📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 시행에서 두 공의 색이 같은 두 가지 경우를 분리한다. (i) 빨강 둘: $P=\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{3}{10}$, 이후 빨1, 파2가 남음. (ii) 파랑 둘: $P=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{1}{10}$, 이후 빨3, 파0이 남음. 2단계: 두 번째 시행에서 두 공의 색이 같은 조건부 확률을 각각 계산. (i) 남은 빨1·파2에서 같은 색은 파랑둘뿐: $\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{3}{2}}=\dfrac{1}{3}$. (ii) 남은 빨3·파0에서 두 개 모두 빨강일 확률: $\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{3}{2}}=1$. 3단계: 곱사건 합산. $\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{10}\cdot 1=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{5}$.

📖 풀이:
1단계: $\mathrm P=(4\cos\theta, 3\sin\theta)$로 두면 그 점에서의 접선은 $\dfrac{x\cos\theta}{4}+\dfrac{y\sin\theta}{3}=1$. 따라서 $\mathrm A\!\left(\dfrac{4}{\cos\theta}, 0\right)$, $\mathrm B\!\left(0, \dfrac{3}{\sin\theta}\right)$. 2단계: $|\mathrm{AB}|^2=\dfrac{16}{\cos^2\theta}+\dfrac{9}{\sin^2\theta}$. 코시-슈바르츠 부등식 $\left(\dfrac{16}{\cos^2\theta}+\dfrac{9}{\sin^2\theta}\right)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\ge (4+3)^2=49$. 3단계: $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$이므로 $|\mathrm{AB}|^2\ge 49$, 즉 $|\mathrm{AB}|\ge 7$. 등호는 $\dfrac{16/\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{9/\sin^2\theta}{\sin^2\theta}$ 즉 $\dfrac{4}{\cos^2\theta}=\dfrac{3}{\sin^2\theta}\Rightarrow \cos^2\theta=\dfrac{4}{7},\ \sin^2\theta=\dfrac{3}{7}$일 때 성립하므로 최솟값은 $7$.

📖 풀이:
1단계: 점 $\mathrm A$를 원점으로 잡고 $\vec b=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \vec c=\overrightarrow{\mathrm{AC}},\ \vec d=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$라 하자. $|\vec b|=|\vec c|=|\vec d|=6$이고 모든 모서리 사이 각이 $60°$이므로 $\vec b\cdot \vec c=\vec b\cdot \vec d=\vec c\cdot \vec d=36\cos 60°=18$. 2단계: $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{\vec b+\vec c}{2},\ \overrightarrow{\mathrm{AN}}=\dfrac{\vec d}{2}$이므로 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\dfrac{\vec d-\vec b-\vec c}{2}$. 길이 제곱은 $\dfrac{1}{4}(|\vec d|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2-2\vec b\cdot \vec d-2\vec c\cdot \vec d+2\vec b\cdot \vec c)=\dfrac{1}{4}(36+36+36-36-36+36)=18$, 즉 $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=3\sqrt{2}$. 3단계: 내적 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\vec b\cdot \dfrac{\vec d-\vec b-\vec c}{2}=\dfrac{\vec b\cdot \vec d-|\vec b|^2-\vec b\cdot \vec c}{2}=\dfrac{18-36-18}{2}=-18$. 따라서 $\cos\theta=\dfrac{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\dfrac{18}{6\cdot 3\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 주어진 식은 $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ 꼴의 리만합이다. $f(x)=\sqrt{1+2x}$, $x_k=\dfrac{k}{n}$, $\Delta x=\dfrac{1}{n}$로 놓으면 극한값은 $\int_0^1\sqrt{1+2x}\,dx$이다. (참고: $x_k=\dfrac{2k}{n}$, $\Delta x=\dfrac{2}{n}$로 보면 $\dfrac{1}{n}\sum=\dfrac{1}{2}\sum f(x_k)\Delta x\to\dfrac{1}{2}\int_0^2\sqrt{1+x}\,dx$이고, $x=2s$ 치환으로 이는 $\int_0^1\sqrt{1+2x}\,dx$와 같다. 두 표현은 같은 값이다.)
2단계: $u=1+2x$로 치환하면 $du=2\,dx$, 구간은 $u:1\to3$이다. $\int_0^1\sqrt{1+2x}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_1^3\sqrt{u}\,du$.
3단계: $=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^3=\dfrac{1}{3}\left(3\sqrt{3}-1\right)=\dfrac{3\sqrt{3}-1}{3}$. 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 사건 정의. $A=\{X\ge 70\}$ (합격), $B=\{X\ge 80\}$. 구하는 값은 $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(B)}{P(A)}$ ($B\subset A$).
2단계: 표준화. $Z=\dfrac{X-70}{10}$ 으로 두면 $P(A)=P(Z\ge 0)=0.5$, $P(B)=P(Z\ge 1)=0.5-0.3413=0.1587$.
3단계: $P(B|A)=\dfrac{0.1587}{0.5}=0.3174$.

📖 풀이:
1단계: 곱의 미분으로 $f'(x)=e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x+\cos x)$.
2단계: $e^x>0$ 이므로 $f'(x)=0 \Leftrightarrow \sin x+\cos x=0$. 합성하면 $\sqrt{2}\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0$, 즉 $x+\dfrac{\pi}{4}=n\pi$ ($n$ 정수).
3단계: $x=n\pi-\dfrac{\pi}{4}$. 양수가 되려면 $n\ge 1$, 따라서 최솟값은 $n=1$ 일 때 $x=\dfrac{3\pi}{4}$.

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1단계: 좌표 설정. $A=(0,0,0)$, $B=(6,0,0)$, $C=(3,3\sqrt{3},0)$, $D=(3,\sqrt{3},2\sqrt{6})$ ($D$ 의 $z$ 좌표는 정사면체 높이 $\sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$ 로부터).
2단계: 중점 좌표. $M=\dfrac{B+C}{2}=\left(\dfrac{9}{2},\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\,0\right)$, $N=\dfrac{A+D}{2}=\left(\dfrac{3}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\sqrt{6}\right)$.
3단계: $\vec{MN}=N-M=(-3,\,-\sqrt{3},\,\sqrt{6})$. $|\vec{MN}|^2 = 9+3+6=18$. 따라서 $|MN|=3\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: 급수 수렴성 확인. 점화식의 양변을 $3^n$ 곱하면 $b_{n+1}=3^{n+1}a_{n+1}=3^n a_n + 6 = b_n+6$ 이 아닌데, 다시 정리. 점화식 양변에 $3^{n+1}$ 곱하면 $3^{n+1}a_{n+1}=3^n a_n + 2\cdot 3$. $b_n=3^n a_n$ 으로 놓으면 $b_{n+1}=b_n+6$, $b_1=3a_1=3$. 따라서 $b_n=3+6(n-1)=6n-3$, 즉 $a_n=\dfrac{6n-3}{3^n}$.
2단계: 합 분리. $S=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{6n-3}{3^n}=6\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n}-3\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^n}$.
3단계: 공식 활용. $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1/3}{1-1/3}=\dfrac{1}{2}$. $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\dfrac{x}{(1-x)^2}$ 에 $x=1/3$ 대입하면 $\dfrac{1/3}{(2/3)^2}=\dfrac{3}{4}$. 따라서 $S=6\cdot\dfrac{3}{4}-3\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}=3$.

📖 풀이:
1단계: 쌍곡선 정보. $a=2$, $b=2\sqrt{3}$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=4$. 오른쪽 가지 위의 점 $P$ 에 대해 초점-거리 공식 $|PF|=ex-a$ ($e=c/a=2$) 가 성립.
2단계: 두 점 $P,Q$ 가 모두 오른쪽 가지에 있을 때 $|PF|+|QF|=e(x_P+x_Q)-2a=2(x_P+x_Q)-4$. 이 값이 최소가 되려면 $x_P+x_Q$ 가 최소.
3단계: $F$ 를 지나는 직선이 오른쪽 가지를 두 번 만나려면 직선의 기울기가 점근선 기울기 $\pm\sqrt{3}$ 보다 절댓값이 커야 한다. 가장 대칭적인 경우는 직선이 주축에 수직인 통경(latus rectum). 그때 $x_P=x_Q=4$ 로 $x_P+x_Q=8$ 최소. 따라서 최솟값 $=2\cdot 8 - 4 = 12$. 검산: $x=4$ 대입하면 $4 - y^2/12=1$, $y=\pm 6$, $|PF|=|QF|=6$, 합 $12$.

📖 풀이:
1단계: 회전체 부피 공식 (디스크법). $V=\pi\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,dx$.
2단계: 부분적분 1회. $u=(\ln x)^2$, $dv=dx$, $du=\dfrac{2\ln x}{x}dx$, $v=x$. $\int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - \int 2\ln x\,dx$.
3단계: $\int \ln x\,dx = x\ln x - x$ (다시 부분적분). 정리하면 $\int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x)+C$. 구간 $[1,e]$ 평가: $\left[x(\ln x)^2-2x\ln x+2x\right]_1^e = (e\cdot 1 - 2e + 2e)-(0-0+2)=e-2$. 따라서 $V=\pi(e-2)$.

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1단계: 이항분포 모수. $X\sim B\!\left(192,\dfrac{1}{4}\right)$. $E(X)=192\cdot\dfrac{1}{4}=48$, $V(X)=192\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{4}=36$, $\sigma=6$.
2단계: 정규근사. $n=192$ 가 충분히 크므로 $X$ 는 근사적으로 $N(48,\,6^2)$ 을 따른다.
3단계: 표준화. $P(36\le X\le 60) \approx P\!\left(\dfrac{36-48}{6}\le Z\le\dfrac{60-48}{6}\right)=P(-2\le Z\le 2)=2\cdot 0.4772=0.9544$.

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1단계: 곡선의 길이 공식 $L=\displaystyle\int_a^b \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$.
2단계: 미분 계산. $\dfrac{dx}{dt}=e^t(\cos t-\sin t)$, $\dfrac{dy}{dt}=e^t(\sin t+\cos t)$. 제곱합 $=e^{2t}\!\left[(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2\right]=e^{2t}\cdot 2$ ($\cos^2+\sin^2=1$ 두 번).
3단계: $\sqrt{2e^{2t}}=\sqrt{2}\,e^t$. 따라서 $L=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{2}\,e^t\,dt=\sqrt{2}\,[e^t]_0^{\pi/2}=\sqrt{2}(e^{\pi/2}-1)$.

📖 풀이:
1단계: 구의 중심 $O(0,0,0)$, 반지름 $R=3$. 평면의 법선벡터 $\vec{n}=(1,2,2)$, $|\vec{n}|=3$.
2단계: 점과 평면 사이의 거리 공식. $d=\dfrac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{3}{3}=1$.
3단계: 교선 원의 반지름은 직각삼각형(반지름 $R$, 중심거리 $d$, 원의 반지름 $r$) 관계에서 $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$. 넓이 $=\pi r^2=\pi(2\sqrt{2})^2=8\pi$.

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1단계) 부분분수 분해: $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$. (양변 통분으로 검증 가능) 2단계) 부분합 $S_N=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1\cdot 2}-\dfrac{1}{(N+1)(N+2)}\right]$ (망원합). 3단계) $N\to\infty$이면 둘째 항은 0으로 수렴하므로 합은 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$.

📖 풀이:
1단계) 항등식 유도: $(1+x)^{10}(1+x)^{10}=(1+x)^{20}$. 좌변에서 $x^{10}$의 계수는 $\displaystyle\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}\binom{10}{10-k}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}^2$. 2단계) 우변에서 $x^{10}$의 계수는 $\binom{20}{10}$. 3단계) $\binom{20}{10}=\dfrac{20!}{10!\cdot 10!}=184756$. 따라서 답은 $184756$.

📖 풀이:
1단계) 표본공간의 크기는 $\binom{7}{3}=35$. 2단계) 빨간 공이 정확히 2개일 경우의 수는 $\binom{4}{2}\binom{3}{1}=6\times 3=18$, 정확히 3개일 경우의 수는 $\binom{4}{3}\binom{3}{0}=4\times 1=4$. 3단계) 따라서 빨간 공이 2개 이상일 확률은 $\dfrac{18+4}{35}=\dfrac{22}{35}$.

📖 풀이:
1단계) 표준화 $Z=\dfrac{X-50}{10}$. $X=40$일 때 $Z=-1$, $X=65$일 때 $Z=1.5$. 2단계) $P(40\le X\le 65)=P(-1\le Z\le 1.5)=P(-1\le Z\le 0)+P(0\le Z\le 1.5)$. 3단계) 표준정규분포의 대칭성으로 $P(-1\le Z\le 0)=P(0\le Z\le 1)=0.3413$이므로 $P(-1\le Z\le 1.5)=0.3413+0.4332=0.7745$.

📖 풀이:
1단계) 점 $P(x_0,y_0)$에서의 접선 방정식은 $\dfrac{xx_0}{16}+\dfrac{yy_0}{9}=1$. 절편은 $A\left(\dfrac{16}{x_0},\,0\right)$, $B\left(0,\,\dfrac{9}{y_0}\right)$. 2단계) 삼각형 $OAB$의 넓이 $S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{16}{x_0}\cdot\dfrac{9}{y_0}=\dfrac{72}{x_0 y_0}$이므로, $S$를 최소화하려면 $x_0 y_0$를 최대화해야 한다. 3단계) 산술-기하 평균 부등식에서 $1=\dfrac{x_0^2}{16}+\dfrac{y_0^2}{9}\ge 2\sqrt{\dfrac{x_0^2 y_0^2}{144}}=\dfrac{x_0 y_0}{6}$이므로 $x_0 y_0\le 6$ (등호는 $\dfrac{x_0^2}{16}=\dfrac{y_0^2}{9}=\dfrac{1}{2}$일 때). 따라서 $S_{\min}=\dfrac{72}{6}=12$.

📖 풀이:
1단계) 절편형 평면 방정식 $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{4}=1$의 양변에 12를 곱하면 $6x+4y+3z=12$. 따라서 법선벡터는 $\vec n=(6,4,3)$이고 $|\vec n|=\sqrt{36+16+9}=\sqrt{61}$. 2단계) 점과 평면 사이의 거리 공식 $d=\dfrac{|6\cdot 1+4\cdot 1+3\cdot 1-12|}{\sqrt{61}}=\dfrac{|6+4+3-12|}{\sqrt{61}}=\dfrac{1}{\sqrt{61}}$. 3단계) 분모 유리화하면 $d=\dfrac{\sqrt{61}}{61}$.

📖 풀이:
1단계) 곱의 미분으로 $f'(x)=2xe^x+(x^2-3)e^x=e^x(x^2+2x-3)=e^x(x+3)(x-1)$. 2단계) $e^x>0$이므로 부호는 $(x+3)(x-1)$로 결정. $f'(x)=0$에서 $x=-3$ 또는 $x=1$. 부호변화 분석: $x<-3$에서 $f'>0$, $-3<x<1$에서 $f'<0$, $x>1$에서 $f'>0$이므로 $x=-3$은 극대, $x=1$은 극소. 3단계) 극솟값 $f(1)=(1-3)e^1=-2e$.

📖 풀이:
1단계) $y'=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$이므로 $1+(y')^2=1+\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}=\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2$. 2단계) 따라서 $\sqrt{1+(y')^2}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ (양수임에 주의). 3단계) 곡선의 길이 $L=\displaystyle\int_0^{\ln 2}\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\,dx=\left[\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right]_0^{\ln 2}=\dfrac{2-\frac{1}{2}}{2}-0=\dfrac{3}{4}$.

📖 풀이:
1단계) $I=\int e^x\sin x\,dx$로 놓고 부분적분 1회: $u=\sin x,\,dv=e^x dx$로 두면 $I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx$. 2단계) 다시 부분적분 1회: $\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx=e^x\cos x+I$. 따라서 $I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$, 정리하면 $I=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$. 3단계) 정적분: $\left[\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}\right]_0^{\pi}=\dfrac{e^{\pi}(0-(-1))}{2}-\dfrac{1\cdot(0-1)}{2}=\dfrac{e^{\pi}}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{e^{\pi}+1}{2}$.