📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
1) 분모 $15$ 를 소인수분해하면 $15 = 3 \times 5$ 이다.
2) 분모에 $2$ 나 $5$ 이외의 소인수 $3$ 이 있으므로 순환소수가 된다.
3) 실제로 $2 \div 15$ 를 계산해 본다.
4) $2.0 \div 15 = 0.1$ 이고 나머지는 $2 - 15 \times 0.1 = 0.5$ 이다.
5) $0.50 \div 15 = 0.03$ 이고 나머지는 $0.50 - 0.45 = 0.05$ 이다.
6) $0.050 \div 15 = 0.003$ 이고 나머지는 $0.005$ 로 같은 패턴이 반복된다.
7) 따라서 $\frac{2}{15} = 0.13333... = 0.1\overline{3}$ 이다.
8) 소수점 아래 첫째 자리 $1$ 이후로 $3$ 만 반복되므로 혼합순환소수이다.

📖 풀이:
1) 먼저 거듭제곱 부분을 푼다: $(3x^2y)^2 = 3^2 \times x^{2 \times 2} \times y^2 = 9x^4y^2$ 이다.
2) 식을 다시 쓰면 $9x^4y^2 \times 2xy \div 6xy^2$ 이다.
3) 앞의 곱셈을 먼저 계산한다: $9x^4y^2 \times 2xy = 18x^{4+1}y^{2+1} = 18x^5y^3$ 이다.
4) 나눗셈을 한다: $18x^5y^3 \div 6xy^2 = \frac{18}{6} \times x^{5-1} \times y^{3-2} = 3x^4y$ 이다.
5) 따라서 답은 $3x^4y$ 이다.

📖 풀이:
1) 연필을 $x$ 개 산다고 하면 지우개는 $(15 - x)$ 개이다.
2) 전체 금액은 $800x + 500(15 - x)$ 원이다.
3) 이 금액이 $10000$ 원 이하여야 하므로 $800x + 500(15 - x) \le 10000$ 이다.
4) 괄호를 풀면 $800x + 7500 - 500x \le 10000$ 이다.
5) 정리하면 $300x \le 2500$ 이다.
6) 양변을 $300$ 으로 나누면 $x \le \frac{25}{3} = 8.333...$ 이다.
7) $x$ 는 자연수여야 하므로 $x$ 의 최댓값은 $8$ 이다.
8) 따라서 연필은 최대 $8$ 개까지 살 수 있다.

📖 풀이:
1) 첫 번째 식에서 $y = 3x - 2$ 로 정리되어 있다.
2) 이를 두 번째 식 $2x + y = 8$ 에 대입한다.
3) $2x + (3x - 2) = 8$ 이다.
4) 괄호를 풀고 정리하면 $5x - 2 = 8$ 이다.
5) 양변에 $2$ 를 더하면 $5x = 10$ 이다.
6) 양변을 $5$ 로 나누면 $x = 2$ 이다.
7) 이 값을 $y = 3x - 2$ 에 대입하면 $y = 3 \times 2 - 2 = 4$ 이다.
8) 따라서 해는 $(x, y) = (2, 4)$ 이다.

📖 풀이:
1단계: 3을 11로 직접 나눕니다. 3 ÷ 11 = 0.272727...
2단계: 소수점 아래 숫자를 관찰합니다. '2, 7'이 계속 반복됩니다.
3단계: 즉 순환마디는 '27'이므로 숫자 2개로 이루어져 있습니다.
따라서 순환마디를 이루는 숫자는 2개입니다.

📖 풀이:
1단계: 지수법칙을 떠올립니다. 밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수끼리 더합니다. 즉 $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
2단계: 지수 4와 3을 더합니다. $4 + 3 = 7$.
3단계: 따라서 $a^4 \times a^3 = a^{4+3} = a^7$입니다.

📖 풀이:
1단계: 두 동전을 던질 때 나올 수 있는 모든 경우는 (앞,앞), (앞,뒤), (뒤,앞), (뒤,뒤)로 총 4가지입니다.
2단계: 두 동전 모두 뒷면인 경우는 (뒤,뒤) 1가지뿐입니다.
3단계: 따라서 확률은 $\frac{1}{4}$입니다.

📖 풀이:
1단계: 두 식을 변끼리 더합니다. $(x+y) + (x-y) = 10 + 4$, 즉 $2x = 14$.
2단계: 양변을 2로 나누어 $x = 7$을 얻습니다.
3단계: $x = 7$을 첫 번째 식 $x + y = 10$에 대입하면 $7 + y = 10$, $y = 3$.
따라서 해는 $x = 7, y = 3$입니다.

📖 풀이:
1단계: 기울기 공식은 (세로 변화량) ÷ (가로 변화량)입니다. 즉 $\frac{y의 \ 변화량}{x의 \ 변화량}$.
2단계: y의 변화량을 구합니다. $9 - 3 = 6$.
3단계: x의 변화량을 구합니다. $4 - 1 = 3$.
4단계: 기울기 = $\frac{6}{3} = 2$.
따라서 직선의 기울기는 2입니다.

📖 풀이:
1단계: 두 닮은 입체도형에서 길이의 비가 $m:n$이면 부피의 비는 $m^3:n^3$입니다.
2단계: 반지름의 비가 $2:3$이므로 부피의 비는 $2^3:3^3$.
3단계: 계산하면 $2^3 = 8$, $3^3 = 27$.
따라서 두 구의 부피의 비는 $8:27$입니다.

📖 풀이:
1단계: 각 분수를 소수로 바꿉니다.
$\frac{1}{3} = 0.333...$ 순환마디 '3' (1자리).
$\frac{1}{9} = 0.111...$ 순환마디 '1' (1자리).
$\frac{1}{11} = 0.090909...$ 순환마디 '09' (2자리).
$\frac{5}{6} = 0.8333...$ 순환마디 '3' (1자리).
2단계: 순환마디가 1자리가 아닌 것은 $\frac{1}{11}$입니다 (2자리).

📖 풀이:
1단계: 괄호를 풀어 동류항끼리 모읍니다. $3x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x - 3$.
2단계: $x^2$ 항을 정리합니다. $3x^2 + x^2 = 4x^2$.
3단계: $x$ 항을 정리합니다. $-2x + 4x = 2x$.
4단계: 상수항을 정리합니다. $1 + (-3) = -2$.
따라서 답은 $4x^2 + 2x - 2$입니다.

📖 풀이:
1단계: 자연수를 $x$라 하고 조건을 식으로 표현합니다. $3x + 5 < 20$.
2단계: 양변에서 $5$를 뺍니다. $3x < 15$.
3단계: 양변을 $3$으로 나눕니다. $x < 5$.
4단계: $x$는 $5$보다 작은 자연수이므로 가능한 값은 $1, 2, 3, 4$이고, 가장 큰 값은 $4$입니다.

📖 풀이:
1단계: 해가 $(2, b)$이므로 $x=2, y=b$를 각 식에 대입합니다.
2단계: 두 번째 식에 대입합니다. $2(2) - b = 1$, 즉 $4 - b = 1$이므로 $b = 3$.
3단계: 첫 번째 식에 $x=2, y=b=3$을 대입합니다. $a(2) + 3 = 3$, 즉 $2a = 0$이므로 $a = 0$.
4단계: 따라서 $a + b = 0 + 3 = 3$입니다.

📖 풀이:
1단계: 먼저 첫 번째 직선의 기울기를 구합니다. 기울기 = $\frac{-1 - 3}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$.
2단계: 평행한 직선은 기울기가 같으므로 구하는 직선의 기울기도 $-2$입니다.
3단계: 구하는 직선을 $y = -2x + b$라 놓고 $(1, 4)$를 대입합니다. $4 = -2(1) + b$, 즉 $4 = -2 + b$.
4단계: 양변에 $2$를 더하면 $b = 6$.
따라서 $y$절편은 $6$입니다.

📖 풀이:
1단계: 두 삼각형 $APD$와 $CPB$를 관찰합니다. $\angle APD = \angle CPB$ (맞꼭지각).
2단계: $\overline{AD} \| \overline{BC}$이므로 $\angle PDA = \angle PBC$ (엇각).
3단계: 두 쌍의 각이 같으므로 두 삼각형은 닮음입니다.
4단계: 대응변의 비가 같으므로 $\overline{AP} : \overline{PC} = \overline{AD} : \overline{CB} = 6 : 10 = 3 : 5$.
따라서 답은 $3 : 5$입니다.

📖 풀이:
각 분수를 소수로 바꿔 순환마디를 찾습니다. ①$\frac{1}{3}=0.333...$ 마디 '3' (길이 1). ②$\frac{1}{6}=0.1666...$ 마디 '6' (길이 1). ③$\frac{1}{9}=0.111...$ 마디 '1' (길이 1). ④$\frac{1}{11}=0.090909...$ 마디 '09' (길이 2). 따라서 ④가 가장 깁니다.

📖 풀이:
$(ab)^n = a^n b^n$, $(a^m)^n = a^{mn}$ 두 지수법칙을 사용합니다. $(2x^2 y)^3 = 2^3 \times (x^2)^3 \times y^3 = 8 \times x^{2 \times 3} \times y^3 = 8x^6 y^3$.

📖 풀이:
양변에서 5를 빼면 $-2x > -4$. 양변을 음수 $-2$로 나누면 부등호의 방향이 반대로 바뀌므로 $x < 2$가 됩니다. (음수로 나누거나 곱할 때는 부등호 방향이 항상 바뀝니다!)

📖 풀이:
두 직선이 평행하려면 기울기가 같아야 합니다. 주어진 직선의 기울기는 $-2$이므로 구하는 직선의 기울기도 $-2$. 점 $(0, -3)$이 y절편이므로 $y$절편은 $-3$. 따라서 $y = -2x - 3$.

📖 풀이:
평행사변형에서 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$이므로 변 $\overline{AB}$를 가로지르는 동측내각의 합은 $180°$입니다. 즉, $\angle A + \angle B = 180°$. 따라서 $\angle B = 180° - 110° = 70°$.

📖 풀이:
닮은 두 입체도형의 부피의 비는 닮음비의 세제곱과 같습니다. 닮음비가 $2:5$이므로 부피의 비는 $2^3 : 5^3 = 8 : 125$. (참고: 겉넓이의 비는 닮음비의 제곱인 $4:25$입니다.)

📖 풀이:
직각이등변삼각형(45°-45°-90°)에서 두 직각변의 길이가 같으므로 $a$라 두면, 피타고라스 정리에 의해 $a^2 + a^2 = 8^2$. 즉, $2a^2 = 64$이므로 $a^2 = 32$, $a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ (cm).

📖 풀이:
회장은 5명 중 누구나 될 수 있으므로 5가지. 부회장은 회장으로 뽑힌 사람을 제외한 나머지 4명 중에서 1명을 뽑으므로 4가지. 회장과 부회장은 동시에 결정되므로 곱의 법칙에 의해 $5 \times 4 = 20$가지.

📖 풀이:
먼저 각 순환소수를 분수로 바꿉니다. $0.\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. $0.\overline{15} = \frac{15}{99} = \frac{5}{33}$. 곱: $\frac{2}{3} \times \frac{5}{33} = \frac{10}{99}$. 분자 10과 분모 99의 공약수는 1뿐이므로 이미 기약분수입니다.