📝 중1 수학 심화 (3/10)

Q51일차방정식 활용★★★

5%의 소금물 200g과 12%의 소금물 300g을 섞은 후, 물을 증발시켜 농도가 15%가 되게 하려고 한다. 증발시켜야 할 물의 양은?

① 180g

② 약 193.3g

③ 220g

④ 240g

⑤ 260g

Q52좌표평면 응용★★★

좌표평면 위 세 점 A(1, 5), B(-3, -1), C(7, 2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 넓이를 구하시오.

① 19

② 21

③ 24

④ 25

Q53도형 성질 추론★★★

오른쪽 그림과 같이 △ABC의 꼭짓점 A에서 내각의 이등분선을 그어 BC와 만나는 점을 D라 하자. ∠B = 70°, ∠C = 40°일 때, ∠ADC의 크기는?

① 95°

② 100°

③ 105°

④ 110°

Q54합동 증명 기초★★★

△ABC는 AB = AC인 이등변삼각형이고, 꼭짓점 B, C에서 각각 반대쪽 변 AC, AB에 내린 수선의 발을 E, F라 하자. BE = CF임을 증명하는 데 사용되는 합동 조건은?

① SSS 합동

② SAS 합동

③ ASA 합동

④ RHA 합동(직각삼각형 빗변과 한 예각)

Q55원·부채꼴 심화★★★

반지름이 6cm이고 중심각이 150°인 부채꼴이 있다. 이 부채꼴의 호의 길이와 둘레의 길이를 각각 구하시오.

① 호: 4π, 둘레: 4π+12

② 호: 5π, 둘레: 5π+12

③ 호: 6π, 둘레: 6π+12

④ 호: 7π, 둘레: 7π+12

Q56입체 추론★★★

밑면이 한 변 6cm인 정사각형이고 높이가 10cm인 직육면체를 한 평면으로 잘라 두 개의 합동인 삼각기둥으로 나누려고 한다. 이때 자른 단면의 넓이(직사각형)를 구하시오.

① 40cm²

② 48cm²

③ 60cm²

④

60\sqrt{2}

cm²

🎯 정답: ④

60\sqrt{2}

cm²

🧠 풀이 전략: 이 문제는 '입체 단면의 넓이' 전략으로 접근. 자르는 평면이 어떤 모양의 단면을 만드는지 시각화하고, 그 도형의 변의 길이를 입체의 원래 치수로부터 계산한다.

📖 풀이:
1단계: 직육면체를 합동인 두 삼각기둥으로 나누려면 밑면 정사각형의 대각선을 따라 수직 평면으로 잘라야 한다. 2단계: 밑면 정사각형의 대각선 길이 =

\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

cm. 3단계: 자른 단면은 직사각형이며, 한 변은 밑면 대각선(

6\sqrt{2}

cm), 다른 변은 기둥의 높이(10cm). 4단계: 단면 넓이 =

6\sqrt{2} \times 10 = 60\sqrt{2}

cm².

💡 정사각형의 대각선 길이는 한 변의 √2배이며, 이는 피타고라스 정리의 특수한 경우이다.

Q57자료·경시 퍼즐★★★

주머니 안에 빨강, 파랑, 노랑, 초록의 구슬이 각각 여러 개 들어 있다. 주머니에서 보지 않고 구슬을 꺼낼 때, 같은 색의 구슬이 반드시 4개 이상 나오도록 보장하려면 최소 몇 개를 꺼내야 하는가?

① 10개

② 12개

③ 13개

④ 16개

Q58문자와 식 심화★★

어떤 수열이 다음과 같다: 3, 7, 13, 21, 31, ... . 이 수열의 일반항 aₙ(n번째 항)을 구하시오.

①

n^2 + n + 1

②

n^2 + 2

③

n^2 + n - 1

④

n^2 + 2n

🎯 정답: ①

n^2 + n + 1

🧠 풀이 전략: 이 문제는 '계차수열 일반항' 전략으로 접근. 계차가 등차이면 일반항은 이차식이며, 세 항을 대입해 연립방정식을 푼다.

📖 풀이:
1단계: 수열의 계차(옆 항과의 차) 구하기. 7-3=4, 13-7=6, 21-13=8, 31-21=10. 계차는 4, 6, 8, 10, ... (공차 2인 등차수열). 2단계: 계차가 등차수열이므로 일반항은 n에 대한 이차식이다. aₙ = an² + bn + c 형태로 놓자. 3단계: a₁=3, a₂=7, a₃=13 대입. a+b+c=3, 4a+2b+c=7, 9a+3b+c=13. 두 식 빼기: 3a+b=4, 5a+b=6. 뺄셈: 2a=2, a=1, b=1, c=1. 4단계: aₙ = n² + n + 1. 검증: n=4일 때 16+4+1=21 ✓, n=5일 때 25+5+1=31 ✓.

💡 이 수열은 '센트럴 폴리곤 수(central polygonal numbers)'로 원을 n개 직선으로 자를 때 최대 영역 수이다.

Q59좌표평면 응용★★

정비례 관계 y = ax(a≠0)의 그래프가 점 (-4, 6)을 지날 때, 이 그래프 위에 있으면서 x좌표가 8인 점의 y좌표를 구하시오.

① -12

② -10

③ -8

④ 12

Q60자료·경시 퍼즐★★

학생 5명의 수학 시험 평균 점수가 82점이었다. 그런데 점수 기록 중 한 학생의 점수 76점이 86점으로 잘못 기록되어 있었음을 발견했다. 올바른 평균 점수는?

① 80점

② 81점

③ 82점

④ 84점

Q61정수·유리수 추론★★★

|x-2|+|x+5|≤9를 만족하는 정수 x를 모두 구하면? 또한 이 해들의 개수는 몇 개인가?

① 정수해 7개: -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3에서 일부

② 정수해 9개: x=-6부터 x=3까지

③ 정수해 10개: x=-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3

④ 정수해 11개: x=-7부터 x=3까지

Q62문자와 식 심화★★★

어떤 수 n에 대해 '연속된 5개의 홀수의 합'이 625일 때, 가운데 홀수는 얼마인가? 또 그 이유를 식으로 설명하면?

① 123 (합÷5=125이지만 짝수 보정 필요)

② 125 (합÷5=가운데 수)

③ 127 (가운데+2)

④ 121 (가운데-4)

Q63일차방정식 활용★★★

A, B 두 사람이 같은 일을 혼자 하면 각각 12일, 20일 걸린다. 두 사람이 함께 일을 시작했는데 도중에 A가 며칠 쉬었더니 일을 모두 끝내는 데 총 10일이 걸렸다. A가 쉰 날은 며칠인가?

① 2일

② 3일

③ 4일

④ 5일

🎯 정답: ③ 4일

🧠 풀이 전략: 일률 문제는 전체 일=1로 두고 '하루에 하는 일의 비율 × 일한 날수'를 더해서 1이 되도록 식을 세운다. 누가 며칠 일했는지 정확히 구분하는 것이 핵심이다.

📖 풀이:
1단계: 전체 일의 양을 1로 두면 A의 하루 일량은

\frac{1}{12}

, B의 하루 일량은

\frac{1}{20}

이다. 2단계: B는 10일 내내 일했으므로 B가 한 일의 양은

\frac{10}{20}=\frac{1}{2}

이다. A가 쉰 날을 x일이라 하면 A는 (10-x)일 일했으므로 A가 한 일의 양은

\frac{10-x}{12}

이다. 3단계: 두 사람이 한 일의 합이 1이므로

\frac{10-x}{12}+\frac{1}{2}=1

, 즉

\frac{10-x}{12}=\frac{1}{2}

이다. 4단계: 양변에 12를 곱하면 10-x=6이므로 x=4. 따라서 A가 쉰 날은 4일이다.

💡 일률 문제의 '하루 일량' 개념은 나중에 물리학의 '일률(power)' 개념으로 발전한다.

Q64좌표평면 응용★★★

좌표평면 위 세 직선 y=x, y=-x+6, y=2로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.

① 1

② 2

③ 3

④ 4

🎯 정답: ① 1

🧠 풀이 전략: 좌표평면에서 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 교점(꼭짓점)을 먼저 구한 후, 축과 평행한 변을 밑변으로 잡아 공식을 적용한다.

📖 풀이:
1단계: 세 직선의 교점을 구한다. y=x와 y=2의 교점: x=2, 즉 A(2,2). y=-x+6과 y=2의 교점: -x+6=2 → x=4, 즉 B(4,2). y=x와 y=-x+6의 교점: x=-x+6 → 2x=6 → x=3, 즉 C(3,3). 2단계: 삼각형 ABC의 밑변 AB는 y=2 위에 있고 길이는 4-2=2이다. 3단계: 높이는 꼭짓점 C(3,3)에서 밑변 y=2까지의 수직 거리로 3-2=1. 넓이 =

\frac{1}{2}×2×1=1

.

💡 세 직선이 이루는 삼각형의 넓이는 '행렬식' 공식으로도 한 번에 계산할 수 있다(고등수학).

Q65도형 성질 추론★★★

두 평행선 ℓ, m 사이에 꺾인 선 A-B-C가 있다. 점 A는 ℓ 위, 점 C는 m 위, 꺾임점 B는 두 선 사이에 있다. 점 B에서 ℓ과 평행한 보조선을 그으면 각 α(A에서 아래 방향과 BA가 이루는 각)=35°, 각 γ(C에서 위 방향과 BC가 이루는 각)=42°일 때, 각 ABC(꺾임각)는 몇 도인가?

① 7° (큰각-작은각)

② 35°

③ 42°

④ 77° (α+γ, 엇각 원리)

Q66합동 증명 기초★★★

정삼각형 ABC의 변 AB, BC 위에 각각 AD=BE가 되도록 점 D, E를 잡았다. 선분 CD와 AE의 교점을 P라 할 때, 각 APC의 크기는? (단, 두 선분은 정삼각형 내부에서 만난다고 가정)

① 60°

② 90°

③ 120°

④ 150°

Q67원·부채꼴 심화★★★

반지름 6cm인 원 O의 내부에 중심각 90°인 부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위의 중점을 M이라 할 때, 사각형 OAMB의 넓이를 구하여라.

① 18cm²

② 18√2 cm²

③ 36 cm²

④ 36√2 cm²

🎯 정답: ② 18√2 cm²

🧠 풀이 전략: 부채꼴 내부 도형 문제는 호의 중점과 중심을 잇는 반지름을 보조선으로 그어 대칭인 두 삼각형으로 분할한 뒤 각각의 넓이를 구한다.

📖 풀이:
1단계: M은 호 AB의 중점이므로 각 AOM = 각 MOB = 45°. 또한 OM은 반지름이므로 OM=6cm. 2단계: 사각형 OAMB를 대각선 OM으로 나누면 삼각형 OAM과 삼각형 OBM이 되고, 두 삼각형 모두 OA=OM=6, 끼인각=45°인 이등변삼각형이다. 3단계: 삼각형 OAM의 넓이 =

\frac{1}{2}×6×6×\sin45°=\frac{1}{2}×36×\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}

. 사각형 OAMB의 넓이 = 2×

9\sqrt{2}

=

18\sqrt{2}

cm². (sin을 아직 배우지 않았다면, 좌표로 O(0,0), A(6,0), M=(6cos45°, 6sin45°)=(3√2, 3√2), B(0,6)을 놓고 사각형 넓이 공식으로 확인 가능.)

💡 이 도형은 '마름모 닮은 사각형'이며 실제로 OA=OB=OM=반지름이라는 세 변이 같다.

Q68입체 추론★★★

한 모서리의 길이가 6cm인 정육면체에서 한 꼭짓점 A와 이와 만나는 세 모서리의 중점을 잇는 삼각뿔을 잘라냈다. 잘라낸 삼각뿔의 부피는 몇 cm³인가?

① 3 cm³

② 4.5 cm³

③ 6 cm³

④ 9 cm³

🎯 정답: ② 4.5 cm³

🧠 풀이 전략: 정육면체의 한 꼭짓점에서 모이는 세 모서리는 서로 수직이라는 성질을 이용해, 직각을 이루는 두 변을 밑면으로 삼고 나머지 수직변을 높이로 삼아 부피를 계산한다.

📖 풀이:
1단계: 꼭짓점 A에서 세 모서리가 서로 수직으로 만난다는 성질을 이용한다. 즉 AP, AQ, AR이 서로 수직이다(세 모서리 길이는 각각 중점까지 3cm). 2단계: 따라서 삼각형 APQ를 밑면으로 하면 직각삼각형이고, 밑넓이 =

\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}

cm². 높이는 AR=3cm(밑면에 수직). 3단계: 삼각뿔의 부피 =

\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×3=\frac{9}{2}

= 4.5 cm³. 핵심 전략은 '세 모서리가 수직인 꼭짓점을 직각 밑면으로 잡기'다.

💡 정육면체 8개 꼭짓점에서 이런 삼각뿔을 모두 잘라내면 '정팔면체 근사 도형'이 만들어진다.

Q69자료·경시 퍼즐★★★

20명의 학생 중에서 어떤 두 명을 골라도 생일의 월이 다른 쌍이 반드시 있도록 하는 최소 조건을 생각하자. 역으로, 20명의 학생이 있을 때 생일이 같은 월인 학생이 적어도 몇 명은 반드시 존재하는가? (비둘기집 원리)

① 최소 2명

② 최소 3명

③ 최소 4명

④ 최소 5명

🎯 정답: ① 최소 2명

🧠 풀이 전략: 비둘기집 원리는 '총 개수 ÷ 집의 수'를 올림한 값이 한 집의 최솟값 보장치라는 공식을 적용한다. 반드시 보장되는 최솟값과 가능한 최댓값을 구분해야 한다.

📖 풀이:
1단계: 비둘기집 원리에 따르면 n개의 비둘기집에 n+1마리 이상의 비둘기를 넣으면 한 집에 최소 2마리가 들어간다. 여기서 집은 12개월, 비둘기는 20명. 2단계: 일반화하면 비둘기가 k마리, 집이 n개일 때 최소

\lceil\frac{k}{n}\rceil

마리가 한 집에 들어간다. 계산하면

\lceil\frac{20}{12}\rceil=\lceil1.67\rceil=2

. 3단계: 따라서 같은 월 생일 학생이 최소 2명은 반드시 존재한다(실제로는 더 많을 수도 있지만 '반드시 보장되는' 최솟값은 2). 함정 보기 ③ 4명은

\lceil\frac{20}{12}\rceil

를 잘못 계산해 20÷12≈1.67을 3으로 올리거나 하는 실수.

💡 23명이 모이면 두 명이 같은 생일(날짜까지)을 가질 확률이 50%를 넘는 '생일 역설'은 확률론의 유명한 예이다.

Q70정수·유리수 추론★★

두 유리수 a, b에 대해 a×b<0이고 a+b>0이다. 이때 |a|와 |b|의 관계를 설명하라.

① |a|=|b|

② |a|>|b| 또는 |b|>|a|, 단 양수의 절댓값이 더 크다

③ |a|<|b| 항상

④ 알 수 없다

Q71문자와 식 심화★★★

어떤 수열의 1, 2, 3, 4번째 항이 3, 8, 15, 24이다. 이 수열의 n번째 항을 a_n이라 할 때 일반항을 구하고, 10번째 항의 값을 계산하라.

①

a_n=n^2+2n

,

a_{10}=120

②

a_n=n(n+2)

,

a_{10}=120

③

a_n=3n^2-3

,

a_{10}=297

④ ①과 ②가 동일하며 둘 다 정답

🎯 정답: ④ ①과 ②가 동일하며 둘 다 정답

🧠 풀이 전략: 수열의 일반항을 찾을 때 계차 수열이 등차면 원 수열은 이차식이라는 성질을 이용해 미정계수법을 쓴다. 인수분해 형태와 전개 형태는 동치임을 확인해야 한다.

📖 풀이:
1단계: 수열 3, 8, 15, 24의 계차(이웃 항의 차)를 구하면 5, 7, 9, ... 로 공차 2인 등차수열(홀수)이다. 계차가 등차이므로 원 수열은 이차식 형태

a_n=An^2+Bn+C

이다. 2단계: n=1일 때 3, n=2일 때 8, n=3일 때 15를 대입해 연립하면 A+B+C=3, 4A+2B+C=8, 9A+3B+C=15. 첫 두 식의 차: 3A+B=5. 마지막 두 식의 차: 5A+B=7. 두 차의 차: 2A=2, A=1. 따라서 B=2, C=0. 즉

a_n=n^2+2n=n(n+2)

. 3단계:

a_{10}=10×12=120

. ①과 ②는 동일한 식을 다르게 쓴 것이므로 둘 다 정답.

💡 이 수열

n(n+2)

는 두 연속 정수의 곱 형태로 기하학적으로 직사각형 넓이와 연결된다.

Q72도형 성질 추론★★★

삼각형 ABC에서 각 A=80°이다. 각 B의 이등분선과 각 C의 이등분선이 삼각형 내부에서 만나는 점을 I(내심)라 할 때, 각 BIC의 크기는?

① 100°

② 120°

③ 130°

④ 140°

🎯 정답: ③ 130°

🧠 풀이 전략: 내심에서 생기는 각은 '90° + (대각/2)' 공식을 이용한다. 이는 삼각형 내각 합과 이등분선의 절반 성질을 결합해 도출된다.

📖 풀이:
1단계: 삼각형 내각의 합이 180°이므로 각 B+각 C=180°-80°=100°. 2단계: BI, CI가 각각의 이등분선이므로 각 IBC=

\frac{각B}{2}

, 각 ICB=

\frac{각C}{2}

. 두 각의 합은

\frac{각B+각C}{2}=\frac{100°}{2}=50°

. 3단계: 삼각형 BIC의 내각의 합이 180°이므로 각 BIC=180°-50°=130°. 일반 공식: 각 BIC=90°+

\frac{각A}{2}

=90°+40°=130°. 이 공식은 '내심각 공식'으로 매우 중요하다.

💡 내심 I는 삼각형의 세 변에 같은 거리(내접원의 반지름)로부터 떨어져 있는 유일한 점이다.

Q73정수·유리수 추론★★★

수직선 위의 점

x

에 대해

|x-1| + |x-4| + |x-7|

의 최솟값은?

① 5

② 6

③ 7

④ 9

🎯 정답: ② 6

🧠 풀이 전략: 수직선에서 여러 점들까지 거리의 합이 최소가 되는 위치는 '중앙값(가운데 점)'이라는 성질을 이용. 점이 홀수 개면 가운데 점, 짝수 개면 두 가운데 점 사이 어디든 OK.

📖 풀이:
1) 두 점 a, b까지 거리의 합

|x-a|+|x-b|

는 x가 a와 b 사이에 있을 때 최솟값

|b-a|

.
2) 세 점 1, 4, 7이 있을 때, 바깥 두 점(1과 7)까지 거리의 합은 x가 1과 7 사이에 있으면 항상 6으로 일정.
3) 나머지

|x-4|

는

x=4

일 때 0으로 최소.
4) 따라서

x=4

일 때

|4-1|+|4-4|+|4-7| = 3+0+3 = 6

이 최솟값.

💡 이 성질은 통계에서 '중앙값이 절댓값 오차 합을 최소화한다'는 원리로 확장됨.

Q74문자와 식 심화★★

다음 수열의 규칙을 찾아,

n

번째 항을

n

을 사용한 식으로 나타내고, 100번째 항을 구하라.
3, 6, 12, 24, 48, 96, ...

직접 채점:

🎯 정답:

n

번째 항 =

3 \times 2^{n-1}

, 100번째 항 =

3 \times 2^{99}

🧠 풀이 전략: 이웃한 항의 '차이'가 아니라 '비'가 일정한지 먼저 확인. 차가 일정하면 등차, 비가 일정하면 등비. 일반항은 첫째항에 공비를 (n-1)번 곱한 꼴.

📖 풀이:
1) 이웃 항의 비를 조사:

6 \div 3 = 2

,

12 \div 6 = 2

,

24 \div 12 = 2

. 바로 앞 항에 2를 곱하는 규칙(등비수열).
2) 첫째항 3, 공비 2.

n

번째 항 공식 = 첫째항

\times

공비

^{n-1}

=

3 \times 2^{n-1}

.
3)

n=100

대입: 100번째 항 =

3 \times 2^{99}

.

💡

2^{10} = 1024

이므로

2^{99}

는 30자리가 넘는 매우 큰 수. 지수 표기가 실제 숫자보다 훨씬 간결함.

Q75일차방정식 활용★★★

길이가 150 m인 기차가 일정한 속력으로 달린다. 이 기차가 길이 450 m의 터널을 완전히 통과하는 데 40초 걸렸다. 같은 속력으로 길이 750 m의 다리를 완전히 건너는 데 걸리는 시간은?

① 50초

② 55초

③ 60초

④ 65초

🎯 정답: ③ 60초

🧠 풀이 전략: 기차 문제의 함정은 '이동거리 = 구조물 길이'가 아니라 '구조물 길이 + 기차 길이'라는 점. 완전히 통과/완전히 건너기를 그림으로 상상하고 기차 앞쪽과 꼬리의 궤적을 따로 추적.

📖 풀이:
1) '완전히 통과'하려면 기차 앞머리가 터널에 들어가서 기차 꼬리가 터널을 빠져나올 때까지. 실제 이동거리 = 터널 길이 + 기차 길이.
2) 터널 통과 거리 = 450 + 150 = 600 m. 기차 속력 =

600 \div 40 = 15

m/초.
3) 다리 통과 거리 = 750 + 150 = 900 m.
4) 시간 =

900 \div 15 = 60

초.

💡 같은 기차가 '전봇대를 스쳐 지나가는 데 걸리는 시간'을 물으면 기차 길이만 이동거리로 잡음 (전봇대는 폭이 0).