📝 중2 수학 일반 (1/10)

Q1유리수와 순환소수★

분수

\frac{2}{9}

를 소수로 나타내었을 때, 순환마디로 옳은 것은?

① 2

② 22

③ 222

④ 02

Q2유리수와 순환소수★★

순환소수 0.272727... (순환마디 27)을 기약분수로 나타내면?

①

\frac{27}{99}

②

\frac{3}{11}

③

\frac{27}{100}

④

\frac{27}{90}

🎯 정답: ②

📖 풀이:
1단계: x = 0.272727...로 놓습니다. 2단계: 순환마디가 두 자리이므로 양변에 100을 곱하면 100x = 27.272727... 3단계: 100x - x = 27.272727... - 0.272727... = 27, 즉 99x = 27. 4단계: x =

\frac{27}{99}

=

\frac{3}{11}

(분모와 분자를 9로 약분).

💡 모든 순환소수는 반드시 분수로 나타낼 수 있어서 유리수에 속해요.

Q3식의 계산★

a^3 \times a^5

을 간단히 하면?

①

a^8

②

a^{15}

③

a^2

④

2a^8

🎯 정답: ①

📖 풀이:
지수법칙에 의하면 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 지수끼리 더합니다. 즉,

a^m \times a^n = a^{m+n}

. 따라서

a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^8

.

💡 밑이 같은 거듭제곱의 '곱'은 지수를 '더'하고, '나눗셈'은 지수를 '빼'는 규칙을 꼭 기억하세요.

Q4식의 계산★★

(2x^2y)^3 \div 4x^3y

를 간단히 하면?

①

2x^3y^2

②

2x^3y

③

4x^3y^2

④

x^4y^2

🎯 정답: ①

📖 풀이:
1단계: 먼저

(2x^2y)^3

을 전개합니다.

(2x^2y)^3 = 2^3 \times (x^2)^3 \times y^3 = 8x^6y^3

. 2단계: 이를

4x^3y

로 나눕니다.

\frac{8x^6y^3}{4x^3y} = \frac{8}{4} \times x^{6-3} \times y^{3-1} = 2x^3y^2

.

💡

(ab)^n = a^n b^n

,

(a^m)^n = a^{mn}

두 가지 지수법칙을 함께 사용하는 문제예요.

Q5식의 계산★★★

3x(x-2y) - 2x(x+y) - (x^2-xy)

를 전개하여 정리하시오.

직접 채점:

🎯 정답: -7xy

📖 풀이:
1단계: 각 항을 전개합니다.

3x(x-2y) = 3x^2 - 6xy

.

-2x(x+y) = -2x^2 - 2xy

.

-(x^2-xy) = -x^2 + xy

. 2단계: 동류항끼리 모읍니다.

x^2

항:

3x^2 - 2x^2 - x^2 = 0

.

xy

항:

-6xy - 2xy + xy = -7xy

. 3단계: 최종 결과는

-7xy

입니다.

💡 부호에 주의하세요! 괄호 앞에 빼기가 있으면 괄호 안 모든 항의 부호가 바뀝니다.

Q6일차부등식★

일차부등식

2x + 3 > 7

의 해는?

① x > 2

② x < 2

③ x > 5

④ x < 5

🎯 정답: ①

📖 풀이:
1단계: 상수항을 우변으로 이항합니다.

2x > 7 - 3

, 즉

2x > 4

. 2단계: 양변을 2(양수)로 나눕니다. 양수로 나눌 때는 부등호 방향이 바뀌지 않습니다.

x > 2

.

💡 부등식의 양변을 '음수'로 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀌는 것에 주의하세요.

Q7일차부등식★★

한 개에 800원인 사과와 한 개에 500원인 귤을 합하여 10개 사고, 전체 가격을 6500원 이하로 하려고 한다. 사과는 최대 몇 개까지 살 수 있는가?

① 3개

② 4개

③ 5개

④ 6개

🎯 정답: ③

📖 풀이:
1단계: 사과를 x개, 귤을 (10-x)개 산다고 놓습니다. 2단계: 전체 가격 부등식을 세웁니다.

800x + 500(10-x) ≤ 6500

. 3단계: 전개하면

800x + 5000 - 500x ≤ 6500

, 즉

300x ≤ 1500

. 4단계: 양변을 300으로 나누면

x ≤ 5

. 따라서 사과는 최대 5개까지 살 수 있습니다.

💡 '이하', '이상'은 부등호 '≤', '≥'를 사용하고, '미만', '초과'는 '<', '>'를 사용해요.

Q8연립일차방정식★★

연립방정식

\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases}

의 해를 구하시오.

① x=3, y=4

② x=4, y=3

③ x=2, y=5

④ x=5, y=2

🎯 정답: ①

📖 풀이:
1단계: 가감법을 사용합니다. y의 계수가 +1과 -1로 부호가 반대이므로 두 식을 그대로 더합니다.

(x+y) + (2x-y) = 7 + 2

, 즉

3x = 9

, 따라서

x = 3

. 2단계:

x=3

을 첫 번째 식

x+y=7

에 대입하면

3+y=7

,

y=4

. 3단계: 해는

x=3, y=4

입니다.

💡 연립방정식은 두 직선의 교점을 찾는 것과 같아요. 해가 하나 있다는 것은 두 직선이 한 점에서 만난다는 뜻!

Q9연립일차방정식★★★

6% 소금물과 15% 소금물을 섞어 9% 소금물 300g을 만들려고 한다. 6% 소금물은 몇 g 필요한가?

① 180g

② 200g

③ 220g

④ 240g

🎯 정답: ②

📖 풀이:
1단계: 6% 소금물을 x g, 15% 소금물을 y g이라 놓습니다. 2단계: 전체 양에 대한 식:

x + y = 300

. 3단계: 소금의 양에 대한 식(농도 × 질량 = 소금량):

\frac{6}{100}x + \frac{15}{100}y = \frac{9}{100} \times 300

, 즉

6x + 15y = 2700

. 4단계: 첫 번째 식에 15를 곱하면

15x + 15y = 4500

. 이 식에서

6x+15y=2700

을 빼면

9x = 1800

,

x = 200

. 따라서 6% 소금물은 200g 필요합니다.

💡 농도 문제의 핵심은 '섞어도 소금의 총량은 보존된다'는 원리예요.

Q10일차함수★★

일차함수

y = -2x + 4

의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

① 2

② 4

③ 6

④ 8

🎯 정답: ②

📖 풀이:
1단계: x절편을 구합니다. y=0을 대입하면

0 = -2x + 4

,

x = 2

. 즉 x절편은 (2, 0). 2단계: y절편을 구합니다. x=0을 대입하면

y = 4

. 즉 y절편은 (0, 4). 3단계: x축, y축, 그리고 직선으로 둘러싸인 도형은 직각삼각형이고, 밑변은 2, 높이는 4입니다. 4단계: 넓이 =

\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4

.

💡 일차함수 y=ax+b의 x절편은

-\frac{b}{a}

, y절편은 b로 공식처럼 외워둘 수 있어요.

Q11도형의 성질★★

이등변삼각형 ABC에서 AB=AC이고 밑각 ∠B = 70°일 때, 꼭지각 ∠A의 크기는?

① 30°

② 40°

③ 50°

④ 70°

🎯 정답: ②

📖 풀이:
1단계: 이등변삼각형의 성질에 의해 두 밑각의 크기가 같습니다. AB=AC이므로 ∠B = ∠C = 70°. 2단계: 삼각형의 세 내각의 합은 180°이므로

∠A + ∠B + ∠C = 180°

. 3단계:

∠A = 180° - 70° - 70° = 40°

.

💡 이등변삼각형의 꼭지각 이등분선은 밑변을 수직이등분해요. 대칭의 아름다움!

Q12도형의 닮음★★★

삼각형 ABC에서 변 BC에 평행한 선분 DE가 있어 점 D는 변 AB 위, 점 E는 변 AC 위에 있다. AD=4, DB=6, DE=6일 때, BC의 길이는?

① 9

② 12

③ 15

④ 18

🎯 정답: ③

📖 풀이:
1단계: DE∥BC이므로 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 AA 닮음입니다(공통각 ∠A, 동위각 ∠ADE = ∠ABC). 2단계: 닮음비를 계산합니다. AB = AD + DB = 4 + 6 = 10. 닮음비 AD:AB = 4:10 = 2:5. 3단계: 대응변의 비는 닮음비와 같으므로 DE:BC = 2:5. 4단계:

6:BC = 2:5

에서

2 \times BC = 30

, 따라서

BC = 15

.

💡 삼각형에서 한 변에 평행한 선은 다른 두 변을 같은 비로 나누어 '평행선과 선분의 비' 법칙을 만듭니다.

Q13피타고라스 정리★

직각삼각형에서 두 직각변의 길이가 각각 5cm, 12cm일 때, 빗변의 길이는?

① 10cm

② 13cm

③ 15cm

④ 17cm

🎯 정답: ②

📖 풀이:
1단계: 피타고라스 정리에 의해 (빗변)² = (한 직각변)² + (다른 직각변)². 2단계: 빗변을 c라 하면

c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

. 3단계:

c = \sqrt{169} = 13

. 따라서 빗변의 길이는 13cm입니다.

💡 (5, 12, 13)은 (3, 4, 5), (8, 15, 17)과 함께 유명한 '피타고라스 수' 세 쌍이에요.

Q14경우의 수와 확률★★★

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 7일 확률은?

①

\frac{1}{6}

②

\frac{1}{12}

③

\frac{5}{36}

④

\frac{7}{36}

🎯 정답: ①

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수를 구합니다. 주사위 2개를 던질 때 나오는 모든 경우는

6 \times 6 = 36

가지. 2단계: 두 눈의 합이 7인 경우를 나열합니다. (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 총 6가지. 3단계: 확률 =

\frac{사건의 경우의 수}{전체 경우의 수} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

.

💡 주사위 두 개의 합 중 '7'이 나올 확률이 가장 높아요. 합이 커질수록 또는 작을수록 경우의 수가 줄어들거든요.

Q15유리수와 순환소수★

다음 분수 중에서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은?

①

\frac{3}{14}

②

\frac{7}{20}

③

\frac{5}{21}

④

\frac{2}{15}

🎯 정답: ②

\frac{7}{20}

📖 풀이:
기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 있으면 유한소수로 나타낼 수 있다.
① 14=2×7 (7 있음 → 무한소수)
② 20=2²×5 (2와 5만 있음 → 유한소수)
③ 21=3×7 (3,7 있음 → 무한소수)
④ 15=3×5 (3 있음 → 무한소수)
따라서 유한소수는 ②번이다.

💡 분수가 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 2와 5뿐이어야 해. 우리가 십진법(10=2×5)을 쓰기 때문이야!

Q16식의 계산★

다항식

(3x^2 - 5x + 2) - (x^2 - 2x + 7)

을 간단히 하면?

①

2x^2 - 3x - 5

②

2x^2 - 7x + 9

③

4x^2 - 7x + 9

④

2x^2 - 3x + 9

🎯 정답: ①

2x^2 - 3x - 5

📖 풀이:
괄호를 풀 때 뒤 괄호 앞이 (-)이므로 부호가 모두 바뀐다.

(3x^2 - 5x + 2) - (x^2 - 2x + 7)

= 3x^2 - 5x + 2 - x^2 + 2x - 7

동류항끼리 정리하면

= (3-1)x^2 + (-5+2)x + (2-7)

= 2x^2 - 3x - 5

💡 빼기 괄호를 풀 때 부호 바꾸는 걸 잊으면 백전백패! 가장 흔한 실수야.

Q17경우의 수와 확률★

한 개의 동전을 3번 던질 때, 앞면이 정확히 2번 나올 확률은?

①

\frac{1}{8}

②

\frac{1}{4}

③

\frac{3}{8}

④

\frac{1}{2}

🎯 정답: ③

\frac{3}{8}

📖 풀이:
동전 3번 던질 때 모든 경우의 수: 2×2×2 = 8가지
앞면(H), 뒷면(T)으로 표시하면 앞면이 정확히 2번 나오는 경우:
(H,H,T), (H,T,H), (T,H,H) → 3가지
따라서 확률 =

\frac{3}{8}

💡 이걸 일반화하면 '이항분포'가 돼. 고등학교에서 배우는 개념의 시작이야!

Q18피타고라스 정리★

좌표평면 위의 두 점 A(1, 2)와 B(5, 5) 사이의 거리는?

① 3

② 4

③ 5

④ 7

🎯 정답: ③ 5

📖 풀이:
두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리로 구한다.
가로 차이: 5 - 1 = 4
세로 차이: 5 - 2 = 3
거리² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
거리 =

\sqrt{25}

= 5

💡 3, 4, 5는 가장 유명한 피타고라스 수! 고대 이집트 사람들도 직각을 만들 때 이 비율을 사용했어.

Q19일차함수★★

일차함수 y = -2x + 6의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 둘레의 길이는?

① 9

② 9 +

\sqrt{5}

③ 9 +

3\sqrt{5}

④ 6 +

3\sqrt{5}

🎯 정답: ③ 9 +

3\sqrt{5}

📖 풀이:
x절편: y=0 대입 → 0=-2x+6, x=3 → (3,0)
y절편: x=0 대입 → y=6 → (0,6)
둘러싸인 도형은 직각삼각형 (밑변3, 높이6)
빗변 =

\sqrt{3^2 + 6^2}

=

\sqrt{9+36}

=

\sqrt{45}

=

3\sqrt{5}

둘레 = 3 + 6 +

3\sqrt{5}

= 9 +

3\sqrt{5}

참고:

\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}

이므로 정답은 ③이다. ②번

9+\sqrt{5}

는 근호를 잘못 정리한 오답이다.

💡

\sqrt{45}

=

\sqrt{9×5}

=

3\sqrt{5}

처럼 근호 밖으로 빼는 건 중3에서 자세히 배워!

Q20도형의 성질★★

평행사변형 ABCD에서 ∠A = 70°일 때, ∠B의 크기는?

① 70°

② 90°

③ 110°

④ 130°

Q21도형의 닮음★★

두 닮은 도형 P, Q의 닮음비가 2:3이다. P의 넓이가 12 cm²일 때, Q의 넓이는?

① 18 cm²

② 24 cm²

③ 27 cm²

④ 36 cm²

Q22일차부등식★★

부등식

\frac{x-1}{2} - \frac{2x+1}{3} \geq -1

의 해는?

① x ≤ 1

② x ≥ 1

③ x ≤ -1

④ x ≥ -1

🎯 정답: ① x ≤ 1

📖 풀이:
양변에 분모의 최소공배수 6을 곱한다.

6 \times \frac{x-1}{2} - 6 \times \frac{2x+1}{3} \geq 6 \times (-1)

3(x-1) - 2(2x+1) \geq -6

3x - 3 - 4x - 2 \geq -6

-x - 5 \geq -6

-x \geq -1

양변을 -1로 나누면 부등호 방향 바뀜!

x \leq 1

💡 분수가 있으면 먼저 최소공배수를 곱해서 정수로 만들면 계산이 편해져!

Q23식의 계산★★★

2^{x+1} = 16

일 때,

x

의 값은?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

🎯 정답: ② 3

📖 풀이:
우변 16을 밑이 2인 거듭제곱으로 바꾼다.

16 = 2^4

따라서

2^{x+1} = 2^4

밑이 같으므로 지수가 같아야 한다.

x + 1 = 4

x = 3

검산:

2^{3+1} = 2^4 = 16

✓

💡 밑이 같은 지수방정식은 지수만 비교하면 돼! 이 원리는 고등학교 로그의 기초가 돼.

Q24피타고라스 정리★★★

한 변의 길이가 6 cm인 정사각형 모양의 종이 ABCD에서, 대각선 AC의 길이는?

①

6

cm

②

6\sqrt{2}

cm

③

6\sqrt{3}

cm

④ 12 cm

🎯 정답: ②

6\sqrt{2}

cm

📖 풀이:
정사각형의 대각선은 두 변과 직각삼각형(45-45-90)을 이룬다.
피타고라스 정리:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72

AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}

cm

💡 한 변이 a인 정사각형의 대각선은 항상

a\sqrt{2}

! 이게 45-45-90 직각삼각형의 비밀이야.

Q25연립일차방정식★★★

어떤 두 자리 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합은 11이다. 십의 자리와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 원래 수보다 27이 크다. 원래 수는?

① 38

② 47

③ 56

④ 65