📝 중1 수학 심화 (2/10)

Q26합동 증명 기초★★★

이등변삼각형 ABC에서 AB = AC이고, ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 한다. 다음 세 가지를 모두 논리적으로 밝히시오. (1) △ABD ≡ △ACD (2) 점 D는 BC의 중점 (3) AD ⊥ BC

직접 채점:

Q27원·부채꼴 심화★★★

그림과 같이 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 3cm, 4cm인 직각삼각형 ABC(∠C=90°)의 세 변을 지름으로 하는 반원을 모두 삼각형의 바깥쪽으로 그렸다. 이때 빗변을 지름으로 하는 반원을 삼각형 쪽으로 접어서(같은 넓이이므로 그대로 덮는다고 생각) 겹치게 할 때, 두 짧은 변 위 반원 중 '겹치지 않고 바깥쪽에 남은 두 초승달 모양' 넓이의 합을 구하시오.

직접 채점:

Q28입체 추론★★★

한 모서리의 길이가 6cm인 정육면체가 있다. 이 정육면체의 한 공간대각선의 중점을 지나고, 그 공간대각선에 수직인 평면으로 정육면체를 자를 때, 잘린 단면의 모양과 한 변의 길이를 구하시오.

① 한 변이 3cm인 정사각형

② 한 변이 3√2 cm인 정육각형

③ 한 변이 6cm인 정삼각형

④ 한 변이 3√3 cm인 정사각형

Q29정수·유리수 추론★★

수직선 위의 점 P는 원점 0에서 출발하여 다음 규칙으로 움직인다. '홀수 번째(1, 3, 5, ...) 움직임에서는 오른쪽으로 그 번호만큼, 짝수 번째(2, 4, 6, ...) 움직임에서는 왼쪽으로 그 번호만큼 이동한다.' 10번째 움직임을 마친 직후 점 P의 좌표를 구하시오.

① -5

② -4

③ 5

④ 4

Q30합동 증명 기초★★★

정사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 위에 각각 점 P, Q, R, S를 'AP = BQ = CR = DS'가 되도록 잡았다. 이때 사각형 PQRS가 정사각형이 됨을 증명하시오.

직접 채점:

Q31원·부채꼴 심화★★★

반지름의 길이가 6cm인 원 O에 내접하는 정삼각형 ABC가 있다. 변 AB를 현으로 하는 활꼴(원 안에서 현 AB와 호 AB로 둘러싸인 영역) 중 점 C를 포함하지 않는 쪽 활꼴의 넓이를 구하시오.

① 12π - 9√3 cm²

② 12π - 18 cm²

③ 6π - 9√3 cm²

④ 12π cm²

Q32입체 추론★★★

다음은 정육면체의 십자형 전개도로, 여섯 면에 A, B, C, D, E, F 라벨이 붙어 있다. 가로로 A-B-C-D의 네 면이 붙어 있고, 면 B의 위쪽에 E, 면 B의 아래쪽에 F가 붙어 있다. 이 전개도를 접어 정육면체를 만들었을 때, 면 A와 서로 마주 보는 면은 무엇인가?

① 면 B

② 면 C

③ 면 D

④ 면 E

Q33자료·경시 퍼즐★★★

어떤 학교의 한 학년에 최소한 몇 명의 학생이 있어야, '생일이 같은 달인 학생이 적어도 3명 이상인 달이 반드시 존재함'을 보장할 수 있는가? (단, 생일이 어느 달에 있는지는 1월부터 12월까지 중 하나이다.)

① 13명

② 24명

③ 25명

④ 36명

Q34자료·경시 퍼즐★★★

세 사람 A, B, C가 있다. 이들 중 정직한 사람은 반드시 참말만 하고, 거짓말쟁이는 반드시 거짓말만 한다. 세 사람 중 '거짓말쟁이는 정확히 한 명'이라고 알려져 있다. 세 사람이 각각 다음과 같이 말했을 때, 거짓말쟁이가 누구인지 논리적으로 판단하시오.
A: "나는 거짓말쟁이가 아니다."
B: "A는 거짓말쟁이이다."
C: "B는 거짓말쟁이이다."

① A

② B

③ C

④ 알 수 없다

Q35문자와 식 심화★★

다음과 같은 규칙으로 점을 배치한다. 1단계에는 점 2개, 2단계에는 5개, 3단계에는 10개, 4단계에는 17개가 놓인다. n단계에 놓이는 점의 개수를 n에 대한 식으로 나타내고, 10단계에 놓이는 점의 개수를 구하시오.

직접 채점:

Q36일차방정식 활용★★★

1000원권 지폐와 500원권 동전을 섞어서 정확히 12000원을 만들려고 한다. 1000원권과 500원권을 각각 최소 한 장(개) 이상 사용한다고 할 때, 가능한 '(1000원권 장수, 500원권 개수)' 조합은 모두 몇 가지인지 구하시오.

① 10가지

② 11가지

③ 12가지

④ 23가지

Q37정수·유리수 추론★★★

세 정수 a, b, c에 대하여 |a-2| + |b+3| + |c-5| = 0 이 성립할 때, a·b·c 의 값은?

① -30

② -15

③ 15

④ 30

Q38문자와 식 심화★★★

현재 아버지의 나이는 아들 나이의 4배이다. 8년 후에는 아버지의 나이가 아들 나이의 2배보다 4살 많아진다. 현재 아들의 나이는?

① 6살

② 10살

③ 12살

④ 14살

Q39일차방정식 활용★★★

A, B 두 사람이 함께 하면 6일 만에 끝낼 수 있는 일이 있다. A 혼자 4일 동안 일한 뒤 나머지를 B가 혼자 마무리했더니 총 12일이 걸렸다. B 혼자 이 일을 하면 며칠이 걸리는가?

① 10일

② 12일

③ 15일

④ 18일

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략: '일률' 문제는 전체 일의 양을 1로 놓고 각자 하루 일량을 분수로 표현하는 것이 핵심 전략. 두 미지수를 두고 두 식을 세워 연립(대입법)한다. 함정: B가 일한 일수를 12일이 아닌 8일로 정확히 파악해야 한다.

📖 풀이:
1단계: A 혼자 하루에 하는 일의 양을

\frac{1}{a}

, B 혼자 하루에 하는 일의 양을

\frac{1}{b}

이라 하자. 함께 6일이므로

6(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = 1

, 즉

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}

.
2단계: A 혼자 4일 + B 혼자 (12-4)=8일. 식:

\frac{4}{a}+\frac{8}{b} = 1

.
3단계: 첫 식에서

\frac{1}{a}=\frac{1}{6}-\frac{1}{b}

를 둘째 식에 대입:

4(\frac{1}{6}-\frac{1}{b})+\frac{8}{b}=1

→

\frac{2}{3}+\frac{4}{b}=1

→

\frac{4}{b}=\frac{1}{3}

→

b=12

.
4단계: 따라서 B 혼자 하면 12일이 걸린다.

💡 일률 문제는 '물탱크에 물 채우기', '관으로 물 빼기' 문제와 수학적으로 동일한 구조다.

Q40좌표평면 응용★★★

좌표평면 위 세 점 A(-3, 2), B(5, 2), C(1, -4) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 넓이는?

① 20

② 24

③ 28

④ 32

🎯 정답: ②

🧠 풀이 전략: 좌표평면 위 삼각형 넓이는 '좌표가 같은 두 점'을 찾아 축에 평행한 변을 밑변으로 삼는 것이 핵심. A와 B의 y좌표가 2로 같으므로 AB를 밑변, C의 y좌표와의 차이를 높이로 잡으면 공식에 바로 대입할 수 있다. 함정: 두 점 거리공식을 쓸 필요 없이 좌표차로 바로 밑변·높이를 구한다.

📖 풀이:
1단계: A(-3,2)와 B(5,2)는 y좌표가 같으므로 AB는 x축에 평행한 선분. 밑변 AB의 길이 = 5-(-3) = 8.
2단계: C(1,-4)에서 직선 AB(y=2)까지의 수직거리가 높이. 높이 = |2-(-4)| = 6.
3단계: 삼각형 넓이 =

\frac{1}{2}

× 밑변 × 높이 =

\frac{1}{2}

× 8 × 6 = 24.

💡 세 꼭짓점 좌표가 주어진 삼각형의 넓이는 고등학교에서 '신발끈 공식'으로 바로 계산할 수 있다.

Q41좌표평면 응용★★

좌표평면 위의 점 P(a, b)가 x축 아래에 있고 y축의 오른쪽에 있다. 또한 점 P와 x축 사이의 거리가 3, y축 사이의 거리가 5일 때, a+b의 값은?

① 2

② -2

③ 8

④ -8

Q42도형 성질 추론★★★

그림과 같이 두 직선 ℓ, m이 평행하다. ∠A = 35°, ∠C = 28° 일 때, ∠ABC의 크기는?

① 53°

② 63°

③ 73°

④ 83°

Q43도형 성질 추론★★★

삼각형 ABC에서 ∠B의 이등분선과 ∠C의 이등분선이 만나는 점을 I 라 하자. ∠A = 70° 일 때, ∠BIC 의 크기는?

① 110°

② 115°

③ 120°

④ 125°

🎯 정답: ④

🧠 풀이 전략: '일부 각만 주어졌을 때는 합으로 묶어서 접근'하는 전략. ∠B와 ∠C를 개별로 구할 수 없지만 '합'은 알 수 있고, 이등분선 문제는 '반으로 나눈 두 각의 합'만 필요하므로 정확히 이 전략이 먹힌다. 작은 삼각형 IBC의 내각의 합을 이용.

📖 풀이:
1단계: 삼각형 ABC의 내각의 합은 180°이므로 ∠B + ∠C = 180° - 70° = 110°.
2단계: BI, CI가 각각 ∠B, ∠C의 이등분선이므로 ∠IBC =

\frac{1}{2}

∠B, ∠ICB =

\frac{1}{2}

∠C.
3단계: 삼각형 IBC에서 내각의 합이 180°이므로 ∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠ICB = 180° -

\frac{1}{2}

(∠B+∠C) = 180° -

\frac{1}{2}

·110° = 180° - 55° = 125°.
4단계: 일반 공식으로는 ∠BIC = 90° +

\frac{1}{2}

∠A = 90° + 35° = 125°.

💡 이 문제의 결과 '∠BIC = 90° +

\frac{1}{2}

∠A' 는 삼각형의 '내심' 각도 공식으로 유명하며, 세 각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만난다.

Q44합동 증명 기초★★★

그림과 같이 △ABC와 △DBE가 모두 정삼각형이고 점 E는 변 AC 위에 있다. 선분 AD와 선분 CE에 대하여 참인 것을 고르시오.

① AD = CE 이고 이유는 SSS 합동

② AD = CE 이고 이유는 SAS 합동(△ABD ≡ △CBE)

③ AD ≠ CE 이지만 ∠ABD = ∠CBE

④ 주어진 조건만으로는 알 수 없다

Q45원·부채꼴 심화★★★

반지름 6 cm, 중심각 120°인 부채꼴이 있다. 이 부채꼴의 호의 길이를

\ell

, 넓이를

S

라 할 때

S = \frac{1}{2} r \ell

임을 이용하여

S

의 값을 구하면? (단, r은 반지름)

① 6π cm²

② 9π cm²

③ 12π cm²

④ 24π cm²

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 부채꼴 문제는 '중심각이 전체의 몇 분의 몇인가'를 먼저 따지는 것이 핵심. 여기선 120°/360° = 1/3. 호의 길이를 구한 뒤 제시된 공식에 대입해 넓이를 얻고, 원 넓이 공식으로 검증한다. 함정: π 를 빼먹거나 지름과 반지름을 헷갈리지 말 것.

📖 풀이:
1단계: 전체 원 둘레는 2π·6 = 12π cm. 중심각 120°는 360°의

\frac{1}{3}

.
2단계: 호의 길이

\ell

= 12π ×

\frac{120}{360}

= 12π ×

\frac{1}{3}

= 4π cm.
3단계: 주어진 공식

S = \frac{1}{2} r \ell

을 이용하면 S =

\frac{1}{2}

× 6 × 4π = 12π cm².
4단계: 검증: 원의 넓이 π·6² = 36π 의

\frac{1}{3}

= 12π. 일치.

💡 공식

S = \frac{1}{2} r \ell

은 '부채꼴을 무한히 얇게 잘라 삼각형처럼 펼치면 밑변

\ell

, 높이 r의 삼각형 모양'이 된다는 직관에서 나온다.

Q46입체 추론★★★

한 모서리의 길이가 6 cm인 정육면체가 있다. 이 정육면체에서 한 꼭짓점 A와 이웃한 세 꼭짓점 B, C, D를 잇는 삼각형 BCD를 자르면 삼각뿔 A-BCD가 나온다. 이 삼각뿔의 부피는?

① 18 cm³

② 27 cm³

③ 36 cm³

④ 54 cm³

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 정육면체의 한 꼭짓점에서 만나는 세 모서리가 서로 수직임을 이용하는 것이 핵심. 밑면을 정삼각형 BCD가 아니라 '직각삼각형 ACD', 높이를 AB로 잡으면 계산이 훨씬 간단해진다. 함정: 정삼각형 BCD를 밑면으로 삼고 A에서의 수선 길이를 구하려 하면 훨씬 복잡해진다.

📖 풀이:
1단계: 꼭짓점 A에서 세 모서리가 서로 수직으로 만나므로, A를 꼭짓점으로 하고 AB, AC, AD를 세 모서리로 삼는 삼각뿔은 '직각삼각뿔'이다. AB=AC=AD=6 cm.
2단계: AB를 높이로 보면 밑면은 직각삼각형 ACD이다. 밑면의 넓이 =

\frac{1}{2}

× AC × AD =

\frac{1}{2}

× 6 × 6 = 18 cm².
3단계: 삼각뿔 부피 =

\frac{1}{3}

× 밑넓이 × 높이 =

\frac{1}{3}

× 18 × 6 = 36 cm³.
4단계: 검증: 정육면체 부피 216 cm³ 의

\frac{1}{6}

= 36. 일치.

💡 정육면체의 꼭짓점 8개 중에서 이런 방식으로 자르면 삼각뿔 6개를 떼어낼 수 있고, 가운데에는 정팔면체 모양이 남는다.

Q47자료·경시 퍼즐★★

어느 학급 학생 10명의 수학 시험 평균이 72점이었다. 그런데 한 학생의 점수를 59점으로 잘못 기재했고 실제로는 95점이었다. 올바른 평균은?

① 74.4점

② 75.6점

③ 76.0점

④ 78.0점

Q48자료·경시 퍼즐★★★

1부터 20까지의 자연수가 적힌 카드 20장이 상자에 들어 있다. 눈을 가리고 카드를 꺼낼 때, 3의 배수가 적힌 카드를 반드시 2장 이상 뽑으려면 최소 몇 장을 꺼내야 하는가?

① 14장

② 16장

③ 19장

④ 20장

Q49정수·유리수 추론★★★

수직선 위에 세 점 A, B, C가 있고 A의 좌표는 -7, C의 좌표는 11이다. 점 B는 AC를 2:1로 내분하는 점이고, 점 P는 수직선 위를 움직이는 점이다. |PA| + |PB| + |PC|의 최솟값을 구하시오.

① 16

② 18

③ 20

④ 22

Q50문자와 식 심화★★

어떤 수 x에 대해 '[x]'는 x를 넘지 않는 최대 정수를 나타낸다(예: [3.7]=3, [-2.3]=-3). [2.5] + [-1.8] + [4] + [-0.5]의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4