📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 분배법칙을 적용한다.
$3x × 2x = 6x²$
$3x × (-5) = -15x$
2단계: 두 항을 합친다 → $6x²-15x$

📖 풀이:
1단계: 양변에 6을 곱해 분모를 없앤다.
$3(x-1) + 2(x+1) \leq 12$
2단계: 전개한다.
$3x-3+2x+2 \leq 12$
$5x-1 \leq 12$
3단계: 이항하고 나눈다.
$5x \leq 13$
$x \leq \frac{13}{5}$

📖 풀이:
1단계: 민수의 나이를 x, 동생의 나이를 y라 한다.
$x = y+4$ ... ㉠
$x+y = 28$ ... ㉡
2단계: ㉠을 ㉡에 대입한다.
$(y+4) + y = 28$
$2y = 24$, $y = 12$
3단계: 민수의 나이는 $x = 12+4 = 16$살.

📖 풀이:
1단계: y절편은 x=0일 때 → $y = 0+3 = 3$
2단계: x절편은 y=0일 때 → $0 = -\frac{1}{2}x + 3$
$\frac{1}{2}x = 3$, $x = 6$
3단계: 두 절편의 곱 = $6 × 3 = 18$

📖 풀이:
1단계: 이등변삼각형의 두 밑각은 같다 → ∠B = ∠C
2단계: 삼각형 내각의 합은 180°이다.
$∠A + ∠B + ∠C = 180°$
$40° + 2∠B = 180°$
3단계: $2∠B = 140°$ → ∠B = 70°

📖 풀이:
1단계: 삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분(중점연결정리)은
- 나머지 한 변과 평행하고
- 그 길이의 절반이다.
2단계: $DE = \frac{1}{2} × BC = \frac{1}{2} × 12 = 6$cm

📖 풀이:
1단계: 직사각형의 대각선은 두 변과 직각삼각형을 이룬다.
2단계: 피타고라스 정리 적용.
$d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100$
3단계: $d = \sqrt{100} = 10$cm

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수 = 10
2단계: 짝수: 2,4,6,8,10 → 5개
7의 배수: 7 → 1개
공통(짝수이면서 7의 배수): 없음
3단계: 합집합 = 5 + 1 - 0 = 6개
확률 = $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

📖 풀이:
1단계: $x = 0.272727...$ 이라 하자.
2단계: 양변에 100을 곱한다.
$100x = 27.272727...$
3단계: 두 식을 빼면
$100x - x = 27$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ (기약분수)
4단계: $p=11, q=3$ → $p+q = 14$

📖 풀이:
1단계: 해 (3, 2)를 첫 번째 식에 넣어 확인한다.
$2(3)+3(2) = 6+6 = 12$ ✓
2단계: 해 (3, 2)를 두 번째 식에 대입한다.
$a(3) - 2 = 1$
$3a = 3$
3단계: $a = 1$

📖 풀이:
1단계: 기울기를 구한다.
$기울기 = \frac{-2-4}{3-1} = \frac{-6}{2} = -3$
2단계: $y = -3x + b$로 놓고 점 (1, 4)를 대입한다.
$4 = -3(1) + b$
$b = 7$
3단계: 직선의 방정식은 $y = -3x + 7$

📖 풀이:
1단계: 두 사건은 서로 독립이므로 곱의 법칙을 쓴다.
2단계: 동전이 앞면일 확률 = $\frac{1}{2}$
3단계: 주사위가 3 이상(3,4,5,6)일 확률 = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
4단계: 두 확률을 곱한다.
$\frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

📖 풀이:
단항식의 곱셈은 계수끼리, 문자끼리 계산.
계수: 3×(-2) = -6
$x$: $x^2 \times x = x^{2+1} = x^3$
$y$: $y \times y^3 = y^{1+3} = y^4$
따라서 $-6x^3y^4$

📖 풀이:
$2x - 5 < 3x + 1$
$x$항을 좌변, 상수항을 우변으로 이항:
$2x - 3x < 1 + 5$
$-x < 6$
양변을 -1로 나누면 부등호 방향이 바뀜:
$x > -6$

📖 풀이:
피타고라스 정리: $c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 5^2 + 12^2$
$c^2 = 25 + 144 = 169$
$c = \sqrt{169} = 13$
따라서 빗변은 13cm

📖 풀이:
$x$절편: $y=0$ 대입 → $0=-2x+6$, $x=3$ → $(3, 0)$
$y$절편: $x=0$ 대입 → $y=6$ → $(0, 6)$
원점, $(3,0)$, $(0,6)$을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형.
밑변=3, 높이=6
넓이 = $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$

📖 풀이:
$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이므로 △ADE ∽ △ABC (AA닮음).
닮음비 = $\overline{AD} : \overline{AB} = 4 : (4+6) = 4 : 10 = 2 : 5$
대응변의 비도 같으므로:
$\overline{DE} : \overline{BC} = 2 : 5$
$8 : \overline{BC} = 2 : 5$
$\overline{BC} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$

📖 풀이:
먼저 첫 번째 분수를 정리:
$\frac{12x^4y^3}{4x^2y} = 3x^{4-2}y^{3-1} = 3x^2y^2$
나눗셈을 곱셈으로 바꿈(역수 곱하기):
$3x^2y^2 \div \frac{3x^2y^2}{2} = 3x^2y^2 \times \frac{2}{3x^2y^2}$
약분하면:
$= \frac{6x^2y^2}{3x^2y^2} = 2$

📖 풀이:
아들 나이를 $x$, 아버지 나이를 $y$라 하자.
현재: $y = 4x$ ... ①
12년 후: $y + 12 = 2(x + 12)$ ... ②
②를 정리: $y + 12 = 2x + 24$, 즉 $y = 2x + 12$
①을 대입: $4x = 2x + 12$
$2x = 12$
$x = 6$
따라서 아들은 현재 6세 (아버지는 24세).

📖 풀이:
직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로를 이등분함.
즉 $\overline{AC} = \overline{BD}$이고, 교점 O는 두 대각선의 중점.
$\overline{OA} = \overline{OC} = \overline{OB} = \overline{OD} = 5$cm
따라서 $\overline{BD} = \overline{OB} + \overline{OD} = 5 + 5 = 10$cm

📖 풀이:
1단계: $x = 0.454545...$로 놓는다.
2단계: 순환마디가 2자리이므로 양변에 100을 곱한다. $100x = 45.4545...$
3단계: 두 식을 빼면 $99x = 45$, 따라서 $x = \frac{45}{99}$.
4단계: 분모, 분자를 9로 약분하면 $\frac{45}{99} = \frac{5}{11}$.

📖 풀이:
1단계: 괄호를 풀어 쓴다. $3x^2 - 2x + 5 - x^2 + 4x - 7$
2단계: $x^2$항끼리 모은다. $3x^2 - x^2 = 2x^2$
3단계: $x$항끼리 모은다. $-2x + 4x = 2x$
4단계: 상수항끼리 모은다. $5 - 7 = -2$
5단계: 합하면 $2x^2 + 2x - 2$.

📖 풀이:
1단계: 정사각형의 대각선은 두 변을 직각변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다.
2단계: 대각선 길이를 $d$라 하면 피타고라스 정리에 의해 $d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.
3단계: $d = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$cm.
4단계: 참고로 한 변의 길이가 $a$인 정사각형의 대각선은 항상 $a\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: 빵을 고르는 경우의 수: 4가지.
2단계: 각 빵마다 음료를 고르는 경우의 수: 3가지.
3단계: 두 사건이 동시에 일어나므로 곱의 법칙을 적용한다.
4단계: $4 \times 3 = 12$가지.

📖 풀이:
1단계: 삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이의 절반이다. (중점연결정리)
2단계: M, N이 각각 AB, AC의 중점이므로 $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{MN} = \frac{1}{2}\overline{BC}$.
3단계: $\overline{MN} = \frac{1}{2} \times 14 = 7$cm.