📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
1단계: $0.\dot{1}\dot{2} = \frac{12}{99}$로 변환한다. 약분하면 $\frac{12}{99} = \frac{4}{33}$.
2단계: $0.\dot{2}\dot{1} = \frac{21}{99} = \frac{7}{33}$.
3단계: 두 분수의 합 $\frac{4}{33} + \frac{7}{33} = \frac{11}{33}$.
4단계: $\frac{11}{33}$을 약분하면 $\frac{1}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 형의 나이를 $x$, 동생의 나이를 $y$라 한다.
2단계: 나이 합 조건: $x + y = 48$ ... ①
3단계: 나이 차 조건: $x - y = 6$ ... ②
4단계: ①과 ②를 더하면 (가감법): $2x = 54$, $x = 27$.
5단계: 따라서 형은 $27$살.

📖 풀이:
1단계: 두 직선이 평행하면 기울기가 같다. $y = -2x + 3$의 기울기는 $-2$이므로 구하는 직선의 기울기도 $-2$.
2단계: 구하는 식을 $y = -2x + b$로 놓는다.
3단계: 점 $(1, 4)$를 지나므로 대입한다. $4 = -2 \times 1 + b$
4단계: $b = 4 + 2 = 6$.
5단계: 따라서 $y = -2x + 6$.

📖 풀이:
1단계: 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로를 이등분한다.
2단계: 따라서 $\overline{AC} = \overline{BD} = 10$cm.
3단계: 교점 O는 대각선 BD를 이등분하므로 $\overline{OB} = \frac{1}{2}\overline{BD}$.
4단계: $\overline{OB} = \frac{1}{2} \times 10 = 5$cm.

📖 풀이:
1단계: 정삼각형의 꼭짓점에서 밑변에 수선을 내리면 밑변이 이등분된다. 이등변삼각형이기 때문이다.
2단계: 수선의 발을 H라 하면 $\overline{BH} = 2$cm, 빗변 $\overline{AB} = 4$cm.
3단계: 직각삼각형 ABH에서 피타고라스 정리로 높이 $h$를 구한다. $h^2 + 2^2 = 4^2$
4단계: $h^2 = 16 - 4 = 12$, $h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$cm.
5단계: 넓이 = $\frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$cm².

📖 풀이:
1단계: DE와 BC가 평행하므로 삼각형 ABC와 삼각형 ADE는 닮음(AA닮음)이다.
2단계: 평행선 사이의 선분의 비에 의해 $\overline{AD}:\overline{DB} = \overline{AE}:\overline{EC}$이 성립한다.
3단계: 비례식을 세우면 $2 : 3 = 6 : \overline{EC}$.
4단계: $2 \times \overline{EC} = 3 \times 6 = 18$.
5단계: $\overline{EC} = 9$cm.

📖 풀이:
1단계: $(2x^2y)^3$을 전개한다. $(2)^3 \times (x^2)^3 \times y^3 = 8x^6y^3$.
2단계: 식은 $8x^6y^3 \div xy^2 \times 3xy$가 된다.
3단계: 나눗셈을 먼저 처리한다. $8x^6y^3 \div xy^2 = \frac{8x^6y^3}{xy^2} = 8x^5y$.
4단계: 곱셈을 처리한다. $8x^5y \times 3xy = 24x^{5+1}y^{1+1} = 24x^6y^2$.

📖 풀이:
1단계: 두 그래프의 교점은 두 식을 동시에 만족하는 점이므로 $y$값을 같게 놓는다. $2x - 1 = -x + 5$
2단계: 이항하여 $x$항을 모은다. $2x + x = 5 + 1$
3단계: $3x = 6$, 따라서 $x = 2$.
4단계: $x = 2$를 $y = 2x - 1$에 대입하면 $y = 2 \times 2 - 1 = 3$.
5단계: 따라서 교점의 좌표는 $(2, 3)$.

📖 풀이:
단항식의 곱셈은 계수끼리, 같은 문자끼리 각각 곱해.
계수: 3 × (-2) = -6
$x$: $x^2 \times x = x^{2+1} = x^3$
$y$: $y \times y^3 = y^{1+3} = y^4$
따라서 $3x^2y \times (-2xy^3) = -6x^3y^4$.

📖 풀이:
먼저 각각의 거듭제곱을 전개해.
$(2x^3y^2)^3 = 2^3 \times x^{3\times3} \times y^{2\times3} = 8x^9y^6$
$(x^2y)^2 = x^{2\times2} \times y^{1\times2} = x^4y^2$
이제 나눗셈:
$\frac{8x^9y^6}{x^4y^2} = 8x^{9-4}y^{6-2} = 8x^5y^4$.

📖 풀이:
두 번째 식에서 $x = y + 1$.
이를 첫 번째 식에 대입하면:
$2(y + 1) + 3y = 12$
$2y + 2 + 3y = 12$
$5y = 10, \; y = 2$
따라서 $x = 2 + 1 = 3$.
$x + y = 3 + 2 = 5$.

📖 풀이:
x절편과 y절편을 구해.
y절편: $x=0$이면 $y = 6$ → (0, 6)
x절편: $y=0$이면 $-2x + 6 = 0$, $x = 3$ → (3, 0)
원점과 두 절편으로 이루어진 직각삼각형의 밑변은 3, 높이는 6.
넓이 = $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$.

📖 풀이:
DE∥BC이면 △ADE와 △ABC가 AA 닮음이야.
닮음비 = $\overline{AD} : \overline{AB} = 4 : (4+2) = 4 : 6 = 2 : 3$.
대응변의 비도 같으므로:
$\overline{DE} : \overline{BC} = 2 : 3$
$\overline{DE} : 9 = 2 : 3$
$\overline{DE} = \frac{2 \times 9}{3} = 6$.

📖 풀이:
괄호를 먼저 풀어.
$3(x - 2) \leq 2x + 5$
$3x - 6 \leq 2x + 5$
양변에서 $2x$를 빼:
$x - 6 \leq 5$
양변에 6을 더해:
$x \leq 11$.

📖 풀이:
$x = 0.545454\cdots$로 놓자.
순환마디의 길이가 2이므로 양변에 100을 곱해.
$100x = 54.545454\cdots$
$100x - x = 54$
$99x = 54$
$x = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}$(분자·분모를 9로 나눔).
따라서 기약분수는 $\frac{6}{11}$.

📖 풀이:
맞힌 문제 수를 $x$, 틀린 문제 수를 $y$라 하면:
$\begin{cases} x + y = 20 \\ 5x - 2y = 58 \end{cases}$
첫 식에서 $y = 20 - x$. 두 번째 식에 대입:
$5x - 2(20 - x) = 58$
$5x - 40 + 2x = 58$
$7x = 98$
$x = 14$.
따라서 맞힌 문제는 14개($y = 6$개 틀림, 검산: $5 \times 14 - 2 \times 6 = 70 - 12 = 58$ ✓).

📖 풀이:
여사건을 이용하자. '적어도 한 개는 앞면'의 여사건은 '모두 뒷면'이야.
두 동전이 모두 뒷면일 확률: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
따라서 적어도 한 개는 앞면일 확률:
$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
(검산: 전체 경우 4가지 중 (뒤,뒤)만 제외하면 3가지 → $\frac{3}{4}$ ✓)

📖 풀이:
1단계: 분모 20을 소인수분해하면 20=2²×5이다.
2단계: 분모의 소인수가 2와 5뿐이므로 이 분수는 유한소수로 나타낼 수 있다.
3단계: $\frac{7}{20}=\frac{7×5}{20×5}=\frac{35}{100}=0.35$
따라서 0.35인 유한소수이다.

📖 풀이:
1단계: 계수끼리 곱한다. 3 × (-2) = -6
2단계: 같은 문자끼리 지수를 더한다.
a²×a = a^(2+1) = a³
b×b³ = b^(1+3) = b⁴
3단계: 모두 합치면 $-6a^3b^4$이다.

📖 풀이:
1단계: 양변에서 5를 빼면 2x < 8
2단계: 양변을 2로 나누면 x < 4
3단계: x < 4를 만족하는 자연수는 1, 2, 3이다.
따라서 3개이다.

📖 풀이:
1단계: 두 식을 변끼리 더한다.
(x+y)+(x-y)=10+4
2x=14, 따라서 x=7
2단계: x=7을 첫 번째 식 x+y=10에 대입하면
7+y=10, y=3
3단계: 따라서 해는 (7, 3)이다.

📖 풀이:
1단계: 먼저 밑면의 대각선 길이를 구한다. 밑면은 가로 6, 세로 8인 직사각형이므로 피타고라스 정리에 의해
밑면 대각선² = 6² + 8² = 36+64 = 100
밑면 대각선 = 10cm
2단계: 직육면체의 공간대각선은 '밑면 대각선'과 '높이'를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다.
공간대각선² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676
3단계: 공간대각선 = √676 = 26cm

📖 풀이:
1단계: 두 닮은 도형의 닮음비가 m:n이면
- 둘레의 비도 m:n
- 넓이의 비는 m²:n²
- 부피의 비는 m³:n³
2단계: 닮음비가 2:5이므로 넓이의 비는 2² : 5²이다.
3단계: 따라서 넓이의 비는 4:25이다.

📖 풀이:
유한소수가 되려면 기약분수의 분모의 소인수가 2와 5뿐이어야 해.
① $\frac{7}{12}$ → 분모 12=2²×3, 3이 있어서 무한소수.
② $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ → 분모가 5뿐이라 유한소수! (0.6)
③ $\frac{11}{21}$ → 분모 21=3×7, 무한소수.
④ $\frac{13}{14}$ → 분모 14=2×7, 7이 있어서 무한소수.
따라서 정답은 ②.

📖 풀이:
1단계: $(3x^2y)^2 = 9x^4y^2$
2단계: $9x^4y^2 \times (-2xy^3) = -18x^5y^5$
3단계: $-18x^5y^5 \div 6x^5y^4 = \frac{-18x^5y^5}{6x^5y^4}$
계수: $-18 \div 6 = -3$
$x$: $x^{5-5} = x^0 = 1$
$y$: $y^{5-4} = y$
4단계: 따라서 결과는 $-3y$이다.
정답은 ② $-3y$이다.