📝 중1 수학 일반

📖 풀이:
y축 위에 있는 점은 x좌표가 0인 점이다. A(3,0)은 x좌표가 3이므로 x축 위의 점이고, B(0,-4)는 x좌표가 0이므로 y축 위의 점이다. C(2,2), D(-1,1)은 사분면 안에 있는 점이다.

📖 풀이:
직선은 양쪽으로 한없이 뻗어 나가는 도형이고, 선분은 두 점을 양 끝점으로 하는 일부분이다. 반직선은 한 점(시작점)에서 시작하여 한 방향으로만 한없이 뻗는 도형이며, 시작점 A에서 점 B 쪽으로 뻗는 반직선을 '반직선 AB'라 한다.

📖 풀이:
합동 표기 △ABC ≡ △DEF에서 꼭짓점이 적힌 순서대로 대응한다. 즉 A↔D, B↔E, C↔F이다. 따라서 변 BC는 두 끝점 B, C에 대응하는 E, F를 잇는 변 EF에 대응한다.

📖 풀이:
양수와 음수의 곱은 음수이므로 부호는 -. 분자끼리, 분모끼리 곱한 뒤 약분: (2 × 9) / (3 × 4) = 18/12 = 3/2. 따라서 결과는 -3/2이다. 약분을 먼저 하면 (2와 4 → 1과 2), (9와 3 → 3과 1)이 되어 (1×3)/(1×2) = 3/2로 더 간단히 구할 수 있다.

📖 풀이:
사각형은 한 대각선을 그으면 두 개의 삼각형으로 나누어진다. 삼각형 한 개의 내각의 합이 180°이므로, 두 삼각형의 내각의 합 180° × 2 = 360°가 된다. 일반적으로 n각형의 내각의 합은 180° × (n - 2)이며, n = 4일 때 180° × 2 = 360°이다.

📖 풀이:
두 직선이 평행할 때, 한 직선이 두 평행선과 만나면서 생기는 엇각의 크기는 같다. 따라서 3x + 10 = 70. 양변에서 10을 빼면 3x = 60. 양변을 3으로 나누면 x = 20이다.

📖 풀이:
펜의 개수를 x개라 하면, 지우개의 개수는 (9 - x)개이다. 가격에 대한 식: 1000x + 700(9 - x) = 7800. 괄호를 풀면 1000x + 6300 - 700x = 7800. 동류항 정리: 300x = 1500. 양변을 300으로 나누면 x = 5. 따라서 펜은 5개이다.

📖 풀이:
정다면체는 모두 5가지뿐이다. 정사면체·정팔면체·정이십면체는 정삼각형, 정육면체는 정사각형, 정십이면체는 정오각형으로만 이루어진다. 한 꼭짓점에 모인 면들의 각의 합이 360°보다 작아야 입체가 만들어지는데, 정육각형 한 내각이 120°라 3개를 모으면 정확히 360°가 되어 평면이 되므로 정다면체가 될 수 없다.

📖 풀이:
x = -2를 대입한다. $x^2 = (-2)^2 = 4$이므로 $3x^2 = 3 \times 4 = 12$. $-2x = -2 \times (-2) = 4$. 상수항 +1. 따라서 $3x^2 - 2x + 1 = 12 + 4 + 1 = 17$이다. 음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 사용해야 부호 실수를 막을 수 있다.

📖 풀이:
두 점 A(-2, 0)와 B(4, 0)이 모두 x축 위에 있으므로 변 AB를 밑변으로 잡으면 편하다. 밑변의 길이는 두 x좌표의 차이로 4 - (-2) = 6. 점 C(1, 5)에서 x축까지의 거리(높이)는 |5| = 5. 삼각형 넓이 = (1/2) × 밑변 × 높이 = (1/2) × 6 × 5 = 15.

📖 풀이:
수직선 위 두 점 사이의 거리는 두 수의 차의 절댓값입니다.
거리 = |7 - (-4)| = |7 + 4| = |11| = 11
또는 0을 기준으로 |-4| + |7| = 4 + 7 = 11 (두 점이 원점 양쪽에 있는 경우).
따라서 두 점 사이의 거리는 11입니다.

📖 풀이:
계급의 크기는 한 계급의 양 끝값의 차입니다.
예를 들어 첫 번째 계급 [40, 50)의 크기는 50 - 40 = 10.
다른 계급들도 모두 60-50=10, 70-60=10, 80-70=10 으로 동일합니다.
따라서 계급의 크기는 10입니다.

📖 풀이:
정비례 y = ax 그래프 위의 점은 식을 만족합니다.
점 (2, -8)을 식에 대입: -8 = a × 2
양변을 2로 나누면 a = -8 ÷ 2 = -4.
따라서 a = -4입니다. (a가 음수이므로 그래프는 제2, 4사분면을 지납니다.)

📖 풀이:
모든 다각형의 외각의 합은 항상 360°입니다(꼭짓점 개수에 관계없음).
정구각형은 9개의 외각의 크기가 모두 같으므로,
한 외각 = 360° ÷ 9 = 40°.

📖 풀이:
히스토그램에서 한 직사각형의 넓이 = (계급의 크기) × (그 계급의 도수).
모든 직사각형의 넓이의 합 = (계급의 크기) × (도수의 총합).
= 5 × 30 = 150.
따라서 직사각형 넓이의 합은 150입니다.

📖 풀이:
비례식의 성질: (외항의 곱) = (내항의 곱).
3 × (x + 1) = 6 × 5
3(x + 1) = 30
양변을 3으로 나누면 x + 1 = 10
따라서 x = 9.
검산: (9+1) : 6 = 10 : 6 = 5 : 3 ✓

📖 풀이:
반비례 y = a/x에서 점 (3, -4)를 대입: -4 = a/3, 즉 a = -12.
따라서 식은 y = -12/x, 즉 xy = -12 인 점이 그래프 위에 있는 점.
각 보기를 확인:
① 2 × 6 = 12 ✗
② 4 × (-3) = -12 ✓
③ 6 × 2 = 12 ✗
④ (-2) × (-6) = 12 ✗
따라서 답은 ② (4, -3).

📖 풀이:
수직이등분선 작도 순서:
1단계 (나): 점 A를 중심으로, AB 길이의 절반보다 큰 반지름의 원을 그린다.
2단계 (다): 같은 반지름으로 점 B를 중심으로 원을 그려, 두 원의 교점을 P, Q라 한다.
3단계 (가): 두 점 P, Q를 지나는 직선을 그으면 이 직선이 선분 AB의 수직이등분선이 된다.
따라서 순서는 (나) → (다) → (가).

📖 풀이:
n각형의 대각선 총 개수는 공식 n(n-3)/2 로 구합니다.
이유: 한 꼭짓점에서 자기 자신과 양옆 두 꼭짓점을 제외한 (n-3)개의 꼭짓점으로 대각선을 그을 수 있고, n개의 꼭짓점에서 모두 세면 n(n-3)이지만 각 대각선이 두 번씩 세어지므로 2로 나눕니다.
n = 10 대입: 10 × (10-3) / 2 = 10 × 7 / 2 = 70 / 2 = 35.
따라서 대각선의 개수는 35개입니다.

📖 풀이:
반지름이 r인 구의 겉넓이 공식: S = 4πr².
r = 6 대입: S = 4 × π × 6² = 4 × π × 36 = 144π.
따라서 겉넓이는 144π cm²입니다.
참고: 같은 반지름의 원의 넓이(πr² = 36π)의 정확히 4배입니다.

📖 풀이:
도수분포다각형은 히스토그램의 각 직사각형 윗변의 중점을 차례로 연결하고, 양 끝은 도수가 0인 계급의 중점까지 이어 그립니다.
이때 꺾은선이 만드는 삼각형 부분에서, 직사각형 위로 빠져나간 부분과 직사각형 안으로 들어간 부분의 넓이가 서로 같습니다(엇각으로 잘리는 모양).
따라서 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 넓이는 히스토그램 직사각형 넓이의 총합과 정확히 같습니다.

📖 풀이:
세 변의 길이가 각각 같으면 두 삼각형은 합동입니다(SSS 합동 조건).
대응 관계: A↔D, B↔E, C↔F (대응 변 AB-DE, BC-EF, CA-FD가 같으므로).
합동 기호 ≡를 쓸 때는 대응되는 꼭짓점 순서대로 적어야 하므로 △ABC ≡ △DEF 가 옳습니다.
③은 대응 순서가 틀렸고(E와 D가 바뀜), ④의 ∽는 닮음 기호이므로 합동에는 쓰지 않습니다.

📖 풀이:
음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 사용합니다.
2x² - 3xy + y² 에 x = -2, y = 3 대입:
= 2 × (-2)² - 3 × (-2) × 3 + 3²
= 2 × 4 - 3 × (-6) + 9
= 8 + 18 + 9
= 35.
따라서 식의 값은 35입니다.

📖 풀이:
각 거듭제곱의 부호와 값을 차례로 계산한다.
1단계: $(-2)^3 = -8$ (음수의 홀수 제곱은 음수)
2단계: $(-1)^4 = +1$ (음수의 짝수 제곱은 양수)
3단계: $(-3)^2 = +9$ (음수의 짝수 제곱은 양수)
4단계: 식을 정리하면 $-8 + 1 - 9 = -16$

📖 풀이:
문자에 주어진 수를 대입할 때는 음수에 반드시 괄호를 친다.
1단계: $2a = 2 \times 3 = 6$
2단계: $3b = 3 \times (-2) = -6$
3단계: $2a - 3b = 6 - (-6) = 6 + 6 = 12$