📝 중1 수학 일반

📖 풀이:
1단계: $x$ 가 있는 항은 왼쪽, 상수항은 오른쪽으로 이항합니다.
2단계: $3x - 2x = 7 + 5$ 가 됩니다. 이항할 때 부호가 바뀐다는 점에 주의합니다.
3단계: 좌변과 우변을 각각 정리하면 $x = 12$ 입니다.
4단계: 검산을 위해 원래 식에 대입해 보면 좌변 $3 \times 12 - 5 = 31$, 우변 $2 \times 12 + 7 = 31$ 로 같습니다.

📖 풀이:
1단계: 두 직선이 한 점에서 만날 때, 서로 마주 보는 두 각을 맞꼭지각이라고 합니다.
2단계: 맞꼭지각의 크기는 항상 서로 같습니다.
3단계: 주어진 각이 $68°$ 이므로, 그 맞꼭지각의 크기도 $68°$ 입니다.
4단계: (참고) 이웃한 두 각의 합은 $180°$ 이므로, 이웃한 각은 $180° - 68° = 112°$ 입니다.

📖 풀이:
1단계: 주어진 조건을 정리하면 두 변의 길이($\overline{AB}=\overline{DE}$, $\overline{AC}=\overline{DF}$)와 그 두 변이 이루는 끼인각($\angle A = \angle D$)이 각각 같습니다.
2단계: 두 변과 그 끼인각의 크기가 각각 같은 경우의 합동 조건은 SAS 합동입니다.
3단계: 따라서 $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ (SAS 합동) 입니다.

📖 풀이:
1단계: 부채꼴의 둘레는 '호의 길이 + 두 반지름의 길이의 합' 입니다.
2단계: 호의 길이는 $2\pi r \times \frac{\text{중심각}}{360°}$ 공식으로 구합니다.
3단계: 호의 길이 $= 2\pi \times 6 \times \frac{120}{360} = 12\pi \times \frac{1}{3} = 4\pi$ (cm) 입니다.
4단계: 두 반지름의 길이의 합은 $6 + 6 = 12$ (cm) 이므로, 둘레는 $4\pi + 12$ (cm) 입니다.

📖 풀이:
1단계: n각뿔은 밑면이 n각형이고, 옆면이 n개의 삼각형으로 이루어져 있습니다.
2단계: 따라서 n각뿔의 면의 개수는 '밑면 1개 + 옆면 n개 = $n+1$' 개 입니다.
3단계: 면의 개수가 7이므로 $n + 1 = 7$ 에서 $n = 6$ 입니다.
4단계: 따라서 육각뿔 입니다.

📖 풀이:
1단계: 도수분포표에서 평균을 구할 때는 각 계급의 '계급값(계급의 중앙값)'을 사용합니다.
2단계: 각 계급값은 순서대로 5, 15, 25, 35 입니다.
3단계: (계급값 $\times$ 도수)의 총합을 구하면 $5 \times 2 + 15 \times 5 + 25 \times 8 + 35 \times 5 = 10 + 75 + 200 + 175 = 460$ 입니다.
4단계: 평균 $=$ (계급값 $\times$ 도수의 총합) $\div$ 전체 도수 $= 460 \div 20 = 23$ (점) 입니다.

📖 풀이:
1단계: 한 직선이 두 평행선을 자를 때 생기는 엇각의 성질을 사용합니다.
2단계: 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같습니다.
3단계: 한 엇각이 $55°$ 이므로, 다른 엇각도 $55°$ 입니다.
4단계: 반대로 두 직선이 평행하지 않다면 엇각의 크기는 일반적으로 다릅니다.

📖 풀이:
1단계: 두 그래프가 만나는 점은 두 식을 모두 만족하므로 $2x = \frac{8}{x}$ 로 놓습니다.
2단계: 양변에 $x$ 를 곱하면 $2x^2 = 8$, 즉 $x^2 = 4$ 입니다.
3단계: $x > 0$ 조건에서 $x = 2$ 입니다.
4단계: $y = 2x$ 에 $x=2$ 를 대입하면 $y = 4$ 이므로, 교점의 좌표는 $(2, 4)$ 입니다. 검산: $\frac{8}{2} = 4$ 로 반비례식도 만족합니다.

📖 풀이:
1단계: n각형에서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 제외한 $(n-3)$ 개 입니다.
2단계: 꼭짓점이 $n$개이므로 얼핏 보면 $n(n-3)$ 이지만, 각 대각선은 두 꼭짓점에서 한 번씩, 즉 두 번 세어집니다.
3단계: 따라서 n각형의 대각선의 개수는 $\frac{n(n-3)}{2}$ 입니다.
4단계: $n=10$ 을 대입하면 $\frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$ (개) 입니다.

📖 풀이:
1단계: 작도에서 만들어지는 두 삼각형 $\triangle OPR$ 과 $\triangle OQR$ 을 비교합니다.
2단계: ①에서 O를 중심으로 같은 원을 그렸으므로 $\overline{OP} = \overline{OQ}$ 입니다.
3단계: ②에서 P, Q를 중심으로 반지름이 같은 원을 그렸으므로 $\overline{PR} = \overline{QR}$ 입니다.
4단계: $\overline{OR}$ 은 두 삼각형의 공통변입니다. 따라서 세 쌍의 변이 각각 같으므로 SSS 합동이고, 이로부터 $\angle AOR = \angle BOR$ 이 되어 OR이 각의 이등분선임을 보일 수 있습니다.

📖 풀이:
1단계: A와 B 사이의 거리를 $x$ km 라 합니다. 왕복이므로 가는 거리와 오는 거리는 각각 $x$ km 입니다.
2단계: (시간) $=$ (거리) $\div$ (속력) 이므로, 가는 데 걸린 시간은 $\frac{x}{60}$ 시간, 오는 데 걸린 시간은 $\frac{x}{40}$ 시간입니다.
3단계: 왕복 총 5시간이므로 $\frac{x}{60} + \frac{x}{40} = 5$ 입니다.
4단계: 양변에 120을 곱하면 $2x + 3x = 600$, 즉 $5x = 600$ 이므로 $x = 120$ 입니다. 따라서 A, B 사이의 거리는 120 km 입니다. 검산: $120 \div 60 = 2$ 시간, $120 \div 40 = 3$ 시간, 합 5시간.

📖 풀이:
1단계: 절댓값이 5인 수는 수직선에서 원점으로부터 거리가 5인 수이므로 +5와 -5 두 개입니다.
2단계: 두 수의 곱을 구합니다. 5 × (-5) = -25
3단계: 양수와 음수를 곱하면 부호는 음수이고, 절댓값은 5×5=25이므로 결과는 -25입니다.

📖 풀이:
1단계: 점 (3, k)가 그래프 위에 있다는 것은 x=3을 식에 대입했을 때 y=k가 된다는 뜻입니다.
2단계: y = -12/x 식에 x=3을 대입합니다. k = -12/3
3단계: 계산하면 k = -4 입니다.

📖 풀이:
1단계: 두 평행선이 한 직선과 만날 때, 같은 위치(예: 둘 다 오른쪽 위)에 있는 각을 동위각이라 합니다.
2단계: 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다는 성질이 있습니다.
3단계: 따라서 한 동위각이 75°이면 다른 동위각도 75°입니다.

📖 풀이:
1단계: 분배법칙으로 괄호를 풉니다. 3(2x+5) = 6x + 15
2단계: 두 번째 괄호도 분배합니다. 부호에 주의! -2(x-4) = -2x + 8
3단계: 모두 더합니다. 6x + 15 - 2x + 8
4단계: x항끼리, 상수항끼리 모읍니다. (6x - 2x) + (15 + 8) = 4x + 23

📖 풀이:
1단계: 두 지점 사이 거리는 일정합니다. 거리 = 속력 × 시간
2단계: A에서 B까지 거리를 구합니다. 60 × 4 = 240km
3단계: 시속 80km일 때 걸리는 시간을 t라 하면 80t = 240
4단계: t = 240 ÷ 80 = 3시간

📖 풀이:
1단계: 한 내각과 그 외각은 일직선 위에 있으므로 합이 180°입니다.
2단계: 한 외각의 크기 = 180° - 144° = 36°
3단계: 정n각형의 외각의 합은 360°이고, 모든 외각은 같으므로 n = 360° ÷ 36° = 10
4단계: 따라서 정십각형입니다.

📖 풀이:
1단계: 회전축이 되는 변을 가만히 두고 직사각형을 한 바퀴 돌리는 모습을 상상합니다.
2단계: 회전축에서 떨어진 두 꼭짓점이 그리는 자취는 원이 됩니다.
3단계: 회전축과 평행한 변은 옆면을 만들고, 위와 아래의 변은 두 개의 원(밑면)을 만듭니다.
4단계: 따라서 만들어지는 입체는 원기둥입니다.

📖 풀이:
1단계: 줄기와 잎 그림에서 줄기는 점수의 십의 자리, 잎은 일의 자리입니다.
2단계: 80점 이상은 줄기가 8 이상인 행을 살펴봅니다.
3단계: 줄기 8의 잎은 0과 4 두 개입니다. 즉 80점과 84점 두 명입니다.
4단계: 따라서 80점 이상인 학생은 2명입니다.

📖 풀이:
1단계: 정비례 관계의 식은 y = ax 꼴입니다.
2단계: 점 (1, 3)을 식에 대입합니다. 3 = a × 1, 따라서 a = 3
3단계: 다른 점 (2, 6)으로 검증합니다. 6 = 3 × 2 = 6 ✓ 맞습니다.
4단계: 그래프의 식은 y = 3x 입니다.

📖 풀이:
1단계: 주어진 조건을 정리합니다. 두 변과 그 두 변의 사이에 끼인 각이 같습니다.
2단계: AB = DE = 5cm (한 변)
3단계: AC = DF = 7cm (다른 한 변)
4단계: ∠A = ∠D = 60° (두 변 사이의 끼인각)
5단계: 이는 SAS(Side Angle Side, 변각변) 합동조건에 해당합니다.

📖 풀이:
1단계: 같은 원에서 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례합니다.
2단계: 따라서 (부채꼴 1 넓이) : (부채꼴 2 넓이) = 60 : 90
3단계: 60과 90의 최대공약수는 30입니다. 양쪽을 30으로 나눕니다.
4단계: 60 ÷ 30 : 90 ÷ 30 = 2 : 3

📖 풀이:
1단계: 구의 부피 공식은 V = (4/3) × π × r³ 입니다 (r은 반지름).
2단계: r = 3을 대입합니다. r³ = 3 × 3 × 3 = 27
3단계: V = (4/3) × π × 27
4단계: (4 × 27) / 3 = 108 / 3 = 36
5단계: 따라서 V = 36π cm³

📖 풀이:
1단계: 사과 개수를 x개라 하면 배 개수는 (10 - x)개 입니다.
2단계: 가격에 대한 식을 세웁니다. 600x + 1000(10 - x) = 8000
3단계: 괄호를 풉니다. 600x + 10000 - 1000x = 8000
4단계: 동류항을 정리합니다. -400x + 10000 = 8000
5단계: -400x = -2000, 따라서 x = 5
6단계: 사과는 5개입니다. (배는 5개, 검산: 600×5 + 1000×5 = 3000 + 5000 = 8000 ✓)

📖 풀이:
1단계: 각 계급의 계급값(중앙값)을 구합니다. 65, 75, 85, 95
2단계: (계급값 × 도수)의 합을 구합니다.
65 × 4 = 260
75 × 6 = 450
85 × 5 = 425
95 × 5 = 475
합계: 260 + 450 + 425 + 475 = 1610
3단계: 도수의 총합은 4 + 6 + 5 + 5 = 20명
4단계: 평균 = 1610 ÷ 20 = 80.5점