📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 같은 시각 같은 장소에서는 햇빛의 각도가 같으므로, 사람과 그림자가 이루는 직각삼각형과 건물과 그림자가 이루는 직각삼각형은 서로 닮음.
2단계: 비례식 (키):(그림자) 가 일정하므로 $1.6 : 2 = h : 15$.
3단계: 외항의 곱=내항의 곱: $2h = 1.6 \times 15 = 24$.
4단계: $h = \frac{24}{2} = 12$. 따라서 건물 높이는 12m.

📖 풀이:
1단계: 먼저 밑면의 대각선 길이를 구한다. 밑면은 가로 6, 세로 8인 직사각형이므로 대각선$^2=6^2+8^2=36+64=100$, 밑면 대각선 $=10$cm.
2단계: 공간대각선은 '밑면 대각선'과 '높이'를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변.
3단계: 피타고라스 정리로 (공간대각선)$^2=10^2+24^2=100+576=676$.
4단계: 공간대각선 $=\sqrt{676}=26\,\text{cm}$.

📖 풀이:
1단계) 5 ÷ 11을 계산한다.
2단계) 5.000... ÷ 11 = 0.454545... 로 '45'가 반복된다.
3단계) 따라서 $\frac{5}{11} = 0.\dot{4}\dot{5}$ 이고, 순환마디는 '45'이다.

📖 풀이:
1단계) 거듭제곱의 거듭제곱: $(x^2)^3 = x^{2 \times 3} = x^6$.
2단계) 같은 밑수의 곱셈: $x^6 \times x^2 = x^{6+2} = x^8$.
3단계) 따라서 $x^8$이다.

📖 풀이:
1단계) 양변에서 3을 빼면 $2x \leq 8$.
2단계) 양변을 2로 나누면 $x \leq 4$.
3단계) 4 이하의 자연수는 1, 2, 3, 4 이므로 총 4개이다.

📖 풀이:
1단계) 두 일차함수의 그래프가 평행할 조건은 '기울기는 같고 y절편은 다를 것'이다.
2단계) 기울기가 같아야 하므로 $a - 1 = 3$.
3단계) 따라서 $a = 4$. (y절편은 2 ≠ -5 이므로 조건 만족)

📖 풀이:
1단계) 마름모의 두 대각선은 서로 수직이등분한다.
2단계) 마름모의 넓이 = $\frac{1}{2} \times (\text{대각선}_1) \times (\text{대각선}_2)$.
3단계) $\frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$ cm²이다.

📖 풀이:
1단계) 정사각형의 대각선은 두 변을 직각을 낀 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다.
2단계) 피타고라스 정리: $c^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.
3단계) $c = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm이다.

📖 풀이:
1단계) 사과의 개수를 $x$개라 하면 전체 금액은 $1200x + 1000$원이다.
2단계) 조건: $1200x + 1000 \leq 10000$ → $1200x \leq 9000$ → $x \leq 7.5$.
3단계) $x$는 자연수이므로 최대값은 7. 따라서 최대 7개까지 살 수 있다.

📖 풀이:
1단계) 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분(중점연결정리)은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 절반이다.
2단계) 따라서 $MN = \frac{1}{2} BC$.
3단계) $MN = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ cm이다.

📖 풀이:
1단계) 세 점이 한 직선 위에 있으려면 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아야 한다.
2단계) 점 $(-1, -2)$와 $(1, 2)$의 기울기: $\frac{2 - (-2)}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2$.
3단계) 점 $(1, 2)$와 $(3, a)$의 기울기도 2여야 하므로 $\frac{a - 2}{3 - 1} = 2$ → $a - 2 = 4$ → $a = 6$.

📖 풀이:
1단계) 밑면의 대각선 길이: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ cm.
2단계) 공간대각선은 '밑면의 대각선'과 '높이'를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다.
3단계) $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm이다.

📖 풀이:
1단계) 곱셈공식 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$을 이용한다.
2단계) 대입: $5^2 = x^2 + y^2 + 2 \times 3$ → $25 = x^2 + y^2 + 6$.
3단계) 따라서 $x^2 + y^2 = 25 - 6 = 19$이다.

📖 풀이:
1단계) 2의 배수: 2, 4, 6, 8, 10 → 5개.
2단계) 3의 배수: 3, 6, 9 → 3개. 2와 3의 공배수(6의 배수): 6 → 1개.
3단계) 합의 법칙(포함배제): $5 + 3 - 1 = 7$개. 따라서 확률은 $\frac{7}{10}$이다.

📖 풀이:
지수법칙 $(ab)^n = a^n b^n$에 의해 $(2a^2)^3 = 2^3 \times (a^2)^3 = 8 \times a^{2 \times 3} = 8a^6$.
또 $a^m \times a^n = a^{m+n}$이므로 $8a^6 \times a^4 = 8a^{6+4} = 8a^{10}$.

📖 풀이:
미지수 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항한다.
$2x - x > 1 + 5$
$x > 6$.

📖 풀이:
윗옷 고르기(4가지), 바지 고르기(3가지), 신발 고르기(2가지)는 서로 독립적으로 일어난다.
곱의 법칙에 의해 전체 경우의 수는 $4 \times 3 \times 2 = 24$가지.

📖 풀이:
기울기 $a = \frac{y\text{값의 변화}}{x\text{값의 변화}} = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$y = 2x + b$에 점 $(1, 3)$을 대입하면 $3 = 2 \times 1 + b$, 즉 $b = 1$.
따라서 일차함수의 식은 $y = 2x + 1$.

📖 풀이:
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다는 성질이 있다.
따라서 점 O는 BD의 중점이므로 $OD = BO = 7$ cm.
$BD = BO + OD = 7 + 7 = 14$ cm.

📖 풀이:
$DE \parallel BC$이므로 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 닮음이다.
이때 $AD : DB = AE : EC$가 성립한다.
$4 : 2 = 6 : EC$
$4 \times EC = 2 \times 6 = 12$
$EC = 3$.

📖 풀이:
정사각형의 대각선을 그으면 두 변(각각 길이 6)을 두 직각변으로 하는 45-45-90 직각이등변삼각형이 만들어진다.
피타고라스 정리에 의해 (대각선)$^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.
대각선 $= \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ cm.

📖 풀이:
전체 경우의 수 $= 5 \times 4 = 20$.
두 수의 합이 짝수가 되려면 (홀수, 홀수) 또는 (짝수, 짝수)가 나와야 한다.
홀수 카드는 1, 3, 5의 3장, 짝수 카드는 2, 4의 2장.
(홀, 홀)$: 3 \times 2 = 6$가지.
(짝, 짝)$: 2 \times 1 = 2$가지.
합이 짝수인 경우 $= 6 + 2 = 8$가지.
따라서 확률 $= \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

📖 풀이:
$5\%$ 소금물을 $x$ g, $10\%$ 소금물을 $y$ g이라 하자.
(무게 조건) $x + y = 500$ ... ①
(소금 양 조건) $\frac{5}{100}x + \frac{10}{100}y = \frac{8}{100} \times 500$
즉 $0.05x + 0.10y = 40$. 양변에 20을 곱하면 $x + 2y = 800$ ... ②
②에서 ①을 빼면 $y = 300$.
따라서 $x = 500 - 300 = 200$ g.

📖 풀이:
내심 $I$는 세 내각의 이등분선의 교점이다.
삼각형 $IBC$에서 $\angle IBC = \frac{\angle B}{2}$, $\angle ICB = \frac{\angle C}{2}$.
삼각형 $IBC$의 내각의 합이 $180°$이므로
$\angle BIC = 180° - \frac{\angle B + \angle C}{2}$.
$\angle B + \angle C = 180° - \angle A = 110°$이므로
$\angle BIC = 180° - \frac{110°}{2} = 180° - 55° = 125°$.
공식으로는 $\angle BIC = 90° + \frac{\angle A}{2} = 90° + 35° = 125°$.

📖 풀이:
[단계 1] 밑면 대각선을 구한다. 밑면은 가로 3, 세로 4인 직사각형이므로 피타고라스 정리에 의해 밑면 대각선 $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ cm.
[단계 2] 공간대각선은 밑면 대각선(5)과 높이(12)를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다.
공간대각선 $= \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.
한 번에 공식으로 쓰면 $\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ cm.