📝 중1 수학 심화 (1/10)

Q1정수·유리수 추론★★★

수직선 위에 세 점 A, B, C가 있다. A는 -5, B는 7에 대응한다. 점 C는 A로부터의 거리가 B로부터의 거리의 2배이고, C는 선분 AB 위에 있지 않다(즉, A와 B 사이가 아니다). 가능한 점 C의 좌표를 모두 더한 값은?

① 19

② 26

③ 31

④ 38

Q2정수·유리수 추론★★★

연속된 다섯 개의 정수의 합이 5의 배수임을 이용하여, 연속된 정수 다섯 개의 합이 2025일 때 가운데 수를 구하고, 이 다섯 수의 제곱의 합을 구하시오.

직접 채점:

Q3문자와 식 심화★★

성냥개비로 정사각형을 옆으로 이어붙여 만든다. 정사각형 1개는 성냥 4개, 2개 이어붙이면 7개, 3개 이어붙이면 10개가 필요하다. 정사각형 n개를 이어붙일 때 필요한 성냥의 개수를 n에 관한 식으로 나타내고, 성냥 100개로 만들 수 있는 정사각형의 최대 개수를 구하시오.

직접 채점:

Q4문자와 식 심화★★★

현재 아버지의 나이는 아들 나이의 4배이다. 10년 후 아버지의 나이는 아들 나이의 2배보다 6살 많다. 현재 아버지와 아들 나이의 합을 구하고, 몇 년 후에 아버지의 나이가 아들 나이의 정확히 3배가 되는지 구하시오.

직접 채점:

Q5일차방정식 활용★★★

8%의 소금물 300g과 15%의 소금물을 섞어 12%의 소금물을 만들려고 한다. 15%의 소금물은 몇 g 필요한지 구하고, 만들어진 12% 소금물 전체의 무게를 구하시오.

① 400g, 전체 700g

② 450g, 전체 750g

③ 500g, 전체 800g

④ 600g, 전체 900g

Q6일차방정식 활용★★★

A 수도꼭지로만 물을 받으면 빈 물통을 가득 채우는 데 12분, B 수도꼭지로만 받으면 18분이 걸린다. 두 수도꼭지를 동시에 틀면 몇 분 만에 가득 차는가? 또, A로 먼저 4분 동안 받다가 B를 추가로 틀었다면 처음 물을 받기 시작한 후 몇 분 만에 물통이 가득 차는가?

직접 채점:

🎯 정답: 동시에: 7.2분(=36/5분), A먼저 4분 후 B추가: 총

\frac{44}{5}

분 = 8.8분

🧠 풀이 전략: 일률 문제는 '전체 일=1'로 놓고 단위시간당 작업량의 합으로 생각. 구간을 나눠 각 구간의 진행량을 합산하는 전략.

📖 풀이:
1단계: 일률 설정. 전체 일을 1로 놓으면 A는 1분에

\frac{1}{12}

, B는 1분에

\frac{1}{18}

을 채운다.
2단계: 동시에 받을 때. 1분에

\frac{1}{12}+\frac{1}{18} = \frac{3+2}{36} = \frac{5}{36}

씩 채우므로, 전체를 채우는 시간은

\frac{36}{5} = 7.2

분.
3단계: A로 4분간 채운 양 =

4 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{3}

. 남은 양 =

\frac{2}{3}

. 이후 A와 B가 함께 1분에

\frac{5}{36}

씩 채우므로,

\frac{2}{3} \div \frac{5}{36} = \frac{2}{3} \times \frac{36}{5} = \frac{24}{5} = 4.8

분 추가. 총

4+4.8 = 8.8

분.

💡 일률 문제의 역수 관계는 광학의 '초점거리' 공식이나 전기의 '저항 병렬연결'과 수학적으로 동일한 구조이다.

Q7좌표평면 응용★★★

좌표평면 위 세 점 A(-3, 2), B(5, 2), C(1, -3)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 넓이를 구하고, 점 C를 y축에 대칭시킨 점 C'와 A, B로 만든 삼각형 ABC'의 넓이를 비교하시오.

① 넓이 20, ABC와 ABC' 같다

② 넓이 18, ABC가 더 크다

③ 넓이 20, ABC'가 더 크다

④ 넓이 24, 같다

🎯 정답: ① 넓이 20, ABC와 ABC' 같다

🧠 풀이 전략: 삼각형 넓이는 밑변과 높이만으로 결정된다. 좌표에서 수평변/수직변을 찾으면 계산이 단순해지고, 등적변형 원리로 대칭 이동 후 넓이 비교까지 확장.

📖 풀이:
1단계: 밑변 AB는 수평(y=2), 길이 = 5-(-3) = 8.
2단계: 높이는 C의 y좌표(-3)에서 AB(y=2)까지 수직거리 = |2-(-3)| = 5. 따라서 삼각형 ABC의 넓이 =

\frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20

.
3단계: C를 y축 대칭시킨 C' = (-1, -3). 삼각형 ABC'의 밑변은 여전히 AB로 길이 8, 높이도 C'의 y좌표가 -3이므로 AB(y=2)와의 거리는 5로 같다. 따라서 넓이 = 20. 두 삼각형의 넓이는 같다.
핵심 이유: 밑변이 같고, 꼭짓점이 밑변과 평행한 직선 위에서 이동하면 높이가 변하지 않으므로 넓이는 변함없다(등적변형).

💡 '밑변이 같고 높이가 같으면 넓이가 같다'는 등적변형 원리는 유클리드 원론의 Book I 명제 38에 나오는 고전적 정리이다.

Q8좌표평면 응용★★

좌표평면에서 정비례 관계 y = 2x와 y = -x + 6의 그래프가 만나는 점 P의 좌표를 구하고, 이 점 P와 원점 O, 점 Q(6, 0)가 이루는 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

① P(2,4), 넓이 12

② P(2,4), 넓이 6

③ P(3,6), 넓이 18

④ P(2,4), 넓이 8

🎯 정답: ① P(2,4), 넓이 12

🧠 풀이 전략: 두 직선의 교점은 연립방정식의 해. 교점 좌표를 구한 뒤, 좌표축 위의 밑변을 활용하면 높이가 교점의 y(또는 x)좌표가 되어 계산이 쉬워진다.

📖 풀이:
1단계: 두 그래프의 교점. 2x = -x+6 → 3x = 6 → x = 2, y = 4. 따라서 P(2, 4).
2단계: 삼각형 OPQ의 밑변 OQ는 x축 위에 있으므로 길이 = 6.
3단계: 높이는 P의 y좌표 = 4. 넓이 =

\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12

.
함정: 넓이를 6으로 착각하기 쉬우나 밑변×높이÷2 공식을 정확히 적용.

💡 두 직선의 교점을 구하는 것은 최초의 '컴퓨터 그래픽' 알고리즘 중 하나였고, 현재 모든 지도 앱의 경로 교차 판정에 쓰인다.

Q9도형 성질 추론★★★

직선 ℓ과 직선 m이 서로 평행하다. 그림과 같이 두 직선 사이에 꺾인 선 ABC가 있어 ℓ 위의 점에서 A로, A에서 B로, B에서 m 위의 점 C로 이어진다. ∠α(ℓ과 AB가 이루는 각)=42°, ∠γ(m과 BC가 이루는 각)=68°일 때, 꺾인 점 B에서의 각 ∠β(ABC의 각)의 크기를 구하시오.

① 100°

② 110°

③ 120°

④ 130°

Q10합동 증명 기초★★★

정삼각형 ABC의 변 BC 위에 점 D가 있고, 변 AC 위에 점 E가 있어 BD=CE이다. 이때 선분 AD와 선분 BE의 길이가 같음을 설명하고, 두 선분이 만나는 각을 ∠APB라 할 때(P는 교점) ∠APB의 크기를 구하시오.

직접 채점:

Q11원·부채꼴 심화★★★

반지름이 12 cm이고 중심각이 90°인 부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위의 중점 M에서 두 반지름 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 할 때, 사각형 OPMQ는 어떤 도형인가? 또한 이 사각형의 넓이를 구하시오.

① 정사각형, 72 cm²

② 직사각형, 100 cm²

③ 정사각형, 144 cm²

④ 평행사변형, 72 cm²

🎯 정답: ① 정사각형, 72 cm²

🧠 풀이 전략: 먼저 각 조건(세 각이 직각)으로 사각형의 대략적 종류(직사각형)를 결정한 뒤, 호의 중점이라는 대칭성으로부터 인접 변이 같음을 보여 정사각형까지 특정. 넓이는 한 변의 제곱.

📖 풀이:
1단계: 사각형 OPMQ의 형태. ∠AOB=90°이므로 ∠POQ=90°. MP⊥OA이므로 ∠OPM=90°, MQ⊥OB이므로 ∠OQM=90°. 따라서 네 각 중 세 각이 90°, 나머지도 자동으로 90°가 되어 직사각형.
2단계: 정사각형 여부. M은 호의 중점이므로 OM은 ∠AOB를 이등분(∠AOM=∠BOM=45°). 직각삼각형 OPM에서 OM=12(반지름), ∠MOP=45°이므로 OP = 12·cos45° = 12·

\frac{\sqrt{2}}{2}

= 6√2, MP = 12·sin45° = 6√2. OP=MP이므로 OPMQ는 인접한 두 변의 길이가 같은 직사각형, 즉 정사각형.
3단계: 넓이. (6√2)² = 72 cm².

💡 부채꼴의 호 중점에서 양 반지름에 내린 수선의 발은 항상 대칭성을 만들어, 중심각에 상관없이 사각형 OPMQ는 마름모(또는 정사각형)가 된다.

Q12자료·경시 퍼즐★★★

어떤 반 학생 5명의 수학 점수의 평균이 82점이었다. 그런데 선생님이 채점을 다시 해보니 한 학생의 점수가 78점이 아니라 88점이었다. 올바른 평균은 몇 점인가? 또한, 이 반에 전학생 한 명이 합류하여 6명이 되었을 때 평균을 85점으로 맞추려면 전학생은 몇 점을 받아야 하는지 구하시오.

직접 채점:

Q13정수·유리수 추론★★★

|x-2| + |x+3| = 7 을 만족하는 모든 정수 x의 합을 구하시오.

① -5

② -1

③ 0

④ -7

Q14문자와 식 심화★★

어떤 자연수 n에 대하여 '연속된 5개의 홀수의 합'을 식으로 나타냈을 때, 그 합이 항상 5의 배수임을 보이려면 어떤 식으로 표현하는 것이 가장 좋은가?

① n, n+1, n+2, n+3, n+4 로 놓는다

② 2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7, 2n+9 로 놓는다

③ 2n-3, 2n-1, 2n+1, 2n+3, 2n+5 로 놓는다 (가운데를 2n+1로)

④ n-2, n-1, n, n+1, n+2 로 놓는다

Q15일차방정식 활용★★★

두 자동차 A, B가 같은 지점에서 동시에 출발한다. A는 시속 60km로 동쪽으로, B는 시속 80km로 서쪽으로 달린다. 출발 후 30분이 지나서 A가 잊은 물건을 가지러 출발지로 돌아와야 함을 깨닫고 즉시 시속 90km로 출발지를 향해 돌아간다. A가 출발지에 도착했을 때, B는 출발지로부터 몇 km 떨어져 있는가?

① 60km

② 80km

③ 90km/3

④ 80×(5/6)km

Q16좌표평면 응용★★★

좌표평면 위 세 점 P(0, 6), Q(-4, 0), R(8, 0)이 있다. 점 P를 지나는 어떤 직선이 삼각형 PQR의 넓이를 정확히 이등분한다고 할 때, 이 직선이 변 QR과 만나는 점의 x좌표는?

① x = 0

② x = 1

③ x = 2

④ x = 4

Q17도형 성질 추론★★★

오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 종이 ABCD의 아래쪽 부분을 접는 선 PQ를 따라 위로 한 번 접었다. 접는 선이 변 AB와 만나는 점을 P, 변 CD와 만나는 점을 Q라 할 때, ∠APQ = 65°이면 접힌 후 생긴 ∠PQC'(C'는 C가 접힌 후의 위치)의 크기는?

① 65°

② 115°

③ 130°

④ 90°

Q18합동 증명 기초★★★

오른쪽 그림에서 △ABC는 정삼각형이고, 점 D, E, F는 각각 변 BC, CA, AB 위에 있으며 BD = CE = AF이다. 이때 △DEF는 어떤 삼각형인가? 또 그 이유로 가장 적절한 것은?

① 정삼각형이며, 합동인 세 삼각형 △AFE, △BDF, △CED 때문이다 (SAS합동)

② 이등변삼각형이며, 두 변만 같다

③ 직각삼각형이며, 한 각이 90°이다

④ 일반 삼각형이며, 특별한 성질이 없다

Q19원·부채꼴 심화★★★

반지름이 6cm인 원을 한 변의 길이가 30cm인 정사각형의 둘레를 따라 한 바퀴 굴렸을 때, 원의 중심이 그리는 도형의 둘레의 길이는?

① 120 + 12π cm

② 120 + 6π cm

③ 144 + 12π cm

④ 168 cm

Q20입체 추론★★★

한 모서리의 길이가 6cm인 정육면체가 있다. 이 정육면체의 한 꼭짓점 A에서 출발하여 모서리를 따라 모든 꼭짓점을 정확히 한 번씩만 지나 다시 A로 돌아오는 경로(해밀턴 회로)의 총 길이는?

① 36cm

② 42cm

③ 48cm

④ 60cm

Q21입체 추론★★★

밑면이 한 변의 길이 8cm인 정사각형이고 높이가 6cm인 사각뿔(피라미드 모양)이 있다. 이 사각뿔의 옆면 4개의 넓이의 합(옆넓이)을 구하시오. (단, 옆면 삼각형의 빗변(꼭짓점에서 밑변 중점까지)을 먼저 구할 것)

① 32√13 cm²

② 96 cm²

③ 160 cm²

④ 240 cm²

Q22자료·경시 퍼즐★★★

어느 반 학생 25명의 수학 점수 평균은 76점이었다. 그런데 채점 후, 한 학생의 점수가 92점이 아니라 29점인 것을 발견했다(자릿수가 뒤바뀜). 정정 후 이 반의 평균은 몇 점인가?

① 73.48점

② 73.52점

③ 75.00점

④ 76.00점

Q23문자와 식 심화★★

성냥개비로 다음과 같은 규칙으로 정삼각형을 이어 붙여 도형을 만든다. 정삼각형이 1개일 때 성냥개비 3개, 2개 이어붙이면 5개, 3개 이어붙이면 7개, ... 정삼각형 n개를 이어붙였을 때 필요한 성냥개비의 개수를 n에 관한 식으로 나타내시오.

① 3n

② 2n+1

③ 3n-1

④ n²+2

Q24일차방정식 활용★★★

농도가 12%인 소금물 200g과 농도가 모르는 소금물 300g을 섞었더니 농도가 8%인 소금물이 되었다. 섞기 전 농도를 모르는 소금물의 농도는 몇 %인가?

① 4%

② 5.33%

③ 6%

④ 7%

Q25도형 성질 추론★★

그림과 같은 오각별(☆)의 다섯 꼭짓점에 표시된 각 ∠a, ∠b, ∠c, ∠d, ∠e의 크기의 합을 구하시오.

① 180°

② 360°

③ 540°

④ 720°