📝 중1 수학 심화

📖 풀이:
1) 직선과 축의 교점: $x=0 \Rightarrow y=6$, A(0, 6). $y=0 \Rightarrow x=8$, B(8, 0).
2) 삼각형 OAB 넓이 = $\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
3) 삼각형 OAP는 밑변을 OA(길이 6, y축 위)로 보면, 높이는 점 P의 $x$좌표와 같음.
4) 넓이 조건: $\frac{1}{2} \times 6 \times x_P = \frac{1}{3} \times 24 = 8$. 따라서 $x_P = \frac{8}{3}$.

📖 풀이:
1) 정오각형의 한 내각 = $\frac{(5-2) \times 180°}{5} = 108°$.
2) 별의 뾰족한 꼭지각은 정오각형 밖으로 튀어나온 작은 삼각형의 꼭지각이며, 그 삼각형의 나머지 두 각은 정오각형 내각의 '보각' = $180°-108° = 72°$.
3) 한 꼭지각 = $180° - 72° - 72° = 36°$.
4) 꼭지각 5개 합 = $5 \times 36° = 180°$.

📖 풀이:
1) $\triangle ABP$ 와 $\triangle BCQ$ 에서 AB = BC (정사각형의 변, 모두 같은 길이).
2) $\angle ABP = \angle BCQ = 90°$ (정사각형의 각).
3) BP = CQ (조건). 두 변과 그 사이각이 같으므로 SAS 합동: $\triangle ABP \equiv \triangle BCQ$.
4) 대응변에서 AP = BQ. 대응각에서 $\angle BAP = \angle CBQ$. 그런데 $\angle ABQ + \angle CBQ = 90°$ 이므로 $\angle ABQ + \angle BAP = 90°$. 교점 H를 포함한 삼각형 ABH의 내각합에서 $\angle AHB = 90°$. 따라서 AP $\perp$ BQ.

📖 풀이:
1) 원에 내접하는 정사각형의 대각선은 원의 지름. 지름 = $2 \times 6 = 12$ cm.
2) 정사각형의 넓이 (대각선 이용) = $\frac{1}{2} \times (\text{대각선})^2 = \frac{1}{2} \times 12^2 = 72$ cm².
3) 원의 넓이 = $\pi \times 6^2 = 36\pi$ cm².
4) 4개 활꼴 합 = 원의 넓이 $-$ 정사각형의 넓이 = $36\pi - 72$.
5) 대칭이므로 활꼴 한 개 = $(36\pi - 72) \div 4 = 9\pi - 18$ cm².

📖 풀이:
1) 정육면체 부피 = $6^3 = 216$ cm³.
2) 구멍 하나의 부피 = $2 \times 2 \times 6 = 24$ cm³. 세 방향 구멍의 단순 합 = $3 \times 24 = 72$ cm³.
3) 세 구멍의 단면은 모두 한 변 2cm인 정사각형이고 모두 정육면체의 중심을 지나므로, 어느 두 방향 구멍이 겹치는 부분도 모두 중앙의 같은 $2 \times 2 \times 2 = 8$ cm³ 영역이다. 즉 세 쌍의 이중 교집합(가로-세로, 가로-높이, 세로-높이)이 모두 이 중앙 정육면체로 일치하고, 세 방향이 동시에 겹치는 삼중 교집합도 같은 $2 \times 2 \times 2 = 8$ cm³ 영역이다.
4) 포함-배제 원리: $|A \cup B \cup C| = (|A|+|B|+|C|) - (|A \cap B|+|A \cap C|+|B \cap C|) + |A \cap B \cap C| = 72 - 3 \times 8 + 8 = 72 - 24 + 8 = 56$ cm³.
5) 남은 부피 = $216 - 56 = 160$ cm³.

📖 풀이:
핵심 관찰: A의 말('B가 합격했어')과 B의 말('A는 거짓말을 하고 있어')은 항상 서로 반대의 참·거짓을 가진다. A가 참이면 B는 거짓, A가 거짓이면 B는 참이므로 A와 B 중 정확히 한 명은 반드시 진실을 말한다.
진실을 말한 사람이 오직 한 명이라 했으므로 그 한 명은 A 또는 B 중 하나이고, 따라서 C는 반드시 거짓말을 한 것이다. C의 말 '나는 합격하지 않았어'가 거짓 $\Rightarrow$ C가 합격이다.
검증: C가 합격이면 A의 말('B가 합격')은 거짓, B의 말('A는 거짓말')은 참(실제로 A가 거짓말함), C의 말은 거짓이다. 진실을 말한 사람은 B 한 명, 합격자도 C 한 명이므로 모든 조건을 만족한다.
참고: A가 합격이라 가정하면 B와 C의 말이 모두 참, B가 합격이라 가정하면 A와 C의 말이 모두 참이 되어 '오직 한 명만 진실' 조건에 어긋난다. (원래 풀이가 'A만 진실' 경우를 'B가 거짓이면 A가 거짓이 되어 모순'이라 배제한 것은 잘못이다. B가 거짓이면 오히려 A가 참이 되어 가정과 일치하므로 모순이 아니며, 실제 배제 근거는 그 경우 B와 C가 둘 다 합격이 되어 합격자가 두 명이 되는 점이다.) 따라서 합격한 사람은 C이다.

📖 풀이:
1) 합이 0이고 곱이 양수인 부호 조합을 따지면: 셋 다 양수면 합 $>0$ 불가, 셋 다 음수면 곱 $<0$ 불가, 음수 1개·양수 2개면 곱 $<0$ 불가. $\Rightarrow$ 양수 1개, 음수 2개.
2) 조건 (iv) $a > b = c$에서 가장 큰 $a$가 양수, 같은 값인 $b, c$가 음수.
3) 합 조건: $a + 2b = 0 \Rightarrow a = -2b$ (여기서 $b<0$ 이므로 $a>0$).
4) 절댓값 합: $|a| + 2|b| = a + 2(-b) = -2b + (-2b) = -4b = 6$.
5) $b = -\frac{3}{2}$. 검증: $a=3$, 합 = $3 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$ ✓, 곱 = $3 \cdot \frac{9}{4} > 0$ ✓, 절댓값합 = $3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 6$ ✓.

📖 풀이:
1) 직선 구간: 정삼각형 각 변을 따라 굴러갈 때 중심은 변에 평행한 선분 위를 변의 길이만큼 이동. 세 변 합 = $3 \times 10 = 30$ cm.
2) 꼭지점 구간: 원이 꼭지점을 돌 때 중심은 그 꼭지점을 중심으로 반지름 2짜리 호를 그림. 호의 중심각 = 정삼각형의 '외각' = $180° - 60° = 120°$.
3) 세 꼭지점 외각 합 = $3 \times 120° = 360°$ (다각형 외각의 합은 항상 $360°$).
4) 호의 총 길이 = 반지름 2인 완전한 원의 둘레 = $2\pi \times 2 = 4\pi$ cm.
5) 중심 이동 거리 = $30 + 4\pi$ cm.

📖 풀이:
1) 연속된 네 자연수 $n, n+1, n+2, n+3$ 의 곱을 '양 끝'과 '가운데 두 개'로 묶는다.
$n(n+3) = n^2 + 3n$, $(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2$.
2) $A = n^2 + 3n$ 이라 치환하면 곱 = $A(A+2) = A^2 + 2A$.
3) 1을 더하면 $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2$.
4) $n=8$ 대입: $A+1 = 8^2 + 3 \times 8 + 1 = 64 + 24 + 1 = 89$.
5) 따라서 $8 \times 9 \times 10 \times 11 + 1 = 89^2 = 7921$ (검증: $8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 = 7920$ ✓).

📖 풀이:
1단계. 원래 소금의 양을 구한다. 400 × 0.15 = 60(g). 증발하는 것은 물만이므로 소금의 양은 변하지 않는다.
2단계. 증발 후 소금물의 양은 (400-x) g이고 농도가 20%이므로 그때 소금의 양은 (400-x) × 0.2 이다.
3단계. 소금의 양이 일정하다는 조건으로 등식을 만든다. 60 = 0.2(400-x) = 80 - 0.2x. 이를 풀면 0.2x = 20, x = 100.

📖 풀이:
1단계. 대칭이동한 점들의 좌표를 구한다. x축 대칭 B(3, -5), y축 대칭 C(-3, 5), 원점 대칭 D(-3, -5).
2단계. 네 점을 좌표평면에 표시하면 네 꼭짓점의 x좌표는 3 또는 -3, y좌표는 5 또는 -5 이므로 변이 좌표축에 평행한 직사각형을 이룬다.
3단계. 가로 길이 = 3 - (-3) = 6, 세로 길이 = 5 - (-5) = 10. 따라서 넓이 = 6 × 10 = 60.

📖 풀이:
1단계. 두 삼각형 ABD 와 ACD의 대응 요소를 확인한다. AB = AC (이등변삼각형 조건), ∠BAD = ∠CAD (AD가 각 A의 이등분선이므로), AD 는 두 삼각형의 공통변.
2단계. 두 변의 길이가 같고 그 끼인각이 같으므로 두 변과 끼인각 조건에 의해 삼각형 ABD 와 삼각형 ACD는 합동이다. 따라서 대응각 ∠ADB = ∠ADC 이다.
3단계. 점 D가 선분 BC 위에 있으므로 ∠ADB + ∠ADC = 180° (일직선 위 이웃한 각의 합). 두 각이 서로 같고 합이 180°이므로 각각의 크기는 90°. 따라서 AD ⊥ BC.

📖 풀이:
1단계. 변 AC를 축으로 회전하면 BC가 밑면의 반지름이 되고 AC가 높이가 된다. 밑면 반지름 4, 높이 3인 원뿔이 생긴다. V₁ = (1/3) × π × 4² × 3 = 16π.
2단계. 변 BC를 축으로 회전하면 AC가 밑면의 반지름이 되고 BC가 높이가 된다. 밑면 반지름 3, 높이 4인 원뿔이 생긴다. V₂ = (1/3) × π × 3² × 4 = 12π.
3단계. 따라서 V₁ : V₂ = 16π : 12π = 16 : 12 = 4 : 3.

📖 풀이:
1단계. 정지된 물에서 배의 속력을 시속 x km 라 하자. 강을 따라 내려갈 때 실제 속력은 (x + 3) km/h, 거슬러 올라갈 때 실제 속력은 (x - 3) km/h 이다.
2단계. A와 B 사이의 거리는 같으므로 (내려갈 때 속력) × 2 = (올라갈 때 속력) × 3 으로 식을 세운다. 즉 (x + 3) × 2 = (x - 3) × 3.
3단계. 식을 전개하면 2x + 6 = 3x - 9. 정리하면 x = 15. 따라서 배의 속력은 시속 15km.

📖 풀이:
1단계. 점 P 둘레를 이루는 세 각 ∠APB, ∠BPC, ∠CPA 는 점 P를 중심으로 하는 한 바퀴를 완전히 이룬다. 따라서 세 각의 합은 360° 이다.
2단계. ∠APB + ∠BPC + ∠CPA = 360°. 주어진 값을 대입하면 130° + 120° + ∠CPA = 360°.
3단계. 따라서 ∠CPA = 360° - 130° - 120° = 110°.

📖 풀이:
1단계. 5개 자료를 작은 순서대로 a, b, c, d, e 라 하자. 중앙값이 8이므로 가운데 값 c = 8. 평균이 10이므로 합은 5 × 10 = 50. 따라서 a + b + 8 + d + e = 50, 즉 a + b + d + e = 42.
2단계. 최댓값 e 를 가장 크게 하려면 나머지 a, b, d 를 가능한 한 작게 잡아야 한다. a < b < 8 이고 서로 다른 자연수이므로 a 와 b 의 최솟값은 각각 1, 2.
3단계. 또 8 < d < e 이고 d 는 자연수이므로 d 의 최솟값은 9. 따라서 최댓값 e = 42 - 1 - 2 - 9 = 30.

📖 풀이:
1단계. 각 항 $\frac{x}{|x|}$ 는 x가 양수이면 +1, 음수이면 -1 이다. a, b, c 중 음수의 개수에 따라 경우를 나눈다.
2단계. 음수 0개이면 처음 세 항 합은 +3, abc는 양수이므로 +1, 총합 +4. 음수 1개이면 처음 세 항 합은 +1, abc는 음수이므로 -1, 총합 0. 음수 2개이면 처음 세 항 합은 -1, abc는 양수이므로 +1, 총합 0. 음수 3개이면 처음 세 항 합은 -3, abc는 음수이므로 -1, 총합 -4.
3단계. 따라서 가능한 값은 4, 0, -4 뿐이다. 보기 중 2 는 절대 나올 수 없다.

📖 풀이:
1단계. 큰 원의 넓이를 구한다. π × 12² = 144π (cm²).
2단계. 작은 원 하나의 넓이는 π × 6² = 36π (cm²). 작은 원 두 개의 넓이는 2 × 36π = 72π (cm²).
3단계. 구하는 영역은 큰 원에서 두 작은 원을 제외한 부분이므로 넓이 = 144π - 72π = 72π (cm²).

📖 풀이:
1단계. k 층에 쌓는 막대의 개수 규칙을 찾는다. 1층 = 3, 2층 = 5, 3층 = 7 이므로 k 층에 놓는 막대는 2k + 1 개.
2단계. n 층까지 총 막대의 개수는 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1) 이다. 이 합은 첫 항 3, 끝 항 2n + 1 인 등차수열 합이므로 합 = (첫 항 + 끝 항) × 항수 ÷ 2 = (3 + 2n + 1) × n ÷ 2 = (2n + 4) × n ÷ 2 = n² + 2n.
3단계. 검산. n = 1 이면 1 + 2 = 3 ✓, n = 2 이면 4 + 4 = 8 = 3 + 5 ✓, n = 3 이면 9 + 6 = 15 = 3 + 5 + 7 ✓. 따라서 총 개수는 n² + 2n.

📖 풀이:
1단계. 점 (2, 6) 이 y = ax 위에 있으므로 6 = 2a, a = 3. 따라서 정비례 그래프는 y = 3x.
2단계. 교점 조건은 y = 3x 와 y = 12/x 를 동시에 만족해야 하므로 3x = 12/x, 즉 3x² = 12, x² = 4.
3단계. x = 2 또는 x = -2. x = 2 이면 y = 6 이고 이는 이미 알고 있는 교점. x = -2 이면 y = 3 × (-2) = -6. 따라서 다른 교점은 (-2, -6).

📖 풀이:
1단계. 가운데 1 이 들어있는 칸을 바닥면으로 고정하고 주변 면을 접어 올린다고 상상한다. 1 의 위쪽 2 는 뒤쪽 벽으로, 아래쪽 5 는 앞쪽 벽으로 접힌다. 즉 2 와 5 는 서로 맞은편 면이 된다.
2단계. 1 의 왼쪽 3 은 왼쪽 벽, 오른쪽 4 는 오른쪽 벽이 된다. 따라서 3 과 4 도 서로 맞은편 면.
3단계. 6 은 4 와 한 변으로 붙어 있다. 4 가 오른쪽 벽이 된 뒤 6 을 더 접으면 6 은 4 의 건너편으로 말려 올라가 바닥면 1 의 반대쪽, 즉 천장 면이 된다. 따라서 1 의 맞은편은 6.

📖 풀이:
1단계: ①②③은 모두 옳다. 회전이동 결과 삼각형 ABE ≡ 삼각형 ADG이고, ∠BAD = 90°, ∠EAF = 45°이므로 ∠BAE + ∠DAF = 45°. 따라서 ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = 45° = ∠EAF.
2단계: ④에서 삼각형 AEF와 삼각형 AGF를 비교하면 AE = AG, AF는 공통, ∠EAF = ∠GAF = 45°이다. 이는 SSS가 아니라 **SAS 합동 조건**이다.
3단계: SAS에 의해 EF = GF = DG + DF = BE + DF이므로 결론 자체는 옳지만, ④에서 제시한 **합동 조건의 이름('SSS')이 틀렸다**. 따라서 잘못된 설명은 ④.

📖 풀이:
1단계: ∠B = 2β, ∠C = 2γ라 하자. △ABC의 내각의 합에서 40° + 2β + 2γ = 180°이므로 β + γ = 70°이다.
2단계: BP는 ∠B의 이등분선이므로 △BPC에서 ∠PBC = β이다.
3단계: 점 C에서 BC를 연장하여 만든 외각(크기 180° - 2γ)을 CP가 이등분하므로 CP는 BC의 연장선과 (180° - 2γ)/2 = 90° - γ의 각을 이룬다. 그런데 △BPC의 내각 ∠PCB는 연장선이 아니라 그 반대 방향인 변 CB와 CP가 이루는 각이므로 ∠PCB = 180° - (90° - γ) = 90° + γ이다.
4단계: △BPC의 내각의 합에서 ∠BPC = 180° - ∠PBC - ∠PCB = 180° - β - (90° + γ) = 90° - (β + γ) = 90° - 70° = 20°이다.
(즉 한 내각의 이등분선과 다른 꼭짓점의 외각의 이등분선이 이루는 각은 나머지 꼭짓점 각의 절반, ∠A/2 = 20°이다.)

📖 풀이:
1단계: 원에 내접하는 사각형 ABPC(순서대로 A-B-P-C가 원 위에 놓임, B와 C 사이 호에 P 있음)를 생각하자. 정삼각형 ABC이므로 AB = BC = CA.
2단계: **프톨레마이오스 정리**에 의해 원에 내접하는 사각형 ABPC에서 (대각선의 곱) = (마주보는 변의 곱의 합)이 성립: PA · BC = AB · PC + AC · PB.
3단계: AB = BC = CA = L로 놓으면 PA · L = L · PC + L · PB, 양변을 L로 나누면 **PA = PB + PC**. 따라서 ①이 정답. (참고: ②는 직각이 아닌 일반적 경우에는 성립하지 않는다.)

📖 풀이:
1단계: 원래 정육면체의 부피 = 6³ = 216 cm³.
2단계: 꼭짓점 A에서 떼어내는 삼각뿔 A-PQR은 A에서 만나는 세 모서리 AP, AQ, AR이 모두 3cm(모서리의 절반)이고 서로 수직인 직각 삼각뿔이다. 밑면 삼각형 PQR은 세 변이 모두 3√2 cm인 정삼각형(넓이 = (√3/4)·(3√2)² = 9√3/2 cm²)이지만, 삼각뿔의 부피는 서로 수직인 세 모서리를 이용한 공식 V = (1/6)·a·b·c로 계산하면 더 쉽다. V₁ = (1/6)·3·3·3 = 27/6 = 9/2 cm³.
3단계: 8개 꼭짓점에서 같은 삼각뿔을 떼어내는데, **절단면들이 서로 겹치지 않는지 확인**. 각 모서리의 중점에서 두 이웃 꼭짓점의 절단이 만난다(정확히 중점에서). 따라서 떼어내는 총 부피 = 8 · (9/2) = 36 cm³.
4단계: 남은 입체의 부피 = 216 - 36 = **180 cm³**.