📝 중1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 절댓값의 정의에 의해 2x+3=7 또는 2x+3=-7 두 경우로 나눈다. 2단계: 첫 번째 식에서 2x=4이므로 x=2, 두 번째 식에서 2x=-10이므로 x=-5. 3단계: 두 해 2와 -5의 곱은 2×(-5)=-10이다. 함정: 절댓값을 그대로 풀어 7과 7만 곱하거나 부호를 무시하면 +10이 나오기 쉬우니 부호 추적이 핵심이다.

📖 풀이:
1단계: 어떤 수를 x라 하면 식은 2(x+5)=3(x-1). 2단계: 좌변을 전개하면 2x+10, 우변을 전개하면 3x-3이므로 2x+10=3x-3. 3단계: 양변에서 2x를 빼면 10=x-3이고 양변에 3을 더하면 x=13. 함정: '5를 더한 결과의 2배'를 2x+5처럼 괄호 없이 쓰면 항상 틀린다.

📖 풀이:
1단계: A에서 B까지 거리를 d km라 하면 가는 시간은 d/12 시간, 오는 시간은 d/8 시간이다. 2단계: 총 시간 = d/12 + d/8 = (2d+3d)/24 = 5d/24 시간이고, 총 거리는 2d km. 3단계: 평균 속력 = 총 거리 ÷ 총 시간 = 2d ÷ (5d/24) = 48/5 = 9.6 km/h. 함정: 12와 8의 산술평균 10 km/h를 답하기 쉽지만, 같은 거리에 다른 속력이 적용되면 시간이 다르므로 산술평균은 틀리다.

📖 풀이:
1단계: 1시간당 채워지는 비율은 A가 1/6, B가 1/12이고 두 호스를 동시에 열면 1/6+1/12=1/4. 2단계: A 단독으로 t시간 + (A+B)로 (5-t)시간 = 가득(1)이므로 (1/6)·t + (1/4)·(5-t) = 1. 3단계: 양변에 12를 곱하면 2t + 3(5-t) = 12, 즉 2t+15-3t=12이므로 -t=-3, t=3.

📖 풀이:
1단계: 교점은 두 식을 동시에 만족하므로 2x=18/x. 양변에 x를 곱하면 2x²=18, 즉 x²=9. 2단계: 1사분면 조건이므로 x>0이고 x=3, y=2·3=6이다. 따라서 P(3, 6). 3단계: 원점에서의 거리의 제곱은 OP² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45.

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1단계: 대각선 AC를 그어 사각형을 두 삼각형 ABC와 ACD로 나눈다. 2단계: 삼각형 ABC의 넓이는 좌표공식으로 1/2·|0·(2-8) + 6·(8-0) + 8·(0-2)| = 1/2·|0+48-16| = 16. 3단계: 삼각형 ACD의 넓이는 1/2·|0·(8-6) + 8·(6-0) + 2·(0-8)| = 1/2·|0+48-16| = 16. 사각형의 넓이는 16+16=32.

📖 풀이:
1단계: 점 P는 변 AD 위에 있으므로 ∠APD=180°(평각). 2단계: PQ는 접는 선이고 A가 PQ 대칭으로 A'에 대응하므로 ∠APQ=∠A'PQ이고, 따라서 ∠APA' = 2·∠APQ. 3단계: 평각의 분할 ∠APA' + ∠A'PD = 180°이므로 2·∠APQ + 40° = 180°. 즉 2·∠APQ=140°, ∠APQ=70°.

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1단계: 별의 안쪽에는 작은 오각형이 만들어지고, 이 오각형의 한 꼭짓점에서는 별의 변 두 개가 교차한다. 그 꼭짓점과 양옆 별 꼭짓점 두 개로 작은 삼각형을 만들 수 있다. 2단계: 삼각형의 외각 정리에 의해 (안쪽 오각형 한 꼭짓점에서의 외각) = (양옆 별 꼭짓점 두 각의 합)이 5번 성립한다. 3단계: 안쪽 오각형의 다섯 외각의 합은 항상 360°이고, 위 식 5개를 더하면 별의 다섯 꼭짓점 각이 정확히 두 번씩 등장하므로 (별 꼭짓각의 합)·2 = 360°. 따라서 별 꼭짓각의 합 = 180°.

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1단계: 두 직각삼각형 ABE와 BCF에서 AB=BC(정사각형의 변), ∠ABE=∠BCF=90°(정사각형의 내각), AE=BF(가정)이다. 직각삼각형의 빗변과 다른 한 변이 같으므로 RHS 합동 △ABE ≡ △BCF가 성립한다. 2단계: 합동의 대응각으로 ∠BAE = ∠CBF. 3단계: 두 선분의 교점을 P라 할 때 △ABP에서 내각의 합은 180°이고, ∠ABP = ∠ABC - ∠CBF = 90° - ∠BAE이다. 따라서 ∠APB = 180° - ∠BAE - (90° - ∠BAE) = 90°. 즉 AE와 BF는 항상 수직으로 만난다.

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1단계: 원의 넓이는 π·4² = 16π (cm²). 2단계: 한 변이 4√3인 정삼각형의 넓이는 (√3/4)·(4√3)² = (√3/4)·48 = 12√3 (cm²). 3단계: 활꼴 3개의 합은 (원의 넓이) - (정삼각형의 넓이) = 16π - 12√3 (cm²).

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1단계: 회전축은 길이 3cm인 짧은 평행변을 포함하는 직선이고, 사다리꼴은 회전축으로부터 최대 4cm 떨어진 영역이다. 2단계: 회전체를 둘로 나눈다. (i) 위 평행변 길이 3cm 구간: 사다리꼴이 회전축과 4cm 거리로 평행하게 떨어져 있는 직사각형 부분이므로, 반지름 4cm·높이 3cm 원기둥이 만들어진다. 부피 = π·4²·3 = 48π. (ii) 회전축 방향으로 더 나아간 6-3=3cm 구간: 이 부분은 바닥의 긴 변 DC(축에서 거리 4cm로 일정)와 사선 변 BC 사이의 직각삼각형 영역이다. 사선 BC는 축에서의 거리가 0cm에서 4cm로 늘어나므로, 회전시키면 원뿔이 아니라 '반지름 4cm·높이 3cm 원기둥에서 반지름 4cm·높이 3cm 원뿔을 도려낸' 입체가 된다. 부피 = π·4²·3 - (1/3)·π·4²·3 = 48π - 16π = 32π. 3단계: 두 부피를 더하면 48π + 32π = 80π (cm³). (검산: 파푸스 정리로 사다리꼴 넓이 (1/2)(3+6)·4 = 18, 무게중심의 축까지 거리 = 20/9이므로 부피 = 2π·(20/9)·18 = 80π.)

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1단계: 자연수 n의 양의 약수는 n = a × b (a ≤ b) 꼴로 짝지을 수 있어 일반적으로 짝수 개이다. 2단계: 단, n이 완전제곱수일 때만 a = b가 되는 경우(예: n = a²)가 한 번 발생해 짝이 안 되는 약수가 한 개 남으므로 약수의 개수가 홀수가 된다. 3단계: 1부터 100까지의 완전제곱수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100으로 총 10개. 따라서 특별 카드는 10장이다.

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1단계) △ABE와 △BCF에서 AB=BC(정사각형의 변), ∠ABE=∠BCF=90°(정사각형의 내각), BE=CF(주어진 조건)이다. 따라서 △ABE ≡ △BCF (SAS 합동). 2단계) 합동인 두 삼각형의 대응각이므로 ∠BAE=∠CBF. 3단계) ∠ABC=90°이고 BF는 ∠ABC를 ∠ABF와 ∠CBF로 나눈다. △ABP의 내각의 합에서 ∠BAP+∠ABP=∠BAE+(90°-∠CBF)=∠BAE+90°-∠BAE=90°. 따라서 ∠APB=180°-90°=90°.

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1단계) |x+3|+|x-2|는 수직선에서 x로부터 점 -3과 점 2까지의 거리의 합이다. -3과 2 사이의 거리는 5이므로, -3≤x≤2일 때 항상 합이 5(=거리)이다. 5≠7이므로 이 구간에는 해가 없고, 따라서 x는 구간 [-3, 2] 외부에 있다. 2단계) x<-3일 때 |x+3|=-(x+3), |x-2|=-(x-2). 합=-2x-1=7 ⇒ x=-4. 검증: -4<-3 ✓. 3단계) x>2일 때 |x+3|=x+3, |x-2|=x-2. 합=2x+1=7 ⇒ x=3. 검증: 3>2 ✓. 정수해는 x=-4, 3 두 개이고, 그 합은 -4+3=-1.

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1단계) 한 변의 길이를 a라 하자. O를 원점, OA를 x축, OB를 y축으로 두면 P=(a,0), S=(0,a), R=(a,a). 2단계) R이 호 AB 위에 있으므로 OR=6, 즉 √(a²+a²)=6. 3단계) 2a²=36, a²=18, a=3√2 (a>0).

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1단계) 정사면체의 한 모서리는 정육면체 한 면의 대각선이므로 길이=6√2. 즉 ACFH는 한 변 6√2인 정사면체이다. 2단계) 정육면체에서 정사면체 ACFH를 빼면 4개의 합동인 직각이등변삼각뿔이 남는다. 각 뿔의 꼭짓점은 B, D, E, G이고, 각 뿔의 밑면은 직각이등변삼각형(다리 6cm), 높이는 6cm이다. 한 뿔의 부피=(1/3)×(1/2×6×6)×6=36. 4개 합=144. 3단계) 정육면체 부피=6³=216. 정사면체 부피=216-144=72. 비=216:72=3:1.

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1단계) 종이를 접으면 길이가 보존되므로 DQ=PQ. 2단계) BQ=x로 두면 △PBQ는 ∠B=90°인 직각삼각형이고 PB=AB-AP=8-4=4, BQ=x이므로 PQ²=16+x². 한편 △DCQ는 ∠C=90°인 직각삼각형이고 DC=AB=8, CQ=BC-BQ=12-x이므로 DQ²=64+(12-x)². 3단계) DQ²=PQ² 에서 64+(12-x)²=16+x². 64+144-24x+x²=16+x². 208-24x=16. 24x=192. x=8.

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1단계) N을 식으로 분해한다. N=10a+b=9a+a+b=9a+(a+b). 2단계) 9a는 a가 자연수이면 항상 9의 배수이다. 따라서 N이 9의 배수가 될 조건은 (a+b)가 9의 배수가 되는 것과 동치이다. 가정에서 a+b=9k(어떤 자연수 k)이므로 N=9a+9k=9(a+k). 즉 N은 9의 배수이다. 3단계) N=72의 경우 a=7, b=2, a+b=9=9×1이므로 a+b는 9의 배수. 그리고 N=72=9×8은 9의 배수. 따라서 명제가 성립한다.

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1단계) 점 (m, 6)이 반비례 y=12/x 위에 있으므로 6=12/m, 따라서 m=2. 한 교점은 (2, 6). 2단계) (2, 6)이 정비례 y=ax 위에도 있으므로 6=2a, 따라서 a=3. 3단계) y=3x와 y=12/x를 연립하면 3x=12/x, 즉 3x²=12, x²=4, x=±2. x=-2일 때 y=3·(-2)=-6이므로 다른 교점은 (-2, -6).

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1단계) 한 시간에 하는 일의 양은 A=1/6, B=1/9. B는 처음부터 끝까지 일했으므로 5시간 동안 일한다. A가 일한 시간을 t시간이라 하자(이때 A는 시작부터 t시간 동안만 함께 일함). 2단계) (A의 일량)+(B의 일량)=1. (1/6)t + (1/9)·5 = 1. 즉 t/6 + 5/9 = 1. 3단계) 양변에 18을 곱하면 3t + 10 = 18, 3t = 8, t = 8/3시간 = 2시간 40분.

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1단계) 1부터 100까지의 자연수를 차이가 1인 연속 두 수의 쌍으로 묶어 50개의 그룹으로 분할한다: {1,2}, {3,4}, {5,6}, ..., {99,100}. 어느 자연수도 정확히 하나의 그룹에 속한다. 2단계) 51개의 수를 50개의 그룹에 나누어 넣는다고 보면, 비둘기집 원리(51>50)에 의해 적어도 한 그룹에는 2개 이상의 수가 들어간다. 그런데 한 그룹은 정확히 2개의 원소를 가지므로, 그 그룹의 두 수가 모두 51개 안에 포함된다. 3단계) 그 두 수는 같은 그룹 안에서 정의상 차이가 1인 연속 자연수이다. 따라서 51개의 수 중에는 반드시 차이 1인 두 수가 존재한다.

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1단계) 대각선 AC를 그어 사각형을 두 삼각형 △ABC와 △ADC로 나눈다. 2단계) 두 삼각형의 변을 비교한다. AB=AD(주어진 조건), CB=CD(주어진 조건), AC=AC(공통변). 따라서 세 쌍의 변이 모두 같으므로 △ABC ≡ △ADC (SSS 합동). 3단계) 합동인 두 삼각형의 대응각이 같으므로 ∠BAC=∠DAC이고 ∠BCA=∠DCA이다. 즉 대각선 AC는 ∠BAD를 ∠BAC와 ∠DAC로 이등분하고, ∠BCD를 ∠BCA와 ∠DCA로 이등분한다.

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1단계) 원의 중심을 O'이라 하고 반지름을 r이라 하자. O'은 두 반지름 OA, OB에서 모두 거리가 r이므로 ∠AOB의 이등분선 위에 놓인다. 2단계) ∠AOB의 이등분각은 30°이다. 직각삼각형(O'에서 OA에 내린 수선과 OO')에서 r=OO'·sin30°=OO'·(1/2). 즉 OO'=2r. 3단계) 호 AB에 접하므로 O가 부채꼴의 중심이고 OO'+r=12(부채꼴 반지름). 따라서 2r+r=12, 3r=12, r=4.

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1단계) 정육면체 부피가 1000cm³이므로 한 모서리 길이 = ∛1000 = 10cm. 2단계) 한 면(한 변 10cm 정사각형)에 내접하는 가장 큰 원의 반지름은 정사각형 한 변의 절반이므로 r=5cm. 이 원을 밑면, 정육면체의 모서리 방향을 축으로 두면 높이 h=10cm인 가장 큰 원기둥이 만들어진다. 3단계) 부피 = πr²h = π × 5² × 10 = 250π cm³.

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1단계: |x-3|+|x+5|는 수직선 위 점 x에서 3까지의 거리와 -5까지의 거리의 합으로 해석할 수 있다. 두 점 -5와 3 사이의 거리는 8이므로, x가 [-5, 3] 안에 있으면 합은 항상 8로 일정해 10이 될 수 없다.
2단계: 따라서 x는 [-5, 3] 바깥에 있어야 한다. x ≥ 3일 때 (x-3)+(x+5)=2x+2=10이므로 x=4. x ≤ -5일 때 -(x-3)-(x+5)=-2x-2=10이므로 x=-6.
3단계: 두 정수 해는 4와 -6뿐이고, 합은 4+(-6)=-2.