📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점 = 외접원의 중심
2단계: 원주각과 중심각의 관계: 같은 호에 대한 중심각은 원주각의 2배
3단계: ∠BAC는 호 BC에 대한 원주각, ∠BOC는 호 BC에 대한 중심각
4단계: ∠BOC = 2 × ∠BAC = 2 × 50° = 100°
따라서 정답은 ③이다.

📖 풀이:
1단계: 십의 자리 숫자를 $x$, 일의 자리 숫자를 $y$로 놓으면 원래 수는 $10x + y$이다.
2단계: 각 자리 숫자의 합이 12이므로 $x + y = 12$.
3단계: 숫자를 바꾼 수는 $10y + x$이고 이것이 원래 수보다 18 크므로 $(10y + x) - (10x + y) = 18 \Rightarrow 9y - 9x = 18 \Rightarrow y - x = 2$.
4단계: $x + y = 12$와 $y - x = 2$를 더하면 $2y = 14 \Rightarrow y = 7$, $x = 5$.
5단계: 따라서 원래 수는 $10 \times 5 + 7 = 57$이다.
검산: $5 + 7 = 12$ ✓, 바꾼 수 75는 57보다 18 크다 ✓.
정답은 ③ 57이다.

📖 풀이:
1단계: 반복되는 숫자 묶음(순환마디)을 찾는다. 27이 반복되고 있다.
2단계: 순환소수 표기법은 순환마디의 첫 숫자와 마지막 숫자 위에 점을 찍는다.
3단계: 따라서 $0.272727... = 0.\dot{2}\dot{7}$로 나타낸다.

📖 풀이:
1단계: $(ab)^n = a^n b^n$을 이용해 괄호 안 각 항에 지수 2를 분배한다.
2단계: $(3x^2y^3)^2 = 3^2 \times (x^2)^2 \times (y^3)^2$
3단계: $= 9 \times x^{2 \times 2} \times y^{3 \times 2} = 9x^4y^6$

📖 풀이:
1단계: 문자는 좌변으로, 숫자는 우변으로 이항한다. $2x - x \geq 4 + 3$
2단계: 동류항끼리 정리한다. $x \geq 7$
3단계: 양변에 양수를 곱하거나 나누지 않았으므로 부등호 방향은 그대로다.

📖 풀이:
1단계: 동전 1개를 던질 때 나올 수 있는 경우는 앞/뒤 2가지이므로 동전 2개는 $2 \times 2 = 4$가지.
2단계: 주사위 1개는 1~6까지 6가지.
3단계: 동전과 주사위는 서로 영향을 주지 않으므로 곱의 법칙에 의해 $4 \times 6 = 24$가지.

📖 풀이:
1단계: 두 식에서 $y$의 계수가 $+1$과 $-1$로 부호만 반대이므로 두 식을 더하면 $y$가 소거된다.
2단계: $(2x + y) + (3x - y) = 9 + 6$ → $5x = 15$ → $x = 3$
3단계: $x=3$을 첫 번째 식에 대입: $2(3) + y = 9$ → $y = 3$

📖 풀이:
1단계: 이등변삼각형에서 두 밑각의 크기는 서로 같다. 즉 $\angle B = \angle C$
2단계: 삼각형의 세 내각의 합은 $180°$이므로 $50° + \angle B + \angle C = 180°$
3단계: $2\angle B = 130°$이므로 $\angle B = 65°$

📖 풀이:
1단계: 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이는 절반이다(삼각형 중점연결정리).
2단계: $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{MN} = \frac{1}{2} \overline{BC}$
3단계: $\overline{MN} = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ cm

📖 풀이:
1단계: 사탕 한 개를 $x$원, 초콜릿 한 개를 $y$원이라 하면 연립방정식을 세울 수 있다. $\begin{cases} 3x + 2y = 2400 \\ 2x + 5y = 3800 \end{cases}$
2단계: $x$를 소거하기 위해 첫 식에 $2$, 둘째 식에 $3$을 곱하면 $\begin{cases} 6x + 4y = 4800 \\ 6x + 15y = 11400 \end{cases}$
3단계: 두 식을 빼면 $11y = 6600$, $y = 600$. 따라서 초콜릿 한 개의 가격은 $600$원이다.

📖 풀이:
1단계: 두 직선의 교점은 두 식을 동시에 만족하는 점이다. $2x + 1 = -x + 7$
2단계: $3x = 6$이므로 $x = 2$
3단계: $x = 2$를 $y = 2x + 1$에 대입하면 $y = 2(2) + 1 = 5$. 따라서 교점은 $(2, 5)$

📖 풀이:
1단계: 마름모의 두 대각선은 서로 다른 대각선을 수직이등분한다. 따라서 교점에서 각 대각선은 반으로 나뉜다.
2단계: 대각선의 반은 각각 $5$ cm($\overline{AC}$의 절반)와 $12$ cm($\overline{BD}$의 절반)이며, 이 둘이 직각을 이룬다.
3단계: 피타고라스 정리로 한 변은 빗변. 변의 길이 $= \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm

📖 풀이:
1단계: 평행선 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$에 의해 삼각형의 두 변이 같은 비율로 나뉜다. $\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$
2단계: 값을 대입하면 $4 : 6 = 6 : \overline{EC}$
3단계: 비례식에서 $4 \times \overline{EC} = 6 \times 6 = 36$. 따라서 $\overline{EC} = 9$

📖 풀이:
1단계: 전체 공은 $7$개이고 빨간 공은 $4$개이므로 첫 번째로 빨간 공을 꺼낼 확률은 $\frac{4}{7}$이다.
2단계: 한 개를 꺼낸 뒤 다시 넣지 않으므로 전체는 $6$개, 남은 빨간 공은 $3$개. 두 번째도 빨간 공일 확률은 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
3단계: 두 사건이 잇달아 일어나므로 곱의 법칙을 적용: $\frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

📖 풀이:
1단계: 두 순환소수를 실제 소수로 펼쳐 보면 $0.\dot{3}=0.3333...$, $0.\dot{2}\dot{7}=0.272727...$이다.
2단계: 소수 첫째 자리를 비교하면 3 > 2 이므로 $0.\dot{3}$이 더 크다.
3단계: 따라서 $0.\dot{3} > 0.\dot{2}\dot{7}$.

📖 풀이:
1단계: 괄호를 풀면 $3x^2+2x+x^2-5x$이다.
2단계: $x^2$항끼리 더하면 $3x^2+x^2=4x^2$.
3단계: $x$항끼리 더하면 $2x-5x=-3x$.
4단계: 합치면 $4x^2-3x$.

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수는 공의 총 개수인 $3+2=5$개.
2단계: 사건 (빨간 공이 나오는 경우) 의 수는 3.
3단계: 확률 = (사건의 경우 수) ÷ (전체 경우 수) = $\frac{3}{5}$.

📖 풀이:
1단계: 사과를 $x$개라 하면 배는 $(10-x)$개.
2단계: 전체 금액 부등식 세우기: $500x+300(10-x) \le 4000$.
3단계: 괄호 풀기: $500x+3000-300x \le 4000$, 즉 $200x \le 1000$.
4단계: 양변을 200으로 나누면 $x \le 5$.
5단계: 따라서 사과는 최대 5개까지 살 수 있다.

📖 풀이:
1단계: 현재 아버지 나이 $x$, 아들 나이 $y$라 하면 $x+y=50$.
2단계: 10년 후 아버지 $(x+10)$, 아들 $(y+10)$이고 '아버지 = 아들 2배 - 2'이므로 $x+10=2(y+10)-2$.
3단계: 두 번째 식 정리: $x+10=2y+18$, 즉 $x=2y+8$.
4단계: $x+y=50$에 대입하면 $2y+8+y=50$, $3y=42$, $y=14$.
5단계: $x=50-14=36$. 따라서 현재 아버지는 36세.

📖 풀이:
1단계: 기울기가 2이므로 $y=2x+b$ 꼴.
2단계: 점 $(1,\,3)$을 대입하면 $3=2 \times 1 + b$.
3단계: $b=3-2=1$.
4단계: 따라서 구하는 식은 $y=2x+1$.

📖 풀이:
1단계: 두 직선이 평행하면 기울기가 같다. 주어진 직선 기울기는 $-3$.
2단계: 따라서 구하는 직선은 $y=-3x+b$ 꼴.
3단계: $y$절편이 $-4$이므로 $b=-4$.
4단계: 구하는 식은 $y=-3x-4$.

📖 풀이:
1단계: 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분한다. 따라서 $OA=4$, $OB=3$이고 각 AOB는 직각.
2단계: 삼각형 AOB는 직각삼각형이고, 한 변 AB는 빗변.
3단계: 피타고라스 정리로 $AB^2=4^2+3^2=16+9=25$.
4단계: $AB=\sqrt{25}=5$. 따라서 한 변의 길이는 5cm.

📖 풀이:
1단계: 중점연결정리에 따라 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 변과 평행하고 길이는 그 절반이다.
2단계: 즉 $MN = \frac{1}{2}BC$ 이므로 $BC = 2 \times MN$.
3단계: $BC = 2 \times 7 = 14\,\text{cm}$.

📖 풀이:
1단계: 직사각형의 대각선은 가로, 세로와 직각삼각형을 이룬다.
2단계: 피타고라스 정리로 (대각선)$^2=9^2+12^2=81+144=225$.
3단계: 대각선 $=\sqrt{225}=15\,\text{cm}$.

📖 풀이:
1단계: 5% 소금물을 $x$g, 9% 소금물을 $y$g이라 하자.
2단계: 무게 합: $x+y=200$.
3단계: 소금의 양에 대한 식: $0.05x+0.09y=0.07 \times 200 = 14$.
4단계: 첫 식에서 $y=200-x$를 두 번째 식에 대입: $0.05x+0.09(200-x)=14$.
5단계: 정리하면 $0.05x+18-0.09x=14$, $-0.04x=-4$, $x=100$.
6단계: 따라서 5% 소금물은 100g을 섞어야 한다.