📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
[단계 1] 두 직선의 교점을 구한다.
$x + 2 = -2x + 8$, $3x = 6$, $x = 2$, $y = 4$. 교점은 $(2, 4)$.
[단계 2] 각 직선의 $x$절편을 구한다.
$y = x + 2$: $x = -2$, 즉 $(-2, 0)$.
$y = -2x + 8$: $x = 4$, 즉 $(4, 0)$.
[단계 3] 세 꼭짓점 $(-2, 0)$, $(4, 0)$, $(2, 4)$로 이루어진 삼각형의 밑변은 $x$축 위의 선분이므로 길이 $= 4 - (-2) = 6$, 높이는 교점의 $y$좌표 $= 4$.
넓이 $= \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$.

📖 풀이:
유한소수로 나타낼 수 있으려면 기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 2와 5 외의 소인수가 없어야 한다.
① $14=2×7$ → 7 있음, 무한소수
② $20=2²×5$ → 2와 5만 있음, 유한소수 ✓ ($\frac{7}{20}=0.35$)
③ $21=3×7$ → 무한소수
④ $30=2×3×5$ → 3 있음, 무한소수
따라서 정답은 ②이다.

📖 풀이:
$x=0.272727...$ 로 놓자.
양변에 100을 곱하면 $100x=27.272727...$
두 식을 빼면 $100x-x=27$, 즉 $99x=27$
따라서 $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$ (분자·분모를 9로 약분)
정답은 ②이다.

📖 풀이:
먼저 $(2x³)²$을 계산한다.
$(2x³)² = 2² × (x³)² = 4x⁶$
이제 $4x⁶ × 3x⁴$를 계산한다.
계수끼리: $4×3=12$
문자끼리: $x⁶ × x⁴ = x^{6+4} = x¹⁰$
따라서 $4x⁶ × 3x⁴ = 12x¹⁰$
정답은 ②이다.

📖 풀이:
괄호를 풀 때 뒤의 괄호 앞 음수 부호에 주의한다.
$(3a+2b)-(a-5b)$
$= 3a+2b-a+5b$ (부호 바뀜)
동류항끼리 모은다.
$a$항: $3a-a=2a$
$b$항: $2b+5b=7b$
따라서 $2a+7b$이다.
정답은 ①이다.

📖 풀이:
미지수를 한쪽으로 모은다.
$2x-5 < 3x+1$
$2x-3x < 1+5$
$-x < 6$
양변에 $-1$을 곱하면 부등호 방향이 바뀐다.
$x > -6$
따라서 정답은 ①이다.

📖 풀이:
주사위의 눈은 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지이다.
이 중 소수는 1보다 크고 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수이다.
2, 3, 5 → 3개 (1은 소수가 아님에 주의!)
따라서 확률은 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
정답은 ③이다.

📖 풀이:
두 식을 변끼리 더해서 $y$를 소거한다(가감법).
$(3x-y)+(2x+y)=7+8$
$5x=15$
$x=3$
$x=3$을 $2x+y=8$에 대입한다.
$6+y=8$
$y=2$
따라서 해는 $(3, 2)$이다.
확인: $3×3-2=7$ ✓, $2×3+2=8$ ✓
정답은 ①이다.

📖 풀이:
이등변삼각형의 두 밑각은 크기가 같다.
$\angle B = \angle C$
삼각형의 내각의 합은 180°이므로
$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$
$40° + \angle B + \angle B = 180°$
$2\angle B = 140°$
$\angle B = 70°$
따라서 정답은 ③이다.

📖 풀이:
x절편을 구하려면 $y=0$을 대입한다.
$0=-2x+6$ → $x=3$, 즉 A(3, 0)
y절편을 구하려면 $x=0$을 대입한다.
$y=6$, 즉 B(0, 6)
삼각형 OAB는 직각삼각형(원점에서 직각)이고,
밑변 $\overline{OA}=3$, 높이 $\overline{OB}=6$이다.
넓이 $= \frac{1}{2} × 3 × 6 = 9$
정답은 ②이다.

📖 풀이:
$0.\dot{1}3\dot{5}$는 순환마디가 135(3자리)이다.
$x = 0.135135135...$로 놓자.
양변에 1000을 곱하면 $1000x = 135.135135...$
두 식을 빼면 $1000x - x = 135$, 즉 $999x = 135$.
$x = \frac{135}{999}$
$135 = 27 \times 5$, $999 = 27 \times 37$이므로 최대공약수 27로 약분하면 $x = \frac{5}{37}$.
따라서 $\frac{b}{a} = \frac{5}{37}$에서 $a = 37$, $b = 5$이고 $a + b = 42$.
정답은 ① 42이다.

📖 풀이:
5%의 소금물을 $x$g, 10%의 소금물을 $y$g이라 하자.
[소금물의 양에 대한 식]
$x+y=500$ ... ①
[소금의 양에 대한 식] (농도 × 소금물 = 소금)
$\frac{5}{100}x+\frac{10}{100}y=\frac{8}{100}×500$
양변에 100을 곱하면 $5x+10y=4000$
양변을 5로 나누면 $x+2y=800$ ... ②
②-①을 하면 $y=300$
①에 대입하면 $x=500-300=200$
따라서 5%의 소금물은 200g이다.
정답은 ②이다.

📖 풀이:
닮은 두 도형의 길이의 비(닮음비)가 $m:n$이면,
넓이의 비는 $m²:n²$이다.
닮음비가 2:3이므로
넓이의 비 = $2²:3² = 4:9$
(참고로 부피의 비는 $2³:3³=8:27$이다.)
따라서 정답은 ③이다.

📖 풀이:
서로 다른 두 주사위를 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 $6×6=36$가지이다.
두 눈의 수의 합이 7이 되는 경우를 찾는다.
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6가지
따라서 확률은 $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
정답은 ③이다.

📖 풀이:
1단계: x=0.363636...으로 놓는다. 2단계: 순환마디가 2자리이므로 양변에 100을 곱한다. 100x=36.363636.... 3단계: 100x에서 x를 빼면 99x=36. 4단계: x=$\frac{36}{99}$. 5단계: 9로 약분하면 $\frac{4}{11}$이다.

📖 풀이:
1단계: 괄호 안 전체를 3제곱 해야 하므로 $(-2)^3 \times (a^2)^3$로 분리한다. 2단계: $(-2)^3 = -8$이다. 3단계: 지수법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$에 따라 $(a^2)^3 = a^6$이다. 4단계: 따라서 $-8a^6$이다.

📖 풀이:
1단계: 양변에서 4를 빼면 3x ≥ 12이다. 2단계: 양변을 3으로 나누면 x ≥ 4이다. 3단계: x는 4 이상이어야 하므로 가장 작은 자연수는 4이다.

📖 풀이:
1단계: 이등변삼각형에서 두 밑각은 크기가 같다. 2단계: 삼각형 세 각의 합은 180°이다. 3단계: 밑각을 x라 하면 40 + x + x = 180이다. 4단계: 2x = 140, x = 70°이다.

📖 풀이:
1단계: 피타고라스 정리에 따라 (빗변)² = (한 변)² + (다른 변)²이다. 2단계: $13^2 = 5^2 + b^2$이므로 169 = 25 + $b^2$이다. 3단계: $b^2$ = 144이다. 4단계: b > 0이므로 b = 12cm이다.

📖 풀이:
1단계: 기울기는 (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)이다. 2단계: x가 1에서 4로 3만큼 증가한다. 3단계: y는 3에서 9로 6만큼 증가한다. 4단계: 기울기 = $\frac{6}{3}$ = 2이다.

📖 풀이:
1단계: 동전을 한 번 던질 때 나올 수 있는 경우는 앞면, 뒷면 2가지이다. 2단계: 각 던지기는 서로 독립이므로 곱의 법칙을 적용한다. 3단계: 2 × 2 × 2 = 8가지이다.

📖 풀이:
1단계: 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같으므로 둘레는 3x이다. 2단계: 조건에 따라 15 ≤ 3x ≤ 30이다. 3단계: 각 변을 3으로 나누면 5 ≤ x ≤ 10이다.

📖 풀이:
1단계: 배의 속력을 x, 강물의 속력을 y라 한다. 2단계: 하류 방향은 (x+y)km/h로 이동하므로 (x+y)×2 = 24, 즉 x+y = 12이다. 3단계: 상류 방향은 (x-y)km/h로 이동하므로 (x-y)×3 = 24, 즉 x-y = 8이다. 4단계: 두 식을 더하면 2x = 20, x = 10이다. 5단계: y = 12-10 = 2이다.

📖 풀이:
1단계: 서로 닮은 입체도형에서 길이의 비(닮음비)가 m:n이면 넓이의 비는 $m^2 : n^2$, 부피의 비는 $m^3 : n^3$이다. 2단계: 닮음비가 2:3이므로 부피의 비는 $2^3 : 3^3$이다. 3단계: $2^3$ = 8, $3^3$ = 27이다. 4단계: 따라서 부피의 비는 8 : 27이다.

📖 풀이:
1단계: 분모 20을 소인수분해하면 20=2²×5 → 분모가 2와 5만 있으므로 유한소수.
2단계: 분모를 100으로 만들기 위해 분자·분모에 5를 곱한다.
$\frac{7}{20} = \frac{7×5}{20×5} = \frac{35}{100} = 0.35$