.6 = 6 : 2$.
3단계: $h = \frac{1.6 \times 6}{2} = 4.8$ m.

📖 풀이:
1단계: △AOB와 △COD를 비교한다. 조건에서 AO = OC, BO = OD. 또한 ∠AOB와 ∠COD는 맞꼭지각이므로 크기가 같다.
2단계: 두 쌍의 변과 그 끼인 각이 같으므로 △AOB ≡ △COD (SAS). 합동이므로 대응변 AB = CD 이고 대응각 ∠OAB = ∠OCD.
3단계: ∠OAB와 ∠OCD는 직선 AC가 두 직선 AB, CD를 자를 때 생기는 엇각이다. 엇각이 같으므로 AB ∥ CD. 한 쌍의 대변이 '평행하면서 길이도 같다'는 평행사변형 판정 조건이 충족되어 ABCD는 평행사변형이다.

📖 풀이:
1단계: 유한소수 조건은 '기약분수로 만든 후 분모의 소인수가 2와 5뿐'이어야 한다. 2단계: $\frac{7}{n}$에서 $n$이 7의 배수이면 약분 후 분자가 1이 되므로 $n=7k$ 꼴일 때 $k$의 소인수가 2, 5뿐이어야 한다. 30 이하에서 $n=7, 14, 28$ (즉 $k=1,2,4$)의 3개. 3단계: $n$이 7의 배수가 아니면 $\frac{7}{n}$은 이미 기약분수. 이때 $n$의 소인수가 2, 5뿐이어야 한다. 30 이하에서 $n=1,2,4,5,8,10,16,20,25$로 9개. 4단계: 총 $3+9=12$개.