📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
십의 자리 숫자를 $x$, 일의 자리 숫자를 $y$라 하면 처음 수는 $10x+y$, 자릿수를 바꾼 수는 $10y+x$입니다. 조건을 식으로: $\begin{cases} x+y=11 \\ (10y+x)-(10x+y)=27 \end{cases}$ 둘째 식을 정리하면 $9y - 9x = 27$, 즉 $y - x = 3$. 이를 첫째 식과 더하면 $2y = 14$, $y = 7$. 따라서 $x = 4$이고 처음 수는 $10 \times 4 + 7 = 47$.

📖 풀이:
먼저 밑면의 대각선의 길이를 구합니다. $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ cm. 이 대각선과 높이 12 cm가 직각을 이루므로 공간대각선 $d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm. (한 번에 공식으로 풀면 $d = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$.)

📖 풀이:
전체 경우의 수: 십의 자리 5가지, 일의 자리 4가지로 $5 \times 4 = 20$가지. 짝수가 되려면 일의 자리가 2 또는 4이어야 합니다(2가지). 일의 자리를 먼저 정한 뒤 십의 자리는 남은 4장 중 1장이므로 4가지. 짝수의 경우의 수는 $2 \times 4 = 8$가지. 따라서 확률은 $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

📖 풀이:
순환소수는 소수점 아래 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열(순환마디)이 한없이 되풀이되는 무한소수이다.
① 0.333...은 '3'이 반복 → 순환소수
② 0.121212...는 '12'가 반복 → 순환소수
③ 0.456456...은 '456'이 반복 → 순환소수
④ 0.101001000100001...은 0의 개수가 점점 늘어나서 일정한 마디가 없음 → 순환하지 않는 무한소수
따라서 답은 ④이다.

📖 풀이:
$(ab)^n = a^n b^n$ 과 $(a^m)^n = a^{mn}$ 두 가지 지수법칙을 사용한다.
① 계수: $2^2 = 4$
② $x^3$ 부분: $(x^3)^2 = x^{3 \times 2} = x^6$
③ $y^2$ 부분: $(y^2)^2 = y^{2 \times 2} = y^4$
모두 곱하면 $4x^6y^4$이다.

📖 풀이:
부등식을 풀 때는 일차방정식과 같이 이항하여 정리한다.
① $3x - 5 < 7$
② 양변에 5를 더한다: $3x < 12$
③ 양변을 양수 3으로 나눈다(부등호 그대로): $x < 4$
양수로 나눌 때는 부등호 방향이 바뀌지 않는다.

📖 풀이:
동전 하나를 던질 때 나오는 경우는 앞면(H), 뒷면(T)의 2가지이다.
3번을 던지므로 곱의 법칙을 사용한다.
전체 경우의 수 = 2 × 2 × 2 = 8
실제 경우: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT (총 8가지).

📖 풀이:
평행사변형의 성질:
① 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
② 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
③ **두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.**
④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
∠A와 ∠C는 서로 마주보는 대각이므로 크기가 같다.
따라서 ∠C = ∠A = 65°.

📖 풀이:
**x절편**: 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표 (y=0일 때의 x값)
y=0 대입: $0 = -2x + 6$ → $2x = 6$ → $x = 3$

**y절편**: 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표 (x=0일 때의 y값)
x=0 대입: $y = -2 \times 0 + 6 = 6$

따라서 x절편은 3, y절편은 6이다.

📖 풀이:
다항식을 단항식으로 나눌 때는 각 항을 단항식으로 나눠 더한다.
$(6x^2y - 4xy^2) \div 2xy = \frac{6x^2y}{2xy} - \frac{4xy^2}{2xy}$

① 첫 항: $\frac{6x^2y}{2xy} = \frac{6}{2} \times \frac{x^2}{x} \times \frac{y}{y} = 3x$
② 둘째 항: $\frac{4xy^2}{2xy} = \frac{4}{2} \times \frac{x}{x} \times \frac{y^2}{y} = 2y$

따라서 $3x - 2y$.

📖 풀이:
정사각형의 대각선은 두 변과 함께 직각이등변삼각형을 이룬다.

대각선의 길이를 $d$라 하면 피타고라스 정리에 의해
$d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$
$d = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ (cm)

**일반화**: 한 변의 길이 $a$인 정사각형의 대각선은 $a\sqrt{2}$ 이다.

📖 풀이:
닮은 두 도형의 길이비, 넓이비, 부피비 관계:

| 비 | 관계 |
|---|---|
| 닮음비(길이비) | $m:n$ |
| 넓이비 | $m^2:n^2$ |
| 부피비 | $m^3:n^3$ |

닮음비가 2:3 이므로 **넓이비 = $2^2 : 3^2 = 4:9$**.

(참고로 부피비는 $2^3 : 3^3 = 8:27$ 이다.)

📖 풀이:
확률 = (사건이 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)

① **모든 경우의 수**: 동전 2개를 던지면 $2 \times 2 = 4$ 가지
(앞,앞), (앞,뒤), (뒤,앞), (뒤,뒤)

② **모두 앞면**인 경우: (앞,앞) 1가지

③ 따라서 확률 = $\frac{1}{4}$.

📖 풀이:
① **변수 정하기**: 배의 개수를 $x$ 개라 하자. 그러면 사과는 $(10 - x)$ 개.

② **부등식 세우기**: (전체 금액) ≤ 10000
$800(10 - x) + 1200x \leq 10000$

③ **풀기**:
$8000 - 800x + 1200x \leq 10000$
$400x \leq 2000$
$x \leq 5$

④ $x$는 자연수이므로 배는 최대 **5개**.

검산: 배 5개(6000원) + 사과 5개(4000원) = 10000원 ≤ 10000원 ✓

📖 풀이:
**이등변삼각형의 성질**: 두 밑각의 크기는 같다.

△ABC에서 AB = AC 이므로 두 밑각 ∠B와 ∠C 의 크기가 같다.
∠B = ∠C 라 하자.

삼각형의 내각의 합은 180°:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$
$40° + 2\angle B = 180°$
$2\angle B = 140°$
$\angle B = 70°$

따라서 ∠B = **70°**.

📖 풀이:
① **변수 정하기**: 현재 아버지 나이를 $x$세, 아들 나이를 $y$세라 하자.

② **연립방정식 세우기**:
현재: $x = 3y$ ··· (가)
10년 후: $x + 10 = 2(y + 10)$ ··· (나)

③ **풀기**: (가)를 (나)에 대입.
$3y + 10 = 2(y + 10)$
$3y + 10 = 2y + 20$
$y = 10$

④ $y = 10$ 을 (가)에 대입: $x = 30$.

⑤ **검산**:
현재 아버지 30세, 아들 10세 → 30 = 3×10 ✓
10년 후 아버지 40세, 아들 20세 → 40 = 2×20 ✓

따라서 현재 아들의 나이는 **10세**.

📖 풀이:
1단계: $(2x^3y^2)^2 = 2^2 \cdot x^{3\times 2} \cdot y^{2\times 2} = 4x^6y^4$
2단계: $4x^6y^4 \times 3xy = (4\times 3) \cdot x^{6+1} \cdot y^{4+1} = 12x^7y^5$
따라서 정답은 ②이다.

📖 풀이:
1단계: 3의 배수 → 3, 6, 9 (3개)
2단계: 5의 배수 → 5, 10 (2개)
3단계: 3과 5의 공배수(15의 배수)는 10 이하에 없음
4단계: 합의 법칙으로 3+2=5개
확률 = $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
따라서 정답은 ②이다.

📖 풀이:
1단계: 두 번째 식에서 $x = y + 1$.
2단계: 첫 번째 식에 대입한다. $2(y+1) + 3y = 17$.
3단계: $2y + 2 + 3y = 17 \Rightarrow 5y + 2 = 17 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3$.
4단계: $x = y + 1 = 4$.
5단계: 따라서 $x + y = 4 + 3 = 7$.
검산: $2(4) + 3(3) = 8 + 9 = 17$ ✓, $4 - 3 = 1$ ✓.
정답은 ③ 7이다.

📖 풀이:
1단계: $\frac{12a^3b^2}{4ab} = 3a^{3-1}b^{2-1} = 3a^2b$
2단계: $3a^2b \div 3a = \frac{3a^2b}{3a} = a^{2-1}b = ab$
따라서 정답은 ①이다.

📖 풀이:
1단계: 괄호 전개 → $3x-6 \leq 2x+1$
2단계: $x$항은 좌변, 상수는 우변 → $3x-2x \leq 1+6$
3단계: $x \leq 7$
4단계: 자연수 $x$는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 → 7개
따라서 정답은 ③이다.

📖 풀이:
1단계: $x$절편 구하기 → $y=0$일 때, $0=-2x+6$, $x=3$ → A(3, 0)
2단계: $y$절편 구하기 → $x=0$일 때, $y=6$ → B(0, 6)
3단계: 삼각형 OAB는 직각삼각형 (∠O=90°)
4단계: 넓이 = $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$
따라서 정답은 ②이다.

📖 풀이:
1단계: 피타고라스 정리에 의해 $c^2 = a^2 + b^2$
2단계: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
3단계: $c = \sqrt{100} = 10$
따라서 빗변은 10cm이고 정답은 ②이다.

📖 풀이:
1단계: 두 닮은 입체에서 닮음비가 $m:n$일 때,
2단계: 넓이비는 $m^2 : n^2$
3단계: 부피비는 $m^3 : n^3$
4단계: 닮음비 2:3 → 부피비 $2^3 : 3^3 = 8 : 27$
따라서 정답은 ④이다.

📖 풀이:
1단계: $x = 0.\overline{36} = 0.363636...$
2단계: 순환마디 길이가 2이므로 양변에 100을 곱한다. $100x = 36.363636...$
3단계: $100x - x = 36.363636... - 0.363636...$
4단계: $99x = 36$, $x = \frac{36}{99}$
5단계: $\frac{36}{99} = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}$
따라서 정답은 ②이다.