📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 디스크법(원판법)을 적용하면 $V=\pi\displaystyle\int_0^\pi\sin^2 x\,dx$. 2단계: 반각공식 $\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$를 이용하면 $V=\pi\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx=\dfrac{\pi}{2}\left[x-\dfrac{\sin 2x}{2}\right]_0^\pi$. 3단계: $\sin 2\pi=\sin 0=0$이므로 $V=\dfrac{\pi}{2}\cdot\pi=\dfrac{\pi^2}{2}$.

📖 풀이:
1단계: $a'=a-2,\ b'=b-1$로 치환($a',b'\ge 0$)하면 $a'+b'+c+d=9$, 모든 변수 $\ge 0$, $c\le 4$. 제약 $c\le 4$를 잠시 무시한 음이 아닌 정수해의 수는 중복조합 $\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220$. 2단계: 여사건으로 $c\ge 5$인 경우만 빼낸다. $c''=c-5\ge 0$로 치환하면 $a'+b'+c''+d=4$의 음이 아닌 정수해 수는 $\binom{4+3}{3}=\binom{7}{3}=35$. 3단계: 따라서 답은 $220-35=185$.

📖 풀이:
1단계: 사건 정의. $W$: A에서 흰 공을 옮김, $E$: B에서 꺼낸 두 공이 모두 흰 공. 사전확률 $P(W)=\dfrac{3}{5},\ P(W^c)=\dfrac{2}{5}$. 2단계: 조건부확률 계산. $W$일 때 B는 흰 $3$, 검 $4$ (총 $7$)이므로 $P(E\mid W)=\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{7}{2}}=\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}$. $W^c$일 때 B는 흰 $2$, 검 $5$이므로 $P(E\mid W^c)=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{7}{2}}=\dfrac{1}{21}$. 3단계: 베이즈 정리. $P(E)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{21}=\dfrac{9}{105}+\dfrac{2}{105}=\dfrac{11}{105}$. 따라서 $P(W\mid E)=\dfrac{(3/5)(1/7)}{11/105}=\dfrac{9/105}{11/105}=\dfrac{9}{11}$.

📖 풀이:
1단계: $X\sim B(720,\,\tfrac{1}{6})$이므로 $E(X)=720\cdot\tfrac{1}{6}=120$, $V(X)=720\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{5}{6}=100$, $\sigma=10$. 2단계: $n$이 크고 $np,nq$ 모두 충분히 크므로 정규근사 $X\approx N(120,10^2)$이 가능하다. 표준화 $Z=\dfrac{X-120}{10}$. 3단계: $X=110\Rightarrow Z=-1$, $X=130\Rightarrow Z=1$이므로 $P(110\le X\le 130)\approx P(-1\le Z\le 1)=2\cdot 0.3413=0.6826$.

📖 풀이:
1단계: $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$의 점근선은 $\dfrac{x}{4}\pm\dfrac{y}{3}=0$, 즉 $3x\pm 4y=0$. 2단계: 점 $P(x_0,y_0)$에서 두 점근선까지의 거리는 $d_1=\dfrac{|3x_0-4y_0|}{5},\ d_2=\dfrac{|3x_0+4y_0|}{5}$. 따라서 $d_1\cdot d_2=\dfrac{|9x_0^2-16y_0^2|}{25}$. 3단계: $P$가 쌍곡선 위에 있으므로 $\dfrac{x_0^2}{16}-\dfrac{y_0^2}{9}=1$, 양변에 $144$를 곱하면 $9x_0^2-16y_0^2=144$. 따라서 $d_1\cdot d_2=\dfrac{144}{25}$로 점 $P$의 위치와 무관하게 일정하다.

📖 풀이:
1단계: 직선의 방향벡터는 $\vec{d}=(2,1,-2)$, 평면의 법선벡터는 $\vec{n}=(1,2,-2)$. $|\vec{d}|=\sqrt{4+1+4}=3$, $|\vec{n}|=\sqrt{1+4+4}=3$. 2단계: 직선과 평면이 이루는 각 $\theta$는 직선과 법선이 이루는 각 $\varphi$의 여각이므로 $\sin\theta=|\cos\varphi|=\dfrac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$. 3단계: $\vec{d}\cdot\vec{n}=2\cdot 1+1\cdot 2+(-2)(-2)=2+2+4=8$. 따라서 $\sin\theta=\dfrac{|8|}{3\cdot 3}=\dfrac{8}{9}$.

📖 풀이:
1단계: 표본의 크기 $n=100$, 표본평균 $\bar{x}=200$, 모표준편차 $\sigma=30$. 표준오차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{30}{\sqrt{100}}=3$. 2단계: $P(0\le Z\le 2.58)=0.495$이므로 $P(-2.58\le Z\le 2.58)=0.99$, 따라서 신뢰도 $99\%$의 임계값은 $z^*=2.58$. 3단계: 모평균 $m$의 신뢰구간은 $\bar{x}\pm z^*\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=200\pm 2.58\cdot 3=200\pm 7.74$. 즉 $[192.26,\ 207.74]$.

📖 풀이:
1단계 (함수 변형): $f(x)=e^x-kx$ 로 두면 $x>0$ 에서 $f(x)=0$ 의 실근 개수를 묻는 문제이다.
2단계 (도함수와 임계점): $f'(x)=e^x-k=0 \Rightarrow x_0=\ln k$. $k>1$ 일 때만 $x_0>0$ 이고 $f''(x)=e^x>0$ 이므로 $x_0$ 은 극솟점이다.
3단계 (극솟값 부호 분석): $f(x_0)=k-k\ln k=k(1-\ln k)$. 두 실근 조건은 $f(x_0)<0$, 즉 $1-\ln k<0 \Leftrightarrow k>e$. ($f(0)=1>0$, $\lim_{x\to\infty}f=\infty$ 이므로 극솟값이 음이면 자동으로 두 실근.) $k=e$ 면 접하므로 한 실근, 답은 $k>e$.

📖 풀이:
1단계 (삼각함수 분리): $\sin^3 x=\sin x(1-\cos^2 x)$ 로 분해한다.
2단계 (치환): $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$. $x=0$ 에서 $u=1$, $x=\pi/2$ 에서 $u=0$. 적분은 $\displaystyle\int_1^0\dfrac{1-u^2}{1+u^2}(-du)=\int_0^1\dfrac{1-u^2}{1+u^2}du$.
3단계 (유리함수 정리): $\dfrac{1-u^2}{1+u^2}=\dfrac{2}{1+u^2}-1$. 따라서 $\int_0^1\left(\dfrac{2}{1+u^2}-1\right)du=2\arctan u-u\Big|_0^1=2\cdot\dfrac{\pi}{4}-1=\dfrac{\pi}{2}-1$.

📖 풀이:
1단계 (도함수): $y'=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{2}(x^2+2)^{1/2}\cdot 2x=x\sqrt{x^2+2}$.
2단계 (피적분함수 단순화): $1+(y')^2=1+x^2(x^2+2)=x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2$. 따라서 $\sqrt{1+(y')^2}=x^2+1$.
3단계 (적분): $L=\displaystyle\int_0^3(x^2+1)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^3=9+3=12$.

📖 풀이:
1단계 (이항전개): $(1+x)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}x^k$, $(1+x^2)^5=\sum_{j=0}^{5}\binom{5}{j}x^{2j}$.
2단계 (계수 합 식): $x^6$ 의 계수는 $k+2j=6$ 인 $(k,j)$ 에 대한 $\sum\binom{10}{k}\binom{5}{j}$ 이며, 가능한 $(k,j)$ 는 $(6,0),(4,1),(2,2),(0,3)$.
3단계 (대입과 합산): $\binom{10}{6}\binom{5}{0}+\binom{10}{4}\binom{5}{1}+\binom{10}{2}\binom{5}{2}+\binom{10}{0}\binom{5}{3}=210\cdot 1+210\cdot 5+45\cdot 10+1\cdot 10=210+1050+450+10=1720$.

📖 풀이:
1단계 (이항분포): $X$ 를 5번 시행 중 $A$ 가 일어난 횟수라 하면 $X\sim B(5,1/3)$. $P(X=k)=\binom{5}{k}(1/3)^k(2/3)^{5-k}$.
2단계 (각 항 계산): $P(X=3)=\binom{5}{3}\dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{4}{9}=10\cdot\dfrac{4}{243}=\dfrac{40}{243}$. $P(X=4)=\binom{5}{4}\dfrac{1}{81}\cdot\dfrac{2}{3}=5\cdot\dfrac{2}{243}=\dfrac{10}{243}$. $P(X=5)=\binom{5}{5}\dfrac{1}{243}=\dfrac{1}{243}$.
3단계 (합산): $P(X\ge 3)=\dfrac{40+10+1}{243}=\dfrac{51}{243}=\dfrac{17}{81}$.

📖 풀이:
1단계 (신뢰구간 길이 공식): 95\% 신뢰구간은 $\bar{X}\pm 1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 이고 길이는 $L=2\cdot 1.96\cdot\dfrac{5}{\sqrt{n}}=\dfrac{19.6}{\sqrt{n}}$.
2단계 (부등식 풀기): $\dfrac{19.6}{\sqrt{n}}\le 4 \Leftrightarrow \sqrt{n}\ge\dfrac{19.6}{4}=4.9$.
3단계 (자연수 조건): $n\ge 4.9^2=24.01$ 이므로 자연수 최솟값은 $n=25$.

📖 풀이:
1단계 (정의 적용): $a=2, b=\sqrt{5}, c=\sqrt{a^2+b^2}=3$. 오른쪽 가지의 점은 $|PF_1|-|PF_2|=2a=4$ 를 만족하고 $|F_1 F_2|=2c=6$.
2단계 (코사인 법칙): $|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|\cos 60°$. $|PF_1|^2+|PF_2|^2=(|PF_1|-|PF_2|)^2+2|PF_1||PF_2|=16+2|PF_1||PF_2|$ 이므로 $36=16+2|PF_1||PF_2|-|PF_1||PF_2|=16+|PF_1||PF_2|$, 따라서 $|PF_1||PF_2|=20$.
3단계 (넓이): $S=\dfrac{1}{2}|PF_1||PF_2|\sin 60°=\dfrac{1}{2}\cdot 20\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계 (매개변수 표현): 직선을 $(x,y,z)=(1+2t, 2+t, 2t)$ 로 두면 방향벡터 크기 $|\vec d|=\sqrt{4+1+4}=3$.
2단계 (구 방정식 대입): $(1+2t)^2+(2+t)^2+(2t)^2=25$. 전개하면 $1+4t+4t^2+4+4t+t^2+4t^2=25$, 즉 $9t^2+8t-20=0$.
3단계 (해와 거리): $t=\dfrac{-8\pm\sqrt{64+720}}{18}=\dfrac{-8\pm 28}{18}$, $t_1=\dfrac{10}{9}, t_2=-2$. $|t_1-t_2|=\dfrac{28}{9}$. 두 교점 사이 거리는 $|t_1-t_2|\cdot|\vec d|=\dfrac{28}{9}\cdot 3=\dfrac{28}{3}$.

📖 풀이:
1단계 (상수 치환): 정적분 $\displaystyle\int_0^1 f(t)e^{-t}dt$ 는 상수이므로 $A$ 라 두면 $f(x)=e^x+A$.
2단계 (자기참조 방정식): $A=\displaystyle\int_0^1(e^t+A)e^{-t}dt=\int_0^1 1\,dt+A\int_0^1 e^{-t}dt=1+A(1-e^{-1})$.
3단계 (방정식 풀이): $A-A(1-e^{-1})=1 \Rightarrow Ae^{-1}=1 \Rightarrow A=e$. 따라서 $f(x)=e^x+e$ 이고 $f(0)=1+e$.

📖 풀이:
1단계 (1계 도함수): $f'(x)=2xe^{-x}-x^2 e^{-x}=(2x-x^2)e^{-x}$.
2단계 (2계 도함수): $f''(x)=(2-2x)e^{-x}-(2x-x^2)e^{-x}=\{(2-2x)-(2x-x^2)\}e^{-x}=(x^2-4x+2)e^{-x}$.
3단계 (변곡점 x좌표): $f''(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4x+2=0$. 두 실근의 합은 근과 계수의 관계로 $4$. ($e^{-x}>0$ 이고 $f''$ 의 부호가 두 근 양쪽에서 바뀌므로 두 점 모두 변곡점.)

📖 풀이:
1단계: 곱의 미분으로 $f'(x)=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x=e^{-x}(\cos x-\sin x)$. 2단계: $f'(x)=0\Leftrightarrow \cos x=\sin x\Leftrightarrow \tan x=1$. 구간 $[0,\pi]$에서 $x=\pi/4$가 유일한 임계점. 3단계: $0\le x<\pi/4$에서 $f'>0$, $\pi/4<x\le \pi$에서 $f'<0$이므로 $x=\pi/4$가 극대이자 최댓값. 양 끝점에서 $f(0)=0,\ f(\pi)=0$이고 $f(\pi/4)=e^{-\pi/4}\sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\pi/4}$.

📖 풀이:
1단계: 제약 없는 배정은 각 학생이 3가지 조 중 하나를 선택하므로 $3^6=729$가지. 2단계: 적어도 한 조가 비는 사건을 포함배제로 빼야 한다. 한 조가 비는 경우 $\binom{3}{1}\cdot 2^6=192$, 두 조가 비는(즉 한 조에 몰린) 경우 $\binom{3}{2}\cdot 1^6=3$. 3단계: 포함배제로 $3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540$.

📖 풀이:
1단계: $X\sim B(180,\ 1/6)$이므로 평균 $E(X)=180\cdot \dfrac{1}{6}=30$, 분산 $V(X)=180\cdot \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6}=25$, 표준편차 $\sigma=5$. 2단계: $n=180$이 충분히 크므로 $X$는 $N(30, 5^2)$에 근사. $Z=\dfrac{X-30}{5}$로 표준화하면 $P(X\ge 40)\approx P\!\left(Z\ge \dfrac{40-30}{5}\right)=P(Z\ge 2)$. 3단계: $P(Z\ge 2)=0.5-P(0\le Z\le 2)=0.5-0.4772=0.0228$.

📖 풀이:
1단계: 반지름 $r$인 원에 내접하는 정사각형은 대각선이 $2r$이므로 한 변이 $r\sqrt{2}$이고, 한 변이 $s$인 정사각형에 내접하는 원은 반지름이 $s/2$이다. 2단계: $r_1=2$이므로 $S_1$의 한 변은 $2\sqrt{2}$, 둘레 $8\sqrt{2}$. 그 안에 내접하는 원의 반지름은 $\sqrt{2}$이고, 다시 내접하는 $S_2$의 한 변은 $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, 둘레 $8$. 따라서 두 단계 사이의 둘레비는 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다. 3단계: 둘레의 합은 첫째항 $8\sqrt{2}$, 공비 $1/\sqrt{2}$인 무한등비급수이므로 $\dfrac{8\sqrt{2}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\dfrac{8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{16}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{16(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2-1^2}=16(\sqrt{2}+1)=16\sqrt{2}+16$.

📖 풀이:
1단계: 분자에서 분모를 분리한다. $\dfrac{\sin x}{1+\sin x}=\dfrac{(1+\sin x)-1}{1+\sin x}=1-\dfrac{1}{1+\sin x}$. 따라서 적분은 $\dfrac{\pi}{2}-\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{dx}{1+\sin x}$. 2단계: $\dfrac{1}{1+\sin x}$에 분모와 분자에 $1-\sin x$를 곱하면 $\dfrac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}=\dfrac{1-\sin x}{\cos^2 x}=\sec^2 x-\sec x\tan x$. 부정적분은 $\tan x-\sec x+C$. 3단계: $[\tan x-\sec x]_{0}^{\pi/2}$에서 $x\to \pi/2$일 때 $\tan x-\sec x=\dfrac{\sin x-1}{\cos x}=\dfrac{-\cos x}{1+\sin x}\to 0$, $x=0$일 때 값은 $0-1=-1$. 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{dx}{1+\sin x}=0-(-1)=1$. 결론: 답은 $\dfrac{\pi}{2}-1$.

📖 풀이:
1단계: 매개변수 미분. $\dfrac{dx}{dt}=e^{t}\cos t-e^{t}\sin t=e^{t}(\cos t-\sin t)$, $\dfrac{dy}{dt}=e^{t}\sin t+e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t)$. 2단계: 제곱합을 정리. $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2=e^{2t}\big[(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2\big]=e^{2t}\cdot 2$. 3단계: 곡선의 길이 공식 $L=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{2}\,e^{t}\,dt=\sqrt{2}\,[e^{t}]_{0}^{\pi}=\sqrt{2}\,(e^{\pi}-1)$.

📖 풀이:
1단계: $y'=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$, $y''=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$. 2단계: 변곡점은 $y''=0$이고 부호가 바뀌는 점이므로 $x=2$. 이때 $y(2)=2e^{-2}=\dfrac{2}{e^{2}}$, $y'(2)=(1-2)e^{-2}=-\dfrac{1}{e^{2}}$. 3단계: 변곡점 $\left(2,\ \dfrac{2}{e^{2}}\right)$에서의 접선은 $y-\dfrac{2}{e^{2}}=-\dfrac{1}{e^{2}}(x-2)$. $x=0$ 대입: $y=\dfrac{2}{e^{2}}+\dfrac{2}{e^{2}}=\dfrac{4}{e^{2}}$.