📝 중2 수학 일반

📖 풀이:
중점연결정리: 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 절반이다.
즉, MN ∥ BC이고 MN = $\frac{1}{2}$BC
MN = $\frac{1}{2} \times 14$ = 7 cm

📖 풀이:
전체 7개 공 중 2개를 꺼내는 경우의 수:
$\frac{7 \times 6}{2} = 21$가지
둘 다 빨강일 경우: $\frac{3 \times 2}{2} = 3$가지
둘 다 파랑일 경우: $\frac{4 \times 3}{2} = 6$가지
두 공의 색이 같을 경우 = 3 + 6 = 9가지
확률 = $\frac{9}{21}$ = $\frac{3}{7}$

📖 풀이:
기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 있으면 유한소수가 된다.
① 14=2×7 → 7 있음, 무한소수
② 30=2×3×5 → 3 있음, 무한소수
③ 40=2³×5 → 2와 5만 있음, 유한소수 ✓ ($\frac{9}{40}=0.225$)
④ 33=3×11 → 3, 11 있음, 무한소수

📖 풀이:
1단계: $(-2x^2y)^3 = (-2)^3 \times (x^2)^3 \times y^3 = -8x^6y^3$
2단계: $-8x^6y^3 \times 3xy^2$
3단계: 계수끼리 곱하기: $-8 \times 3 = -24$
4단계: 같은 문자끼리 지수 더하기: $x^6 \times x = x^7$, $y^3 \times y^2 = y^5$
최종: $-24x^7y^5$

📖 풀이:
1단계: 문자는 좌변, 숫자는 우변으로 이항
$3x - 5x \geq 1 + 7$
2단계: 양변 정리
$-2x \geq 8$
3단계: 양변을 $-2$로 나누기 (음수로 나누므로 부등호 방향 바뀜!)
$x \leq -4$

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수 = 10
2단계: 1부터 10까지의 소수 찾기
소수: 2, 3, 5, 7 → 4개
(1은 소수가 아님 주의!)
3단계: 확률 = $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

📖 풀이:
1단계: $0.\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$
2단계: $0.1\overline{6} = \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$
3단계: 두 분수를 더한다. 공통분모는 $\text{lcm}(11, 6) = 66$이므로
$\frac{3}{11} + \frac{1}{6} = \frac{18}{66} + \frac{11}{66} = \frac{29}{66}$
4단계: 29는 소수이고 $66 = 2 \times 3 \times 11$이므로 $\frac{29}{66}$은 이미 기약분수이다.
따라서 답은 ③ $\frac{29}{66}$이다.

📖 풀이:
1단계: x절편 구하기 ($y=0$ 대입)
$0 = -\frac{2}{3}x + 4$ → $x = 6$
2단계: y절편 구하기 ($x=0$ 대입)
$y = 4$
3단계: 두 절편과 원점이 이루는 직각삼각형의 밑변과 높이는 각각 6, 4
4단계: 넓이 = $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

📖 풀이:
1단계: 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 있다.
2단계: 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같다 (외접원의 반지름).
3단계: 따라서 $\overline{AM} = \overline{BM} = \overline{CM}$
4단계: 즉, 빗변 중점에서 직각 꼭짓점까지의 거리는 빗변 길이의 절반과 같다.

📖 풀이:
1단계: 앞에서부터 차례대로 계산
$12x^3y^2 \div (-3xy) = \frac{12x^3y^2}{-3xy}$
2단계: 계수와 문자 각각 계산
$\frac{12}{-3} = -4$, $\frac{x^3}{x}=x^2$, $\frac{y^2}{y}=y$
→ $-4x^2y$
3단계: 다음 곱셈 수행
$-4x^2y \times 2x^2y$
4단계: 계수 $-4 \times 2 = -8$, 문자 $x^2 \cdot x^2 = x^4$, $y \cdot y = y^2$
최종: $-8x^4y^2$

📖 풀이:
1단계: 닮음비 = 2:5
2단계: 넓이의 비 = 닮음비의 제곱 = $2^2 : 5^2 = 4:25$
3단계: 부피의 비 = 닮음비의 세제곱 = $2^3 : 5^3 = 8:125$
4단계: 따라서 부피비는 8:125

📖 풀이:
1단계: 직육면체의 공간대각선 공식
대각선 = $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
2단계: 값 대입
$= \sqrt{3^2+4^2+12^2}$
$= \sqrt{9+16+144}$
$= \sqrt{169}$
3단계: $\sqrt{169}=13$
따라서 대각선의 길이는 13

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 부등식 풀기
$3(x-2) < x+4$
$3x-6 < x+4$
$2x < 10$
$x < 5$
2단계: 두 번째 부등식 풀기 (양변에 6 곱하기)
$2(2x-1) \geq 3(x+1)$
$4x-2 \geq 3x+3$
$x \geq 5$
3단계: 두 해의 공통 부분 찾기
$x < 5$ 이면서 $x \geq 5$ → 공통 부분 없음
4단계: 따라서 해는 없다.

📖 풀이:
1단계: 평행사변형에서 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{AD}=\overline{BC}$
2단계: $\overline{BE}:\overline{EC}=2:1$이므로 $\overline{BC}=3k$라 하면 $\overline{BE}=2k$, $\overline{AD}=3k$
3단계: $\triangle PBE$와 $\triangle PDA$에서
- $\angle BPE = \angle DPA$ (맞꼭지각)
- $\angle PBE = \angle PDA$ (엇각, AD∥BC)
→ AA닮음
4단계: 닮음비는 대응변의 비 $\overline{BE}:\overline{DA} = 2k:3k = 2:3$
5단계: 따라서 $\overline{BP}:\overline{PD}=2:3$

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수 = $6 \times 6 = 36$
2단계: 첫째 > 둘째인 경우를 세기
첫째=2: 둘째=1 → 1가지
첫째=3: 둘째=1,2 → 2가지
첫째=4: 1,2,3 → 3가지
첫째=5: 1,2,3,4 → 4가지
첫째=6: 1,2,3,4,5 → 5가지
총 $1+2+3+4+5=15$가지
3단계: 확률 = $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$
※ 참고: 첫째=둘째인 경우 6가지를 빼면 30가지가 '크거나 작은' 경우, 대칭에 의해 그 중 절반인 15가지가 '첫째>둘째'

📖 풀이:
1) $\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}$이므로 순환마디는 '428571'(길이 6). 2) 50 ÷ 6 = 8 나머지 2이므로 50번째 자리는 순환마디의 2번째 숫자와 같다. 3) 순환마디 '428571'의 2번째 숫자는 2. 따라서 답은 2.

📖 풀이:
1) 분배법칙 적용: $-2a \times 3a = -6a^2$. 2) $-2a \times (-4b) = +8ab$ (음수×음수=양수). 3) $-2a \times 5 = -10a$. 4) 세 항을 합하면 $-6a^2 + 8ab - 10a$.

📖 풀이:
1) 정삼각형의 둘레는 한 변의 3배이므로 둘레 = 3x. 2) 조건: 3x ≥ 24. 3) 양변을 양수 3으로 나누면 부등호 방향은 그대로: x ≥ 8. 따라서 x는 8 이상.

📖 풀이:
1) 서로 다른 종류에서 하나씩 독립적으로 고르므로 곱의 법칙을 적용. 2) 상의 3가지 × 하의 4가지 × 모자 2가지. 3) 3 × 4 × 2 = 24. 따라서 총 24가지의 코디가 가능하다.

📖 풀이:
1) 기울기 = $\frac{y의 증가량}{x의 증가량} = \frac{10-2}{3-(-1)} = \frac{8}{4} = 2$. 2) 식을 $y = 2x + b$로 놓고 점 $(-1, 2)$를 대입: $2 = 2 \times (-1) + b$, 즉 $b = 4$. 3) 따라서 일차함수의 식은 $y = 2x + 4$.

📖 풀이:
1) 마름모의 대각선은 한 내각을 이등분하므로 $\angle BAC = \angle DAC = 35°$. 2) 따라서 $\angle DAB = 35° + 35° = 70°$. 3) 마름모는 평행사변형의 일종이므로 이웃한 두 내각의 합은 180°: $\angle ABC = 180° - 70° = 110°$.

📖 풀이:
1) 정사각형의 대각선은 두 변이 모두 5cm인 직각이등변삼각형의 빗변과 같다. 2) 피타고라스 정리: (대각선)² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50. 3) 대각선 = $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ cm.

📖 풀이:
1) '적어도 1문제 맞힘'의 여사건은 '3문제 모두 틀림'. 2) 한 문제를 틀릴 확률은 $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. 3) 세 문제 모두 틀릴 확률은 독립이므로 $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$. 4) 따라서 적어도 1문제 맞힐 확률 = $1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$.

📖 풀이:
1) 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. 2) 삼각형 내각의 합에서 $\angle B + \angle C = 180° - 70° = 110°$. 3) 각 이등분이므로 $\angle IBC + \angle ICB = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = 55°$. 4) $\triangle IBC$에서 $\angle BIC = 180° - 55° = 125°$. 공식으로는 $\angle BIC = 90° + \frac{\angle A}{2} = 90° + 35° = 125°$.

📖 풀이:
1) 5% 소금물을 $x$g, 10% 소금물을 $y$g으로 놓으면 무게 관계식 $x + y = 500$. 2) 소금의 양 관계식: $0.05x + 0.10y = 0.08 \times 500 = 40$, 즉 $5x + 10y = 4000$. 3) $x+y=500$에 5를 곱한 $5x+5y=2500$을 빼면 $5y = 1500$, $y = 300$. 4) $x = 500 - 300 = 200$. 따라서 5% 소금물은 200g.