📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
1) 교점은 두 직선의 방정식을 동시에 만족하는 점이므로 $2x - 1 = -x + 5$로 놓는다. 2) 양변을 정리하면 $3x = 6$, 즉 $x = 2$. 3) $x=2$를 $y = 2x - 1$에 대입하면 $y = 4 - 1 = 3$. 4) 다른 식 $y=-x+5$에도 대입하여 $y = -2 + 5 = 3$으로 검산 성공. 따라서 교점은 $(2, 3)$.

📖 풀이:
1) $\triangle ABC$에서 P는 AB의 중점, Q는 BC의 중점이므로 중점연결정리에 의해 $PQ = \frac{1}{2}AC$. 2) 같은 원리로 $SR = \frac{1}{2}AC$, $PS = QR = \frac{1}{2}BD$. 3) PQRS의 둘레 $= PQ + QR + RS + SP = AC + BD$. 4) 따라서 $AC + BD = 20$cm.

📖 풀이:
1) 정삼각형의 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 이등분한다. 밑변이 6cm이므로 나뉜 반은 3cm. 2) 이 수선은 직각삼각형을 만들며 빗변 6cm, 한 변 3cm, 다른 변이 높이 $h$. 3) 피타고라스 정리: $h^2 + 3^2 = 6^2$ → $h^2 = 36 - 9 = 27$. 4) $h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$cm.

📖 풀이:
1단계: $x = 0.252525...$ 로 놓는다.
2단계: 순환마디가 2자리이므로 양변에 100을 곱한다. $100x = 25.2525...$
3단계: 두 식을 빼면 $100x - x = 25.2525... - 0.2525... = 25$
4단계: $99x = 25$ 이므로 $x = \frac{25}{99}$. 기약분수이다.

📖 풀이:
1단계: $(ab)^n = a^n b^n$ 을 이용해 각 인수에 세제곱을 분배한다.
2단계: 계수: $2^3 = 8$
3단계: $(a^2)^3 = a^{2 \times 3} = a^6$
4단계: $(b^3)^3 = b^{3 \times 3} = b^9$
5단계: 모두 곱하면 $8a^6b^9$ 이다.

📖 풀이:
1단계: 세 자연수를 $n-1, n, n+1$ 이라 하면 합은 $3n$ 이다.
2단계: $3n < 24$ 이므로 $n < 8$
3단계: $n$ 은 자연수이므로 가장 큰 값은 $n = 7$
4단계: 세 자연수는 6, 7, 8 이고, 이 중 가장 큰 수는 8 이다.
5단계: 확인: $6+7+8 = 21 < 24$ 성립.

📖 풀이:
1단계: 각각 독립적으로 고르는 상황이므로 곱의 법칙을 쓴다.
2단계: 메인 4가지 × 사이드 3가지 × 음료 5가지
3단계: $4 \times 3 \times 5 = 60$
4단계: 따라서 전체 경우의 수는 60가지이다.

📖 풀이:
1단계: 기울기를 구한다. 기울기 $= \frac{y증가량}{x증가량} = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
2단계: 일차함수식을 $y = 3x + b$ 라 놓는다.
3단계: 점 (1, 4)를 대입한다: $4 = 3 \times 1 + b$
4단계: $b = 1$
5단계: 따라서 일차함수식은 $y = 3x + 1$ 이다.
6단계: 확인: $x=3$ 대입하면 $y = 9+1 = 10$ 으로 성립.

📖 풀이:
1단계: 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
2단계: 마름모의 넓이 공식: (대각선1) × (대각선2) ÷ 2
3단계: 대입: $16 \times 12 \div 2$
4단계: $= 192 \div 2 = 96$
5단계: 따라서 마름모의 넓이는 96 cm² 이다.

📖 풀이:
1단계: 중점연결정리: 삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 절반이다.
2단계: 즉, $\overline{MN} = \frac{1}{2} \overline{BC}$
3단계: $\overline{MN} = 5$ 이므로 $5 = \frac{1}{2} \overline{BC}$
4단계: $\overline{BC} = 10$ cm
5단계: 따라서 BC의 길이는 10 cm 이다.

📖 풀이:
1단계: 두 점의 x좌표 차이: $5 - 1 = 4$
2단계: 두 점의 y좌표 차이: $5 - 2 = 3$
3단계: 피타고라스 정리로 두 점 사이 거리 $d$ 를 구한다: $d^2 = 4^2 + 3^2$
4단계: $d^2 = 16 + 9 = 25$
5단계: $d = \sqrt{25} = 5$
6단계: 따라서 거리는 5 이다.

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수는 20 이다.
2단계: 1~20 중 3의 배수를 나열한다: 3, 6, 9, 12, 15, 18
3단계: 3의 배수의 개수는 6 이다.
4단계: 확률 = $\frac{해당 경우의 수}{전체 경우의 수} = \frac{6}{20}$
5단계: 기약분수로 줄이면 $\frac{3}{10}$
6단계: 따라서 확률은 $\frac{3}{10}$ 이다.

📖 풀이:
1단계: 주어진 식에 값을 하나씩 대입한다.
2단계: $3x^2y$ 에 대입: $3 \times 2^2 \times (-3) = 3 \times 4 \times (-3) = -36$
3단계: $2xy^2$ 에 대입: $2 \times 2 \times (-3)^2 = 2 \times 2 \times 9 = 36$
4단계: 식의 값: $-36 - 36 = -72$
5단계: 따라서 식의 값은 -72 이다.

📖 풀이:
1단계: A와 B 사이의 거리를 $x$ km 라 하자.
2단계: 갈 때 걸린 시간 = $\frac{x}{4}$ 시간 (거리÷속력)
3단계: 올 때 걸린 시간 = $\frac{x}{6}$ 시간
4단계: 총 시간 방정식: $\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 5$
5단계: 양변에 12를 곱한다: $3x + 2x = 60$
6단계: $5x = 60$, $x = 12$
7단계: 따라서 A와 B 사이의 거리는 12 km 이다.

📖 풀이:
1단계: 처음 물의 양은 50 L 이고, 1분마다 3 L씩 줄어든다.
2단계: $x$ 분 후 줄어든 물의 양은 $3x$ L 이다.
3단계: 남은 물의 양 $y$ 를 식으로 나타내면 $y = 50 - 3x$ (일차함수).
4단계: $x = 15$ 를 대입한다: $y = 50 - 3 \times 15 = 50 - 45 = 5$
5단계: 따라서 15분 후 남은 물의 양은 5 L 이다.
6단계: 참고: 물이 다 빠지는 시간은 $50 - 3x = 0$ 에서 $x = \frac{50}{3} \approx 16.7$ 분.

📖 풀이:
1단계: 이등변삼각형에서 꼭짓점에서 밑변으로 내린 수선은 밑변을 이등분한다.
2단계: 밑변의 절반은 $10 \div 2 = 5$ cm
3단계: 높이를 $h$ cm 라 하면, 직각삼각형에서 피타고라스 정리: $5^2 + h^2 = 13^2$
4단계: $25 + h^2 = 169$, $h^2 = 144$, $h = 12$
5단계: 이등변삼각형의 넓이 = $\frac{1}{2} \times 밑변 \times 높이 = \frac{1}{2} \times 10 \times 12$
6단계: $= 60$
7단계: 따라서 넓이는 60 cm² 이다.

📖 풀이:
1) $x = 0.16666...$ 이라 놓는다.
2) 양변에 10을 곱하면 $10x = 1.6666...$ 이다.
3) 양변에 100을 곱하면 $100x = 16.6666...$ 이다.
4) 두 식을 빼면 $100x - 10x = 16.6666... - 1.6666... = 15$ 이다.
5) $90x = 15$ 이므로 $x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ 이다.
6) 소수점 아래 순환하지 않는 부분이 있을 때는 10배와 100배의 차를 이용해 구한다.

📖 풀이:
1) 계수끼리 나눈다: $12 \div 4 = 3$ 이다.
2) 같은 문자끼리 지수를 뺀다: $a^3 \div a^2 = a^{3-2} = a$ 이다.
3) $b^2 \div b = b^{2-1} = b$ 이다.
4) 모두 곱하면 $3 \times a \times b = 3ab$ 이다.

📖 풀이:
1) 첫 번째 부등식 $2x - 1 > 3$ 을 풀면 $2x > 4$, 즉 $x > 2$ 이다.
2) 두 번째 부등식 $5 - x \ge 1$ 을 풀면 $-x \ge -4$ 이다.
3) 양변에 $-1$ 을 곱하면 부등호 방향이 반대가 되어 $x \le 4$ 이다.
4) 두 해 $x > 2$ 와 $x \le 4$ 의 공통부분을 구한다.
5) 수직선 위에서 겹치는 부분은 $2 < x \le 4$ 이다.

📖 풀이:
1) 닭의 수를 $x$, 돼지의 수를 $y$ 라고 한다.
2) 머리 수 조건: $x + y = 10$ 이다.
3) 다리 수 조건: 닭은 2개, 돼지는 4개이므로 $2x + 4y = 28$ 이다.
4) 첫 식에 2를 곱한다: $2x + 2y = 20$ 이다.
5) 두 식을 빼면 $2y = 8$, 즉 $y = 4$ 이다.
6) 첫 식에 대입하면 $x = 10 - 4 = 6$ 이다.
7) 따라서 닭은 6마리, 돼지는 4마리이다.

📖 풀이:
1) 삼각형 내각의 합은 $180°$ 이다.
2) 이등변삼각형에서 두 밑각의 크기는 서로 같다.
3) 즉, $\angle B = \angle C$ 이다.
4) $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ 에서 $40° + 2\angle B = 180°$ 이다.
5) $2\angle B = 140°$ 이므로 $\angle B = 70°$ 이다.

📖 풀이:
1) 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점이다.
2) 따라서 $\angle IBC = \frac{1}{2}\angle B$, $\angle ICB = \frac{1}{2}\angle C$ 이다.
3) 삼각형 $IBC$ 에서 내각의 합은 $180°$ 이다.
4) $\angle BIC + \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 180°$ 이다.
5) $\angle B + \angle C = 180° - \angle A = 120°$ 이므로 $\frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 60°$ 이다.
6) $\angle BIC = 180° - 60° = 120°$ 이다.
7) 공식으로 정리하면 $\angle BIC = 90° + \frac{1}{2}\angle A = 90° + 30° = 120°$ 이다.

📖 풀이:
1) $DE \parallel BC$ 일 때 삼각형 $ADE$ 와 삼각형 $ABC$ 는 닮음이다.
2) 따라서 대응하는 변의 비가 같다: $AD : DB = AE : EC$ 이다.
3) 값을 대입하면 $4 : 6 = AE : 9$ 이다.
4) 비례식을 풀면 $6 \times AE = 4 \times 9 = 36$ 이다.
5) 따라서 $AE = \frac{36}{6} = 6$ 이다.

📖 풀이:
1) 나머지 한 변의 길이를 $a$ cm 라고 한다.
2) 피타고라스 정리에 의하면 (빗변)$^2$ = (한 변)$^2$ + (다른 변)$^2$ 이다.
3) $13^2 = a^2 + 12^2$ 이다.
4) $169 = a^2 + 144$ 이므로 $a^2 = 169 - 144 = 25$ 이다.
5) $a > 0$ 이므로 $a = \sqrt{25} = 5$ 이다.
6) 따라서 나머지 한 변의 길이는 $5$ cm 이다.

📖 풀이:
1) 주메뉴를 고르는 방법은 3가지이다.
2) 각각의 주메뉴에 대해 음료를 고르는 방법은 4가지이다.
3) 두 사건이 동시에 일어나므로 곱의 법칙을 사용한다.
4) 전체 경우의 수는 $3 \times 4 = 12$ 가지이다.