📝 중1 수학 일반

📖 풀이:
두 직선 ℓ과 m이 평행하므로 엇각의 크기는 서로 같다.
따라서 3x + 10 = 5x - 30.
양변에서 3x를 빼면: 10 = 2x - 30.
양변에 30을 더하면: 40 = 2x.
양변을 2로 나누면: x = 20.

확인: 두 각의 크기는 각각 3(20)+10 = 70°, 5(20)-30 = 70°로 같다.

📖 풀이:
각각 계산해 본다.
① (-2)³ = (-2)×(-2)×(-2) = -8 (음수)
② -2³ = -(2×2×2) = -8 (음수)
③ (-2)⁴ = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16 (양수)
④ -(-2)² = -((-2)×(-2)) = -4 (음수)
따라서 결과가 양수인 것은 ③.

📖 풀이:
문자식 표기 규칙을 하나씩 확인한다.
① 수는 문자 앞에 써야 하므로 a×b×3 = 3ab. (틀림)
② 같은 문자끼리의 곱은 거듭제곱으로 나타내므로 x×x×y = x²y. (옳음)
③ 나눗셈은 분수 꼴로 쓰므로 2÷a = 2/a. (틀림)
④ 1과 -1의 곱은 부호만 남기므로 (-1)×a = -a. (틀림)
따라서 옳게 쓴 것은 ②.

📖 풀이:
점 (a, b)가 y = 3x 위에 있으려면 b = 3a 이어야 한다. 각 점 대입 확인: ① 4 = 3×1 = 3? 아니다. ② 6 = 3×2 = 6? 맞다. ③ 5 = 3×3 = 9? 아니다. ④ 3 = 3×(-1) = -3? 아니다. 따라서 (2, 6)이 그래프 위에 있다.

📖 풀이:
공책 3권의 가격 = a × 3 = 3a (원). 거스름돈 = (낸 돈) - (물건값) = 5000 - 3a (원). 곱셈 기호 ×는 생략하고, 수는 항상 문자 앞에 쓴다는 약속에 따라 a × 3은 3a로 적는다.

📖 풀이:
어떤 수를 x라 하면 식은 2(x + 5) = 22. 양변을 2로 나누면 x + 5 = 11. 양변에서 5를 빼면 x = 6. 검산: (6 + 5) × 2 = 11 × 2 = 22. 맞다.

📖 풀이:
n각기둥의 일반 공식: 면의 수 = n + 2 (밑면 2개 + 옆면 n개), 모서리의 수 = 3n (밑면 모서리 2n + 옆면 모서리 n), 꼭짓점의 수 = 2n. 오각기둥은 n = 5 이므로 면 = 5 + 2 = 7, 모서리 = 3 × 5 = 15, 꼭짓점 = 2 × 5 = 10.

📖 풀이:
먼저 부호를 정리한다. -(-5) = +5 이므로 식은 (-3) + (+8) + (+5). 차례로 계산: -3 + 8 = 5, 5 + 5 = 10. 따라서 답은 10.

📖 풀이:
거리-시간 그래프에서 거리가 변하지 않는(수평선) 구간이 머물러 있던 시간이다. 그래프의 수평 구간은 x = 10분에서 시작하여 x = 25분에 끝나므로, 도서관에 머문 시간 = 25 - 10 = 15분.

📖 풀이:
비례식 a : b = c : d 에서 (외항의 곱) = (내항의 곱), 즉 ad = bc 가 성립한다. 따라서 3 × 15 = 5 × (x - 2), 즉 45 = 5x - 10. 양변에 10을 더하면 55 = 5x, 양변을 5로 나누면 x = 11. 검산: 3 : 5 = 9 : 15 (양쪽 비를 약분하면 같음).

📖 풀이:
-x² 는 -(x²)을 뜻한다. x² = (-2)² = 4 이므로 -x² = -4. 또 3x = 3 × (-2) = -6. 따라서 -x² + 3x - 1 = -4 + (-6) - 1 = -11.

📖 풀이:
세로 변을 축으로 회전시키면 밑면의 반지름이 가로 길이 3cm, 높이가 세로 길이 5cm인 원기둥이 만들어진다. 원기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) = π × 3² × 5 = 9π × 5 = 45π cm³.

📖 풀이:
임의의 (볼록) 다각형에서 외각의 합은 항상 360°다. 정n각형은 모든 외각이 같으므로 한 외각 = 360° ÷ n. 24 = 360 ÷ n 에서 n = 360 ÷ 24 = 15. 따라서 정십오각형.

📖 풀이:
1단계: 점 (-2, 8)을 y = ax 에 대입한다. 8 = a × (-2), 양변을 -2로 나누면 a = -4. 그러므로 그래프 식은 y = -4x. 2단계: 점 (k, -12)를 대입한다. -12 = -4 × k, 양변을 -4로 나누면 k = 3.

📖 풀이:
사과의 개수를 x라 하면 귤의 개수는 (14 - x). 가격 식: 800x + 500(14 - x) = 9700. 괄호를 풀면 800x + 7000 - 500x = 9700. 동류항 정리하면 300x + 7000 = 9700, 즉 300x = 2700, 양변을 300으로 나누면 x = 9. 검산: 사과 9 × 800 + 귤 5 × 500 = 7200 + 2500 = 9700. 맞다.

📖 풀이:
원기둥의 겉넓이 = (밑면 2개의 넓이) + (옆면의 넓이). 밑면 1개의 넓이 = π × 3² = 9π. 밑면 2개 = 18π. 옆면을 펼치면 직사각형이고 가로 = (밑면 둘레) = 2π × 3 = 6π, 세로 = (높이) = 8. 옆면 넓이 = 6π × 8 = 48π. 합: 18π + 48π = 66π cm².

📖 풀이:
분모 2와 3의 최소공배수 6으로 통분한다. (3x - 1)/2 = 3(3x - 1)/6 = (9x - 3)/6. (x + 2)/3 = 2(x + 2)/6 = (2x + 4)/6. 식 전체는 (9x - 3)/6 - (2x + 4)/6 = (9x - 3 - 2x - 4)/6 = (7x - 7)/6. 분자 전체에 빼기가 적용되어 -(2x + 4) = -2x - 4 가 됨에 주의.

📖 풀이:
1단계: 맞꼭지각은 서로 크기가 같다. 따라서 맞꼭지각은 65°.
2단계: 이웃하는 각은 한 직선 위에 있으므로 평각(180°)에서 뺀다.
3단계: 180° - 65° = 115°.
따라서 맞꼭지각은 65°, 이웃각은 115°.

📖 풀이:
1단계: |a|=3이면 a는 3 또는 -3.
2단계: |b|=4이면 b는 4 또는 -4.
3단계: a+b가 가장 크려면 두 수 모두 가장 크게 선택. a=3, b=4.
4단계: 3+4 = 7.
따라서 최댓값은 7이다.

📖 풀이:
1단계: 원의 둘레 공식은 (둘레) = 2 × π × (반지름).
2단계: 반지름이 6cm이므로 둘레 = 2 × π × 6.
3단계: 계산하면 12π cm.
참고로 원의 넓이 공식 πr²과 혼동하지 않도록 주의!

📖 풀이:
1단계: 두 변 AB, BC의 공통 꼭짓점은 B이므로 두 변의 끼인각은 ∠B이다.
2단계: ∠B=∠E이면 AB=DE, BC=EF와 함께 '두 변의 길이와 그 끼인각이 각각 같다'는 SAS 합동조건을 만족하므로 두 삼각형은 반드시 합동이다.
3단계: ① 넓이가 같아도 끼인각의 크기가 다르면 모양이 달라질 수 있어(넓이가 같은 서로 다른 삼각형이 존재) 합동이 보장되지 않는다.
4단계: ③ ∠C는 두 변 AB, BC의 끼인각이 아니므로 두 변과 끼인각이 아닌 한 각이 같은 경우(SSA)에 해당하여 합동조건이 아니고, ④ 두 삼각형이 모두 예각삼각형이라는 것만으로는 각의 크기가 하나로 정해지지 않아 합동이 보장되지 않는다. 따라서 정답은 ②이다.

📖 풀이:
1단계: 전체 학생 수는 30명이며, 도수의 총합 = 전체 학생 수.
2단계: 주어진 도수의 합 = 6 + 10 + 2 = 18명.
3단계: 160~170 계급의 도수 = 30 - 18 = 12명.
히스토그램에서는 '모든 막대의 높이(도수) 합 = 전체 자료 개수'가 핵심이다.

📖 풀이:
1단계: 현재 아들의 나이를 x살로 두면 아버지의 나이는 4x살이다.
2단계: 10년 후 아들의 나이는 (x+10)살, 아버지의 나이는 (4x+10)살.
3단계: 조건에서 '10년 후 아버지는 아들의 2배'이므로 4x + 10 = 2(x + 10).
4단계: 전개하면 4x + 10 = 2x + 20. 이항하면 2x = 10, 따라서 x = 5.
5단계: 검산. 현재 아들 5살, 아버지 20살. 10년 후 15살과 30살 → 30 = 2×15 ✓

📖 풀이:
1단계: 일차식이란 '차수가 정확히 1인 다항식'이다. 즉 x의 계수가 0이 아니고, x²이나 1/x 같은 항이 없어야 한다.
(가) 2x-5: x의 계수 2, 상수항 -5. 일차식 ✓
(나) x²+3: 최고차수 2. 이차식 ✗
(다) 4/x+1: x가 분모에 있어 다항식 자체가 아님 ✗
(라) -7: 상수항만 있음. 차수 0 ✗
(마) 0·x+2 = 2: x의 계수가 0이므로 결국 상수식 ✗
(바) -x+6: x의 계수 -1, 일차식 ✓
2단계: 일차식은 (가), (바) 2개.

📖 풀이:
1단계: 평행한 두 직선 ℓ과 m은 서로 만나지 않으므로 교점이 없다.
2단계: n은 ℓ과 한 점에서 만나고, m과도 한 점에서 만난다.
3단계: 따라서 교점은 모두 2개.
참고: 만약 세 직선이 모두 서로 만나고 평행하지 않으면 교점이 최대 3개까지 가능하다.