📝 중1 수학 일반

📖 풀이:
비례식에서는 외항의 곱과 내항의 곱이 서로 같다.
1단계: 외항의 곱 $= 3 \times 20 = 60$
2단계: 내항의 곱 $= 5 \times x = 5x$
3단계: $5x = 60$에서 양변을 5로 나누면 $x = 12$

📖 풀이:
두 점이 정해지면 선분 하나가 결정된다. 4개 중 2개를 짝지으면 된다.
1단계: A를 시작으로 한 선분 → AB, AC, AD (3개)
2단계: B를 시작으로 한 새 선분 → BC, BD (2개)
3단계: C를 시작으로 한 새 선분 → CD (1개)
4단계: 모두 더하면 $3 + 2 + 1 = 6$개

📖 풀이:
회전체란 평면도형을 한 직선(회전축)을 중심으로 1회전 시켜 만들어진 입체도형이다.
1단계: 원기둥은 직사각형을 한 변을 축으로 회전시켜 만든다 → 회전체
2단계: 원뿔은 직각삼각형을 한 변을 축으로 회전시켜 만든다 → 회전체
3단계: 구는 반원을 지름을 축으로 회전시켜 만든다 → 회전체
4단계: 정육면체는 평면을 회전시켜 만들 수 없는 다면체이다 → 회전체 아님

📖 풀이:
수직선 위 두 점의 중점은 두 수의 평균과 같다.
1단계: 두 수의 합 $= -3 + 7 = 4$
2단계: 평균 $= \frac{4}{2} = 2$
3단계: 검증) 점 M(2)에서 A($-3$)까지 거리 $|2-(-3)|=5$, M(2)에서 B(7)까지 거리 $|2-7|=5$. 두 거리가 같으므로 옳다.

📖 풀이:
분배법칙으로 괄호를 풀고 같은 종류의 항끼리 모아 정리한다.
1단계: $-2(3x - 4) = -6x + 8$ (부호에 주의)
2단계: $5(x - 1) = 5x - 5$
3단계: 두 식을 더하면 $-6x + 8 + 5x - 5$
4단계: $x$항: $-6x + 5x = -x$, 상수항: $8 - 5 = 3$
5단계: 정리하면 $-x + 3$

📖 풀이:
반비례 관계는 $xy = a$ (일정)라는 성질을 이용한다.
1단계: 점 $(2, 6)$ 대입 → $a = 2 \times 6 = 12$
2단계: 그래프 식은 $y = \frac{12}{x}$
3단계: 점 $(-3, k)$를 대입하면 $k = \frac{12}{-3} = -4$
4단계: 따라서 $a = 12$, $k = -4$

📖 풀이:
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므로 SAS 합동 조건을 만족한다.
1단계: $\overline{AB} = \overline{DE} = 4$cm (한 변 같음)
2단계: $\overline{AC} = \overline{DF} = 6$cm (다른 한 변 같음)
3단계: $\angle A = \angle D = 60°$이고 이 각은 두 변 AB, AC 사이의 끼인각이다.
4단계: 따라서 $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ (SAS 합동)
5단계: 대응하는 변의 길이는 같으므로 $\overline{EF} = \overline{BC} = 5$cm

📖 풀이:
할인된 가격은 정가에서 할인 금액을 뺀 값이다.
1단계: 할인 금액 $= x \times 0.2 = 0.2x$ (원)
2단계: 판매가 $=$ 정가 $-$ 할인 금액 $= x - 0.2x = 0.8x$
3단계: 방정식 세우기) $0.8x = 24000$
4단계: 양변을 0.8로 나누면 $x = \frac{24000}{0.8} = 30000$
5단계: 검증) 30,000원의 20% 할인 $= 30000 \times 0.8 = 24000$원. 일치한다.

📖 풀이:
직사각형을 한 변을 축으로 회전시키면 원기둥이 만들어진다.
1단계: 회전축이 세로변(길이 5cm)이므로 가로 3cm가 밑면 반지름이 된다.
2단계: 가로변(3cm)이 회전 반지름 → 밑면은 반지름 3cm인 원
3단계: 세로변(5cm)이 회전축 → 원기둥의 높이는 5cm
4단계: 원기둥 부피 공식 $V = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 5 = 45\pi$ (cm³)

📖 풀이:
부채꼴의 넓이 공식 $S = \pi r^2 \times \frac{x}{360}$를 두 부채꼴에 각각 적용하여 비교한다.
1단계: 부채꼴 A의 넓이 $= \pi \times 6^2 \times \frac{60}{360} = 36\pi \times \frac{1}{6} = 6\pi$ (cm²)
2단계: 부채꼴 B의 넓이 $= \pi \times 12^2 \times \frac{30}{360} = 144\pi \times \frac{1}{12} = 12\pi$ (cm²)
3단계: 두 넓이의 비 $A : B = 6\pi : 12\pi = 1 : 2$
4단계: 결론) 부채꼴 B가 부채꼴 A의 2배 크기이다.

📖 풀이:
히스토그램에서 각 직사각형의 넓이는 (계급의 크기) × (도수)와 같다.
1단계: 도수가 가장 큰 계급의 도수 $= 12$
2단계: 계급의 크기 $= 10$
3단계: 직사각형의 가로 길이 $=$ 계급의 크기 $= 10$
4단계: 직사각형의 세로 길이 $=$ 도수 $= 12$
5단계: 직사각형의 넓이 $= 10 \times 12 = 120$

📖 풀이:
1단계: 거듭제곱 계산. $(-2)^3$은 음수를 홀수번 곱하므로 부호는 음수. $(-2)^3=-8$.
2단계: $(-3)^2$는 음수를 짝수번 곱하므로 부호는 양수. $(-3)^2=+9$.
3단계: 두 값을 더한다. $-8+9=1$.

📖 풀이:
1단계: 문자항은 좌변, 상수항은 우변으로 이항. $5x-2x=8+7$.
2단계: 동류항끼리 정리. $3x=15$.
3단계: 양변을 $x$의 계수 3으로 나눈다. $x=5$.
검산: $5\times5-7=18$, $2\times5+8=18$. 양변이 같으므로 맞다.

📖 풀이:
1단계: 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다.
2단계: $3x+20=5x$ 방정식을 세운다.
3단계: 이항하면 $20=5x-3x$, 즉 $20=2x$.
4단계: 양변을 2로 나누면 $x=10$.
확인: 두 각 모두 $50$도로 같다.

📖 풀이:
1단계: 두 삼각형의 대응변 세 쌍이 모두 같다는 정보만 주어졌다.
2단계: 세 변의 길이가 각각 같으면 두 삼각형은 완전히 포개진다.
3단계: 이 합동 조건의 이름은 Side-Side-Side에서 첫 글자를 딴 SSS 합동이다.
SAS는 두 변과 끼인각, ASA는 한 변과 양끝각을 이용한다.

📖 풀이:
1단계: 모든 볼록 다각형의 외각의 합은 변의 개수와 상관없이 항상 $360$도이다.
2단계: 정다각형은 모든 외각의 크기가 같으므로 한 외각은 $360도 \div (변의 개수)$이다.
3단계: 정오각형의 변은 5개이므로 한 외각은 $360 \div 5 = 72$도.
참고: 한 내각 $= 180-72=108$도와 더하면 $180$도가 된다.

📖 풀이:
1단계: 삼각뿔의 부피 공식은 $V = \frac{1}{3} \times 밑넓이 \times 높이$.
2단계: 밑넓이 계산. 직각삼각형이므로 $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ cm².
3단계: 부피 계산. $\frac{1}{3} \times 12 \times 9 = \frac{1}{3} \times 108 = 36$ cm³.

📖 풀이:
1단계: 도수분포다각형에서 세로축의 높이가 해당 계급의 도수(학생 수)를 의미한다.
2단계: 각 점의 높이를 비교. 40-50은 2, 50-60은 4, 60-70은 8, 70-80은 6, 80-90은 3이다.
3단계: 가장 높은 지점은 $y=8$인 계급 60점 이상 70점 미만이다. 이 계급을 최빈계급이라 한다.

📖 풀이:
1단계: 그래프가 $(3, 4)$를 지나므로 관계식에 대입해 $a$를 구한다. $4 = \frac{a}{3}$이므로 $a = 12$.
2단계: 관계식은 $y = \frac{12}{x}$.
3단계: $x = -2$를 대입. $y = \frac{12}{-2} = -6$.
참고: 반비례는 $x$와 $y$의 곱이 일정한 관계이므로 $3 \times 4 = (-2) \times y = 12$로도 풀 수 있다.

📖 풀이:
1단계: $\angle AOB$가 $120$도이고 이등분하면 각 부분은 $120 \div 2 = 60$도.
2단계: 그 $60$도인 각을 다시 이등분하면 한 조각은 $60 \div 2 = 30$도.
3단계: 따라서 마지막으로 나뉜 작은 각의 크기는 $30$도이다.
즉 이등분을 $n$번 반복하면 원래 각이 $2^n$으로 나뉜다.

📖 풀이:
1단계: $n$각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 제외한 $n-3$개.
2단계: 모든 꼭짓점에서 이를 세면 $n(n-3)$개이지만 대각선 하나가 양끝에서 두 번씩 세어지므로 2로 나눈다.
3단계: 공식은 $\frac{n(n-3)}{2}$. $n=10$을 대입하면 $\frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$개.

📖 풀이:
1단계: 거리를 $x$km로 두면 걸린 시간은 $\frac{거리}{속력}$이다.
2단계: 갈 때 걸린 시간은 $\frac{x}{4}$시간, 올 때 걸린 시간은 $\frac{x}{6}$시간.
3단계: 총 시간이 $2$시간이므로 $\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 2$.
4단계: 양변에 12를 곱해 분모를 없앤다. $3x + 2x = 24$, 즉 $5x = 24$.
5단계: $x = \frac{24}{5} = 4.8$km.

📖 풀이:
1단계: 각 절댓값을 구한다. |-5|=5, |+3|=3, |-4|=4. 2단계: 식에 대입한다. 5 + 3 - 4. 3단계: 앞에서부터 계산하면 5+3=8, 8-4=4. 따라서 답은 4이다.

📖 풀이:
1단계: 'x의 4배'는 곱셈 기호를 생략하여 4x 로 쓴다. 2단계: '에서 5를 뺀 수'는 -5 를 뒤에 붙인다. 3단계: 따라서 4x - 5 가 된다. ③의 4(x-5)는 'x에서 5를 뺀 수의 4배'이므로 다른 식이다.

📖 풀이:
1단계: x가 있는 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항한다. 3x - 2x = 5 + 7. 2단계: 좌변과 우변을 각각 계산한다. x = 12. 3단계: 검산하면 3(12)-7=29, 2(12)+5=29 로 양변이 같으므로 맞다.